实验获得的电子关联和极化对电子密度和交换相关电位的影响

在理论化学中，拟合在更高或不同理论水平上计算的电子密度的想法已经以各种方式被使用，例如，通过近似积分来加速计算，从而产生辅助基集。^1,2为了发展密度泛函理论（DFT）中的泛函，提出的技术之一是“从电子密度确定电子波函数的约束搜索方法”^3,4它已成功地用于计算分子交换相关势。⁵这是TH发展的起点^6–8和HCTH^9–11托泽及其同事的工作人员。在本文中，我们询问如果我们拟合的密度来自实验x射线衍射研究，这是否也可行、有用和有意义。实验数据显然是最终的参考，因为它们同时包含所有物理效应。然而，由于存在实验不确定性，它们也很容易出错，这可能会使结果产生偏差。

量子晶体学的一个方面是通过拟合实验x射线衍射结构因子，即电子密度的傅里叶变换，增强近似模型波函数的信息含量。^12–15x射线波函数拟合方法是克林顿和马萨开创的¹⁶并通过Jayatilaka[X射线约束波函数（XCW）拟合]发展成为其最广泛和先进的形式。^17–19XCW方法包括函数的最小化

哪里E类是孤立分子和GooF的能量[通常在Hartree–Fock（HF）或DFT水平]的量子力学表达式²是计算的(⁠$<trans data-src="F">F类</trans><trans data-src="model">模型</trans>$⁠)并测量(⁠$<trans data-src="F">F类</trans><trans data-src="exp">经验</trans>$⁠)x射线结构因子振幅，也考虑了数据的标准不确定性（σ），

在前面的方程式中，$<trans data-src="h">小时</trans><trans data-src="⃗">⃗</trans>$是倒数晶格矢量，吨是一个比例因子，N个_第页是测量的结构系数的数量，以及N个_第页是参数的数量。如果从先前的晶体学最小二乘求精中得知，N个_第页应该是原子的坐标数和位移参数。然而，通常情况下N个_第页简单地设置为1。在大多数情况下，要确定的波函数具有单个Slater行列式的形式，并且在拟合期间调整分子轨道系数。为了通过计算出的结构因子中的位移参数来调节原子振动，原子的概率分布函数通常使用Hirshfeld的斯德哥尔摩划分描述为单中心函数，²⁰由此也可以近似到双中心函数。^21–23 

混合系数λ在函数中L（左）量子力学能量和x射线结构因子之间的关系通常是逐步增加的，以避免收敛问题。然而，仍有争议的是λ是终止配合，称为XCW配合的“停止问题”。^20、24、25终极之间的关系λ和想要的GooF²值也是关于该方法最有意义的描述符的争论的中心，也就是说，在上述约束搜索方法的意义上，术语“约束”、晶体意义上的“约束”还是“正则”更合适。^20,24,26在本文中，我们对这一段中讨论的两个问题采取了务实的方法，因为我们总是符合λ在收敛停止之前，我们采用更传统的术语XCW拟合方法。有关详细信息，请参阅有关XCW配件的最新评论。²⁰ 

XCW拟合已用于实验重建折射率、，²⁷分子极化率和超极化率，²⁸或债券指数。^29–31XCW拟合也通过耦合到极端局域分子轨道（XC-ELMO）进行了修改^32,33并推广到多行列式波函数，以从x射线衍射测量中获得Lewis共振结构的权重。^34,35尽管在过去二十年中取得了这些进展，但很少有研究探讨通过拟合过程实现的“信息内容增强”的物理意义，以及在多大程度上可以从信息丰富但容易出错的实验结构因素中提取物理效应。下文将对这些研究进行讨论。

如果使用孤立分子的HF波函数作为拟合的依据，则在XCW拟合程序开始之前，HF波功能中没有的实验x射线衍射结构因子中存在并表现出四个主要影响。

• 电子关联。这里，我们指的是动态电子关联，即分子内电子的瞬时分布，并将电子关联的影响理解为电子之间真正相互作用的差异，即，原则上，由于Hartree–Fock哈密顿量使用的是平均电子势而不是瞬时电势，因此在测量数据中，对电子-电子相互作用的处理不充分。电子关联对分子电子密度分布的影响已被广泛研究。^36–43在本研究的背景下，Bartell和Gavin是第一个专门讨论电子关联在x射线衍射数据中的作用的人。^44–47稍后，钱德勒等。研究了是否可以通过XCW拟合从模拟的理论结构因子中提取电子关联。⁴⁸他们得出结论：“在当前限制条件下进行的x射线实验不太可能检测到小分子的相关效应。”等。发现“XC-WF方法可以部分捕获电子关联对电子密度的影响。”⁴⁹还研究了通过XCW拟合引入的电子关联对尿素晶体中电子密度局部化区域和浓度的影响。⁵⁰然而，到目前为止，还没有研究约束拟合对交换相关电势的直接影响，而不仅仅是对电子密度的影响。在本研究中，我们旨在填补这一空白。在未来的研究中，这可以作为DFT泛函设计或基准测试的起点。

• 极化。分子的电子密度分布通过其在晶体中的邻居施加的复合电场而极化，这称为晶体效应。这种效应对电子密度的影响，即孤立分子电子密度与周围分子产生的电场中的电子密度之间的差异，被称为相互作用密度，并通过比较HF周期边界和孤立分子计算的结果从理论上进行了研究^51–53或使用QM/MM方法。^54,55基于利用多极模型从理论结构因子重建电子密度的相互作用密度研究定性地恢复了电子密度的极化特征。^56,57然后，这项研究扩展到实验数据，仍然使用多极子和相关的入侵模型。⁵⁸在XCW拟合的背景下，Ernst、Genoni和Macchi表示，该方法“能够解释晶内电场引起的电子密度和分子轨道变形”，但当使用实验数据时，效果变得不太明显。⁵⁹最近又一次展示了这一点。⁶⁰ 

• 相对论。相对论效应对重元素变得重要；因此，它们不属于当前使用尿素和L-丙氨酸作为目标化合物的研究的一部分。然而，在铋、汞和含金化合物的理论研究中，讨论了使用XCW拟合方法从结构因子中提取相对论效应的可能性，并将其置于电子关联和极化的角度。^61–64 

• 实验误差和噪声。除了所讨论的影响外，实验结构因子始终存在系统误差和统计误差，并且还受到原子、晶格谐波和非谐波振动的调制。所有这些也将被拟合到波函数中，并将显示在最终的电子密度分布中。因此，数据集成和简化过程以及数据分析和细化策略尤为重要。^65,66我们中的一些人之前已经表明，如果使用高质量的数据（木糖醇的例子），由于XCW拟合引起的差异密度与理论参考计算非常一致。⁶⁷相反，如果使用较低质量的数据（环氧琥珀酸酰胺的辐射损伤问题），XCW拟合效果与理论参考计算结果有显著差异。⁵⁴Landros-Rivera、Contreras-Garcia和Dominiak最近认为，这是由于XCW拟合程序对数据处理的敏感性，这在实验标准不确定性中尤其体现出来。⁶⁸随后，在一项使用14个不同的二水合草酸数据集（没有一个数据集具有用于实验电荷密度测定的通常高质量）的研究中，我们中的一些人测试了从XCW拟合中提取的信息的再现性和可靠性。²⁵结果是，每个数据集中都保留了一致的系统效应，其中一些可以合理地解释为电子相关和极化效应，但另一些一定是由数据中的系统误差引起的。我们注意到，XCW拟合总是处理刚刚高于参考文献中讨论的噪声级的信息。26.

基于这些发现和问题，我们选择使用众所周知的高质量x射线衍射数据集，并在过去用于类似的概念验证研究：Birkedal测量的尿素等。⁶⁹并在参考文献中使用。70–72以及Destro测定的L-丙氨酸等。⁷³并在参考文献中使用。74–78与其他任何讨论效应I至III的XCW拟合研究一样，在对效应I和II进行理论评估后，我们着手处理尿素和L-丙氨酸的实验数据集，并得出实际的实验误差：在本研究的第一部分和第二部分中，我们将研究XCW拟合在何种程度和百分比上能够从理论x射线结构因子（仅包括这两个效应中的任何一个）中恢复电子关联和极化。我们还将从定量和定性两个方面分析这两种效应相互比较的显著程度。在本研究的第三部分中，我们将使用第一部分和第二部分的结果作为从实验数据中提取的效应的参考。最终，这应该回答了我们是否以及在多大程度上可以从实验中分别获得电子关联和极化的问题。

• 这个基于原子的生殖密度是晶体中电子密度的近似值，该密度是通过对球平均原子电子密度求和而得到的从头算计算，每个计算都以晶体晶胞内相应原子核的坐标为中心。^79–81 

• 这个基于分子的生殖细胞密度是分子晶体电子密度的一种改进近似值，它是通过对先前从从头算孤立物种的计算。这个概念在理论化学中以不同的名称和近似值被使用。^82–84 

• 这个基于嵌入分子的生殖细胞密度是分子晶体电子密度的更好近似值，因为构成分子的电子密度是从前面的从头算通过在周围分子的对称生成位置放置自持点电荷和偶极子来模拟晶体效应的嵌入计算。⁸⁵尽管有更先进的技术可用（例如使用ELMO模拟环境），⁸⁶这些还没有在XCW框架中进行测试。

• 这个重构晶体密度不是量子力学近似值，而是描述测量衍射图案的晶体电子密度模型。在本研究中，我们使用XCW拟合后的重建晶体密度。

在（iii）中极化在安装之前，已大致包括在理论HF分析中。在这项研究中，我们将测试这种近似是否足够，或者从周期边界计算中拟合到理论结构因子是否会为拟合的波函数添加额外的信息。如果近似值足够，那么重构的晶体密度（iv）和嵌入的基于分子的生殖密度（iii）之间的差异是对电子相关（加上实验误差和噪声）。

XCW拟合的方法可以从HF更改为DFT（这里我们使用功能BLYP^87,88)因此电子相关在拟合之前，已大致包含在波函数中。在本研究中，我们将测试BLYP中近似包含的电子相关性是否足够，或者从高度相关的耦合簇计算中拟合理论结构因子是否会为拟合的波函数增加额外的信息，而不仅仅是安萨茨。如果BLYP中的近似值足够，那么重构晶体密度（iv）和基于BLYP分子的生殖密度（ii）之间的差异是一个近似的实验测量值极化（加上实验误差和噪声）。

重构晶体密度（iv）和基于BLYP嵌入分子的生殖密度（iii）之间的任何差异将仅包括实验误差和噪声以及任何其他未建模效应，例如，如果簇电荷和BLYP近似值不够。我们称这个剩余密度为缺陷密度，这在物理上已经无法解释了。然而，众所周知，例如，对于高度相关的无机材料，电子相关的DFT近似值是不够的，因此缺陷密度中的信息对实验学家和理论学家仍然有价值。^89，90

尿素结晶信息文件（CIF）和结构因子列表（HKL）⁶⁹和L-丙氨酸⁷³从文献中获得的信息被用作Hirshfeld原子精化（HAR）的输入文件^70，85在软件中实现托托⁹¹使用限制HF方法和定义2-TZVP公司和pob-TZVP公司（精确系数如晶体14)⁹²这两种化合物的基础集。在晶体学精细化中，对半径为8°的每个对称生成分子，在中心分子周围使用点电荷和偶极子的自洽簇来模拟晶体场。该程序确保了x射线衍射数据中目前可用的最佳实验结构，包括与中子衍射研究和氢原子各向异性位移参数所得结果类似的A–H键长度。^93,94 图1显示了HAR后在HF/pob-TZVP理论水平上的实验结构，标题中总结了细化细节。在这一理论水平上产生的HAR CIF以沉积编号CCDC-2182609（尿素）和2182613（L-丙氨酸）存放在剑桥结构数据库中，可通过以下方式免费获得https://www.ccdc.cam.ac.uk/structures网站它们被用作XCW配件相对于实验结构因素的起点。为了计算理论结构因子，固定了从HAR获得的原子坐标。注意，尿素的晶体结构是平面的，而当作为一个孤立的分子进行量子力学优化时，它会扭曲（比较参考文献。49).

软件高斯09⁹⁵用于计算尿素和L-丙氨酸的参考电子相关效应。HAR重新定义的最终几何体的坐标分别用作耦合簇单和双（CCSD）（无冻结核）和HF单点计算的输入几何体。基础集定义2-TZVP公司和pob-TZVP公司（精确系数如晶体14)⁹²用于测试电子相关效应的基本集依赖性。然而，仅在补充材料在下文中，所有结果均基于pob-TZVP公司仅基础集，在中实现晶体14并且是我们为软件程序明确定义的托托和高斯9

软件登普⁹⁶计算了包含电子相关效应的hkl指数和静态结构因子量级。为此高斯CCSD计算的09波函数输出（.wfn文件）用作单元常数为10×10×10Ω的模型伪周期系统的输入^三（立方电池），分辨率为0.7、1.4417和2.0Ω⁻¹尿素和20×20×20Ω^三（立方电池），分辨率为0.7、1.0778和2.0Ω⁻¹L-丙氨酸。在每种情况下，介质分辨率与实验.hkl文件的分辨率一致。原子位移的影响没有被模拟，人为的大单位胞常数阻止了分子间相互作用发挥任何作用。

软件托托⁹¹用于针对理论结构因素进行XCW拟合。使用来自高斯09.wfn文件和中指定的单元格丹麦。值得注意的是托托输入文件需要设置为没有人XCW拟合从λ=0到指示的最大λ-值，步长为0.5（分辨率为1.4417和2.0º⁻¹对于尿素以及1.0778和2.0Å⁻¹对于L-丙氨酸）或0.2（0.7º⁻¹尿素和L-丙氨酸）的均匀结构因子误差为0.1。拟合是用HF和BLYP方法以及这两个基集进行的，但正文中只讨论了pob-TZVP结果。通过监测获得最大λ值，直到拟合的λ值在给定的循环次数内收敛或达到λ=10。自统计协议GooF之间的关系²（执行XCW拟合程序的依据），标准不确定度为$<trans data-src="GooF">古夫</trans><trans data-src="2">2</trans><trans data-src="∼">∼</trans><trans data-src="1">1</trans><trans data-src="σ">σ</trans><trans data-src="2">2</trans>$（参见第。我)，当使用1.0的σ时，需要一个100倍大的乘数λ来实现相同的扰动（如Genoni的工作中所做的那样等。⁴⁹)而不是σ=0.1（正如我们在这里所做的那样）。这意味着σ=0.1时，λ=10表示高扰动。它等于λ=1000，σ=1.0，如参考文献。49其他误差分布模型也是可能的，最近在参考文献中进行了讨论和测试。62和97.

通过计算不同λ值的电子密度网格文件与参考值之间的差异，确定并可视化电子相关效应高斯09高斯立方体格式的计算。参考电子相关效应计算为CCSD电子密度网格（Gaussian09_CCSD.cube）和HF电子密度网格之间的差异。减法的顺序总是CCSD减去HF高斯使用库比根实用程序，以及ntps（纳秒）选项设置为−1，这允许指定网格与托托-指定的网格。在所有栅格文件中，栅格点之间的距离为0.0472 a.u。XCW拟合电子关联是指λ=x（TONTOλ=x.cube）值的拟合波函数和λ=0（TONTO_λ=0.cube，与高斯09_HF.cube相同）的无约束波函数之间的电子密度差。在这些情况下，减法的顺序始终是λ=x−λ=0。

对于不同的电子密度网格，每个网格点（r_我)从同一网格点（r）减去其中一个网格文件的_我)第二个网格文件的。然后将获得的包含不同电子密度的栅格点写入相同高斯立方体文件格式的文件中。这个脚本的限制是，分子的几何形状和分子朝向立方体边界的方向在两个立方体中必须完全相同。对于第二个脚本，每个网格点（r_我)将不同密度的网格相加，然后除以二，得到差异的总电子数，即电子相关效应对电子密度影响的总大小(⁠$<trans data-src="N">N个</trans><trans data-src="e">e（电子）</trans><trans data-src="=">=</trans><trans data-src="(">(</trans><trans data-src="∑">∑</trans><trans data-src="i">我</trans><trans data-src="=">=</trans><trans data-src="1">1</trans><trans data-src="n">n个</trans><trans data-src="p">第页</trans><trans data-src="ρ">ρ</trans><trans data-src="method">方法</trans><trans data-src="1">1</trans><trans data-src="(">(</trans><trans data-src="r">第页</trans><trans data-src="i">我</trans><trans data-src=")">)</trans><trans data-src="−">−</trans><trans data-src="ρ">ρ</trans><trans data-src="method">方法</trans><trans data-src="2">2</trans><trans data-src="(">(</trans><trans data-src="r">第页</trans><trans data-src="i">我</trans><trans data-src=")">)</trans><trans data-src=")">)</trans><trans data-src="/">/</trans><trans data-src="2">2</trans>$⁠). 为了获得XCW拟合程序的重建百分比（PR）[等式。(3)]，TONTO_λ=x.立方体与电子密度值之间的差值ρ_λ=x(第页_我)以及不受约束的值ρ_λ=0(第页_我)在TONTO_λ=0。管除以参考电子密度效应（CCSD减去HF）。获取实际空间R值（RSR）⁹⁸[等式。(4)]，XCW拟合的电子密度值ρ_λ=x(第页_我)直接参考CCSD计算。任何不同的网格文件都可以通过软件可视化供应商管理部⁹⁹作为等值面图，

为了判断PR作为λ函数的趋势

拟合到PR vsλ的观测过程，从而得出在λ→ ∞. 选择这种形式的函数是因为它拟合了所有测试函数中具有最佳R值的曲线，并且可以很容易地解释极限行为。

为了可视化XCW拟合对交换相关（XC）电位的影响，用Tonto在BLYP近似下计算XC电位，并以高斯立方文件的形式保存。XC电位差计算为λ=x值处的拟合波函数与λ=0的无约束波函数之间的差，减法顺序始终为λ=x−λ=0。从第二个栅格文件的相同栅格点中减去其中一个栅格文件中的每个栅格点。然后将获得的包含差异XC电位的网格点写入相同高斯立方体格式的新文件。这些文件用于可视化。没有进行进一步的数值分析。

软件晶体14¹⁰⁰用于计算尿素和L-丙氨酸的参考极化效应。HAR的坐标被用作输入几何，用于在实验晶体对称性和HF晶格中进行全周期单点计算/pob-TZVP公司理论水平，称为3D类模型。在单独的计算中，关键字莫尔斯普利特用于获得不包括极化效应的基于分子的生殖电子密度。

软件登普仅用于计算给定实验晶格参数的特定分辨率的hkl指数列表。考虑的分辨率为0.7、1.4417和2.0Ω⁻¹对于尿素以及0.7、1.0778和2.0Å⁻¹L-丙氨酸。然后将预测的hkl指数用作输入（.d3文件），以计算3的相应结构因子量级D类带有的模型运行支持14中实现的实用程序晶体14.未模拟原子位移的影响；由此产生的结构因子量级是静态的。

软件托托用于XCW拟合，该过程与用于获得相关效应的过程类似。这个CYRSTAL公司14-获得的3个结构因子D类该模型作为输入，以分子HF/pob-TZVP波函数为依据进行拟合。XCW拟合从λ=0到指示的最大λ-值，步长为0.5（分辨率为1.4417和2.0º⁻¹对于尿素），0.2（对于0.7°的分辨率⁻¹尿素以及1.0778和2.0Ω⁻¹对于L-丙氨酸），或0.02（0.7º⁻¹对于L-丙氨酸），应用均匀结构因子误差0.1。在达到收敛的最大λ值或λ=10时停止拟合。在引入模拟晶体环境的周围簇电荷后，也在HF/pob-TZVP水平上进行了相同的XCW拟合。通过使用这种点电荷和偶极子的自洽簇，已经在λ=0的波函数模拟中模拟了偏振效应。

参考极化对电子密度的影响（即相互作用密度)计算为全周期计算（CRYSTAL14_3D.cube）和基于分子的生殖电子密度（CRYSSAL14_MOLSPLIT.cube）之间以网格文件形式的差异电子密度。减法的顺序总是3D类减莫尔斯普利特.晶体使用运行支持14公用设施和ECH公司输入（.d3）文件中的3关键字。XCW拟合极化被计算为λ=x（TONTOλ=x.cube）值处拟合波函数和λ=0（TONTO_λ=0.cube）的无约束波函数之间的电子密度差。减法的顺序始终是λ=x减去λ=0。从中获得的栅格点之间的距离晶体14为0.0527 a.u.（尿素）和0.0563 a.u吨，这两个分子都是0.0472 a.u。由于缺乏周期晶体内分子的定义，无法计算RSR值。PR值的计算与电子相关的情况类似，

用于可视化晶体14相互作用密度、对称生成分子及其电子密度必须从构成网格文件的超细胞中去除；否则，对中心分子的看法就会受到阻碍。在这里，我们编程并遵循了一个基于分子中原子量子理论（QTAIM）的程序，该程序最初发表在参考文献。101在超电池中只保持所需的分子及其电子密度。所需的例程已在软件cuQCT中实现⁵⁴用于本研究。随后对等值面进行可视化供应商管理部.

为了从尿素和L-丙氨酸的实验结构因子评估电子相关和极化效应，使用pob-TZVP基组，从HAR-获得的.cif-files和实验.hkl文件开始，以λ-步长0.02（对于尿素）和0.01（对于L-丙氨酸）进行XCW拟合。对于每组结构系数（最大实验分辨率1.4417º⁻¹对于尿素和1.0778º⁻¹对于L-丙氨酸以及每个修剪到0.7º的分辨率⁻¹)，进行了四个拟合：（1）HF带团簇电荷（cc），（2）HF不带cc，（3）BLYP带cc和（4）BLYP不带cc。这四个拟合所表示的效应总是指在λ=x和λ=0的计算中得到的不同电子密度。

图2给出了XCW拟合的理论参考图。蓝色区域表示由于方法中包含电子相关性而产生的电子增益。它们围绕着原子的核心区域。键和孤对在包含电子关联时失去电子密度，所以总的来说，这是电子密度从价态到核心区域的重新分布。这种影响是非常系统的，但对有机分子来说影响不大：等值线为0.034e（电子）Å⁻³，移动的电子总数为0.27（尿素）和0.40（L-丙氨酸），在这两种情况下，这正好对应于每个非H原子（C、N、O）0.067个电子。电子关联对电子密度影响的方向、分布和大小与早期的理论研究一致。^38,43,49,67

图3–5和表一参考两种化合物在中等分辨率下与理论CCSD结构因子的XCW拟合结果，以测试是否以及在何种程度上可以通过拟合技术恢复电子相关效应。如第。我，参考文献。48和49作者怀疑XCW拟合能否恢复，至少不能完全恢复。因此，我们首先在图3（a）–3（c）和4（a）–4（c）电子相关效应是如何在单行列式HF波函数中逐步增大λ值的。当然，这些特性与中的参考计算相匹配图2随着λ值的增加，它们变得更加强烈。在最大λ值处，λ_最大值两种化合物的疗效分别恢复了10.0%、88.4%和94.1%。

图5（a）显示了GooF的曲线²、RSR和PR是λ值增加的函数。古夫²，倒数空间中的一个度量，和RSR，一个实空间中的度量，都像预期的那样随着λ的增加而接近零，但都没有达到。同时，PR接近100%，但没有达到。为了找出在原则上是否可以用HF分析100%重建计算的CCSD效应，我们通过PR与λ图拟合了一条曲线[EEq。(5)，在第。二，灰色线条输入图5（a）]并检查了限制行为$<trans data-src="lim">林</trans><trans data-src="λ">λ</trans><trans data-src="→">→</trans><trans data-src="∞">∞</trans><trans data-src="P">P（P）</trans><trans data-src="R">R（右）</trans><trans data-src="λ">λ</trans><trans data-src="=">=</trans><trans data-src="c">c（c）</trans>$（另请参见表一). 尿素可以达到93.9%的极限，而L-丙氨酸可以达到96.0%。因此，λ处的值分别为88.4%和94.1%_最大值=10.0已经接近最佳重建。虽然不能达到100%，但电子关联的大部分效应可以恢复，并且定性地，通过XCW拟合可以再现孤对、键和核心区域的所有化学特征。

在这个理论实验中，参考效应基本上没有完全恢复，可能有几个原因：（i）当波函数被投影到结构因子时，分辨率有限，（ii）方法不够灵活，（iii）基集不够灵活。（i） 将在下文中进行进一步调查。对于（iii），之前已经证明三zeta基组对于XCW拟合具有足够的灵活性。¹⁰²我们还研究了不同的三重zeta基集在补充材料（def2-TZVP vs pob-TZVP），发现这些差异可以忽略不计。因此，我们在这里测试通过DFT函数BLYP将电子相关引入到方法中，当拟合到CCSD结构因子时，是否会导致相同或类似的结果。事实上，图3（d）和4（d）表明在λ=0时，在拟合程序开始之前，DFT电子相关图明显高估了参考CCSD图。所有特征都更加强烈图3（d）具有图2（a）和图4（d）具有图2（b）]PR值分别为156.5%（尿素）和159.4%（L-丙氨酸）。

由于这些BLYP波函数已经高估了起始点的电子相关性，XCW拟合抵消了这种高估，并校正了BLYP波函数，接近100%的PR，与HF的情况一样。图3（f）和4（f）结果表明，最终图谱在质量上与CCSD参考图谱和HF-filed图谱非常相似，最终PR值为110.2%（尿素）和110.0%（L-丙氨酸）。相同类型的外推$<trans data-src="lim">林</trans><trans data-src="λ">λ</trans><trans data-src="→">→</trans><trans data-src="∞">∞</trans><trans data-src="P">P（P）</trans><trans data-src="R">R（右）</trans><trans data-src="λ">λ</trans><trans data-src="=">=</trans><trans data-src="c">c（c）</trans>$使用等式。(5)[灰色线条图5（b）]导致极限值为108.2%和109.8%(表一)，再次表明绝大多数电子相关效应已经被包括在内λ_最大值而且原则上也不能达到100%。然而，这个结果是有希望的，因为我们在这里首次表明，XCW拟合可以系统地、显著地校正DFT泛函，从而更好地描述电子关联。这将如何在交换相关性（XC）潜力中体现出来，如下所示。

在讨论XC势之前，我们将借助于表一直觉上，人们可能会认为，如果使用更高分辨率的数据，重建应该会更成功，因为分辨率截断通常意味着信息丢失。事实上，λ_最大值中的值表一表明在数据较少的情况下，XCW拟合变得更加困难，因为最低分辨率为0.7º⁻¹，拟合永远不会收敛到λ以上_最大值= 1.8–3.2. 相比之下，如果只使用低分辨率数据，则实际空间中电子密度的重建要成功得多。对于尿素，$<trans data-src="lim">林</trans><trans data-src="λ">λ</trans><trans data-src="→">→</trans><trans data-src="∞">∞</trans><trans data-src="P">P（P）</trans><trans data-src="R">R（右）</trans><trans data-src="λ">λ</trans><trans data-src="=">=</trans><trans data-src="P">P（P）</trans><trans data-src="R">R（右）</trans><trans data-src="∞">∞</trans><trans data-src="=">=</trans><trans data-src="100">100</trans><trans data-src="%">%</trans>$可以达到，相比之下，高分辨率为2.0º⁻¹，公关_∞和公关_最大值分别为88.6%和74.1%。RSR值也存在相同的趋势。这种分辨率依赖性也适用于BLYP结果，尽管这里108.2%是最佳重建，在尿素中可以找到中间分辨率。指数的前导项拟合a₁和b₁支持这一趋势，数值的大小在高分辨率下最大，在低分辨率下最小。这相当于在较高分辨率下增加λ时收敛较慢。这意味着需要更高的λ值才能观察到与低分辨率下相同的效果。这与Ewald球体向更高分辨率扩展时反射次数的非线性增加有关，以便弱强度反射开始主导拟合，并以低阶衰减高强度反射中的信息（另请参见参考文献。49). 值得注意的是，GooF²值不描述相同的观察结果；它们在低分辨率下总是显著变大(表一).

XC势是真实空间中的标量场，因此可以用与电子密度相同的方法在网格上对其进行评估。然而，与电子密度不同，XC势的普遍形式是不存在的，因此需要在定义某种泛函时考虑它。这里，为了一致性，我们使用BLYP函数。^87,88由于XC势不局限于在一定体积的空间上有固定的积分，因此RSR或PR值的计算将在任意和模糊的尺度上进行。此外，XC电位与电子密度直接相关，电子密度在拟合时的变化已在上文中量化。因此，本小节只讨论XC电位的定性影响，并且只讨论尿素分子。

从HF密度开始改善DFT功能并不是一个全新的想法。在密度校正DFT（DC-DFT）或HF-DFT中，HF密度只是简单地给出给DFT泛函，无需进一步修改，如果在正确的上下文中使用，结果是令人信服的。^103,104从我们的研究中，我们已经知道（见上文），在XCW拟合时，HF波函数几乎吸收了所有物理上正确的电子相关效应（与CCSD参考计算相比），我们已经在电子密度分布方面进行了上述验证。因此，从高λ处的拟合HF波函数计算BLYP XC电位具有物理意义。表S1显示，在λ=2.5时，HF波函数已经重建了66%的电子密度特征，这些特征被分配给电子相关效应。因此，我们开始观察XC在HF框架中的电位差异图6（a）λ=2.5。主要特征是原子的价区，特别是氧孤对和碳原子周围。随着λ的增加[图6（b）和6（c）]，特征出现在C-O和C-N键中，并且总体上变得更加分散。

当我们使用BLYP功能进行XCW装配时[图6（d）–6（f）]，情况完全不同。XCW拟合引入到BLYP Kohn-Sham型波函数中的修正仅在原子的核心区域体现出来。我们从中得知图3（d）–3（f）BLYP泛函对电子相关效应的普遍高估特别意味着核心区的电子密度过低[正（蓝色）等值面的延伸和强度从图3（d）–3（f）]价区电子密度过高[负（红色）等值面的延伸和强度从图3（d）–3（f）]. 这意味着，在原子核中安装后，电子密度会增加。其结果是核心区域的XC电位越来越负，这表现为来自图6（d）–6（f）虽然一般来说，XC电位和潜在电子密度之间的关系不容易解释，但这里的XCW拟合技术似乎允许通过XC电位系统地改进BLYP功能。

随着所含数据分辨率的增加，观察到与电子密度相同的趋势（比较图6中的图S30和S32补充材料)：当拟合中仅包含低分辨率数据时，XC电位的特征在较小λ值下更加明显。换句话说，为了定性和定量地再现相同的特征，需要更高的λ值才能获得更高分辨率的结构因子数据集。

图7给出了极化情况下XCW拟合的理论电子密度参考图，极化是周期边界和孤立分子条件下HF波函数之间的差异，也称为相互作用密度。蓝色区域表示与相邻分子相互作用产生的电子增益，而红色区域表示电子损失。与电子相关效应相反（参见图2)在这里，核心区域受到的影响较小，但键和孤对区域都参与电子的增益和损耗，具有偶极特性。尿素和L-丙氨酸中的两个C=O羰基均参与N–H…O氢键[图7（a），中的左侧功能组图7（b）]，在两种不同的化合物中都可以识别出类似的极化现象：在氧原子处，靠近原子核的负区与靠近碳原子的键中的负区被一个正表面隔开，该正表面从氧孤对穿过呈月牙形的键。

总的来说，电子密度极化的这种系统效应总共只导致了电子的微小再分配，移位电子的总数为0.25（尿素）和0.44（L-丙氨酸）。这些数字与电子相关性几乎相同，这意味着这两种效应对小有机分子电子密度的影响程度几乎相同，但方向和分布不同。这里观察到的相互作用密度的方向、分布和大小与早期的量子晶体学研究一致。^{54,58–60,105}

图8–10和表二参考两种化合物在中等分辨率下的XCW拟合结果与理论周期边界结构因子进行比较，以测试拟合技术是否能够恢复晶体效应产生的相互作用密度以及在何种程度上能够恢复。正如引言中所讨论的，在以前的研究中得出的结论是，通过XCW拟合可以将晶体效应有效地纳入孤立分子波函数中⁶⁰但电子关联只是部分的。⁴⁹通过比较图8（a）–8（c）和9（a）–9（c）中相应参考地图中的特征图7很明显，XCW拟合确实准确地重建了晶体效应。极化和电子相关效应的比较[图8（a）–8（c）具有图3（a）–3（c）和图9（a）–9（c）具有图4（a）–4（c）]结果表明，极化重建速度更快，即在λ-值较低的情况下，极化效应的很大一部分已经恢复，比电子相关的恢复速度更快【λ=1.0时：尿素为62.3%对44.1%，L-丙氨酸为61.2%（λ=0.2）对48.9%（λ=0.5）】。

然而，PR与λ的初始陡坡变平，因此PR在极化时收敛到低于100%的值(图10)，类似于电子关联(图5). 事实上，表二表明根据公式。(5)是公关_∞=尿素96.4%，L-丙氨酸88.6%。对于电子相关性，这些值分别为93.9%和96.0%（见表一). 这意味着，通过XCW拟合可以准确有效地重建这两种效应，只有在λ值较低时，极化才能更快地建立。其结果是，XCW拟合实验数据生成的电子密度图，如第节所示。III D类应以低λ值的极化和高λ值时的电子关联为主。

对于电子关联，我们研究了通过DFT BLYP函数将效应纳入波函数分析中对拟合的影响。BLYP中的电子相关性被高估，并在与参考值拟合后进行校正。极化理论实验的模拟是在中心分子周围的对称生成位置包含一簇点电荷和偶极子，以模拟晶体效应（此处缩写CC为“簇电荷”）。^85,86至于电子关联，显然高估了簇电荷的影响[参见图8（d）和9（d）]PR值分别为115.1%和131.0%。与电子相关相比，这种影响没有通过XCW拟合进行校正。不同密度图中的特征图8（e）和8（f）以及图9（e）和9（f）尽量保持紧张。图10表明PR与λ曲线的斜率基本上是水平的。根据这些发现，我们假设在XCW与实验结构因子拟合期间，如果要从实验数据中提取极化，则不应使用簇电荷，因为它们会使结果产生偏差，并且不允许从数据中恢复参考效应。这与电子相关形成了对比，DFT函数可以用于拟合，因为它不妨碍从数据中恢复参考电子相关效应。这些假设在第。III D类未来，应测试晶体效应的量子力学模型而不是基于点电荷的模型在XCW拟合中是否表现出不同的行为。⁸⁶ 

有趣的是，这种行为在GooF中看不到²仅跟随λ-值的值。λ越大，GooF越小²[图8（d）–8（f）和9（d）–9（f），表S4和S7]。这也见于表一，它再次显示在中表二其中整体较高λ_最大值值对应于较低的GooF²_最大值值。这意味着对暂停问题的讨论不能仅仅基于GooF²vsλ关系，^20,24,25但它应该包括衍生的化学性质。在这里，我们可以将其与量子化学的变分原理进行类比：仅仅最小化能量并不能保证所确定的波函数对于其他性质来说是最佳的。此外，在未来的研究中，必须澄清拟合时标准不确定度分布的作用。

极化效应拟合的分辨率依赖性^59,60与观察到的电子关联趋势一致，但不太明显（参见表二). 对于低分辨率数据，物理效应更快地被纳入较低λ值的波函数中。从较高的指数系数b条₁在高分辨率数据集中，很明显，这些数据集包含的关于λ每值偏振的信息较少。另一方面，这意味着对于低分辨率数据集，收敛会提前停止。最大可实现PR值对分辨率的分辨率依赖性明显小于电子相关（比较表二具有表一).

如引言所述，使用HF波函数的XCW拟合应将电子相关（EC）、极化（pol）和实验误差的叠加纳入模型波函数。因此，可以公式化λ_最大值和λ₀按以下方式：

如第。二、A具体地说，由于这些效应是卷积在实验数据中的，因此不清楚它们是否可以相互分离。此外，第。第三章A和III C类已经表明，在拟合的波函数中会留下残余效应。因此，我们将以下理想化假设作为工作假设，并在下面进行进一步测试：如果在列表中给出的特定级别上执行XCW配件，粗体显示的效果应该是可见的。

• 无簇电荷BLYP：Δρ_波尔,仅极化效应（在λ=0时包括相关性，但不包括极化）；

• 带有簇电荷的HF：Δρ_{欧盟委员会},仅相关效应（在λ=0时包括偏振，但不包括相关性）；

• 带簇电荷的BLYP：Δρ_缺陷,缺陷密度（λ=0时包括相关和极化）；

• 无团簇电荷的HF：Δρ，所有影响（λ=0时不包括任何内容）。

图11（a）和12（a）根据上述假设，从实验结构因子中提取极化效应。事实上，与图7这表明纯理论极化效应显示出一定程度的定性相似性。正区域（蓝色，在键和孤对中）和负区域（红色，原子核）的分布相似。在化合物尿素和L-丙氨酸中，甚至羰基氧原子处的月牙形阳性区域也存在。只有正效应和负效应的强度和范围在实验装置中更为显著。这也反映在拟合期间移动的电子总数中（N_{e（电子）})，即0.32/0.52e（电子）（尿素/L-丙氨酸），为0.25/0.44e（电子）在参考计算中(图7). 因此，我们得出结论，所选方法确实定性地提取了Δρ_波尔与纯理论参考计算相比，仅略微高估了实验结构因素。事实上，相反，这可能意味着在参考计算中低估了这种影响，并在这里的实验拟合中正确表达了这种影响。这一解释的证据在本节末尾给出。

图11（b）和12（b）根据上述假设，从实验结构因子中提取电子相关效应。在这里，比较与纯理论电子相关效应图2再次强调，存在质量相似性，值得注意的是图11和12与图2完全独立。原子核周围正（蓝）差电子密度的典型特征和孤对和孤键的负（红）特征，包括尿素中氧原子的环形孤对区，都在实验图中重现。装配期间移动的电子总数（N_{e（电子）})为0.28/0.42e（电子）（尿素/L-丙氨酸），为0.27/0.40e（电子）在参考计算中(图2). 我们再次得出结论，所选方法确实定性地提取了Δρ_{欧盟委员会}与实验结构因素分开，在定量上，实验拟合的效果仅略高。这个微小的定量差异是否足够显著，以开发DFT泛函并根据实验拟合的电子密度对其进行基准测试，还有待观察。在任何情况下，在进行比较时，某些性质上的相似性，但特征的强度和延伸程度不同，这也适用于交换——相关性潜力图13（a）具有图6（a）–6（c）和图13（b）具有图6（d）–6（f）.

图11（c）和12（c）显示所有效果的合并λ_最大值根据上述假设。这种影响显然仍然是系统性的，不是随机的，因此不受实验的支配随机的，随机的噪音。事实上，尿素和L-丙氨酸的所有特征都类似于电子关联的特征[图11（b）和12（b）]比两极分化更紧密[图11（a）和12（a）]因此不受系统的实验误差也是如此。显然，核心电子密度的正区域和氧孤对中的负区域是剩余电子关联的标志。这意味着在λ_最大值电子相关主导极化；这种综合效应并不像人们预期的那样是两者特征的结合。比较图11（b）具有图11（c）和图12（b）具有图12（c）然而，这表明效果并不相同；地图中有更明显和扩展的特征图11（c）和12（c）代表所有效果。N_{e（电子）}数值也较高（0.35比0.28e（电子）尿素和0.52 vs 0.42e（电子）L-丙氨酸）。这意味着有一些额外的噪声水平，极化的影响确实调制了电子的相关特征，但极化仍然是隐藏的，其特征无法识别。

第节对此进行了讨论。III C类在不同的电子密度图中，在较小的λ值下，极化比电子关联建立得更快，而电子关联在较大的λ数值下建立。因此，可以预计，极化特征在地图中以远小于λ_最大值在此处显示图11（c）和12（c）因此，在补充材料（图S29和S62），我们显示了拟合效果在λ的小步进中的演变。这些数字显示，重要的是，与第二节的理论预测形成对比。III C类在λ的所有范围内，即使在很小的值下，电子关联也主导着绘图。

最后，我们讨论了图11（d）和12（d）. Δρ_缺陷将包含未处理的实验误差和未处理的物理效应的信息，不限于未处理的吸收、消光、相对论效应、测量和机器误差、热扩散散射、未处理的非简谐原子运动等。²⁵这也明确地包括了在BLYP和团簇电荷所代表的模型波函数分析中处理不当或不够的电子关联和极化部分。小节第三章A和III C类事实上，这两种方法都高估了电子关联和极化效应，而不是对其进行更复杂的理论估计（分别是耦合簇计算和周期边界条件）。章节第三章A还表明，XCW拟合主要纠正了BLYP中的这种高估，而Sec。III C类已经表明，对簇电荷的高估并非如此。

图11（d）和12（d）清楚地显示系统特征，而不仅仅是实验中剩余的噪声，并且与图11（a）和12（a）成功地从实验结构因子中提取了极化效应。这意味着当在模型波函数中使用团簇电荷时，它们并没有滤除极化的影响，但极化仍然是从实验数据中拟合出来的。反过来，这意味着团簇电荷近似值是不够的，实验提供了真实的极化效应，尽管安萨茨中存在团簇电荷，但拟合波函数仍能吸收这种效应。这与Sec。III C类XCW配件对集群电荷不敏感。这一观察的结果是：（i）在XCW拟合中，应使用参考文献中建议的更好、更量子力学的近似值来代替聚类分析方法。86对于Hirshfeld原子精化，如果极化效应被安萨茨滤除，以及（ii）影响XCW拟合程序的系统分布实验标准不确定度的重要性尚未正确理解。此外，我们不能排除BLYP函数的非最佳形式也会阻止缺陷密度不受系统影响。总之，Δρ_缺陷真正代表了程序中的缺陷，而不是实验随机和系统误差的度量。

极化效应在拟合波函数中建立得比电子相关更快，即λ值更低。然而，如果拟合到λ_最大值极化效应和电子相关效应可以以相同的精度和可靠性恢复到相同的程度。λ的外推_∞表明固有的XCW拟合对一种或另一种效应并不更敏感。两种效果的重建成功与否取决于结构因子集的最大分辨率；与超高分辨率数据集相比，中分辨率数据集允许更快、更完整的重建。

我们首次展示了对相关结构因子的拟合对交换相关电位的流入效应是如何产生的，并且它在物理上是有意义的，即使使用HF波函数进行拟合也是如此。重要的是，XCW拟合纠正了所用BLYP函数中相对于CCSD参考值的电子密度和XC电位中电子相关效应的高估。相比之下，相对于全周期计算，XCW拟合并不能纠正点电荷和偶极子簇对极化效应的过高估计。

通过合理选择拟合后的波函数，可以从实验结构因子中分离和提取极化和电子相关。实验拟合的结果在定性和定量上与使用的独立高级参考计算相似。这是值得注意的，因为之前还没有表明，从实验中提取的极化和电子关联效应在现象学上与理论假设完全相同。

这些结果的前景是，XCW拟合确实可以用作针对不同物理效应分别训练波函数的方法。我们已经表明，将实验数据用于此目的是可行的。然而，为了将这一思想直接用于DFT泛函的开发，需要一种从实验中提取XC势的通用的、与泛函无关的方法。目前，我们中的一些人正在研究实现这一目标的两种不同方法。

本文的结果基于两个高质量的数据集，这两个数据集被广泛用作几十年来量子晶体学领域新方法的基准测试集。在另一项研究中，²⁵我们中的一些人最近已经证明，对于质量不高的数据，拟合效果的再现性是有限的。这与所讨论的影响非常小的事实有关。尿素和L-丙氨酸的含量大约为0.05e（电子）每一个非氢原子，每一个物理效应。此外，作为一个大概数字，95%（对应于晶体学精炼的R值5%）的测量物理效应是通过简单求和计算出的球形原子电子密度来重建的，另外的百分之几是由于原子在化学和晶体场中的非球形性（化学键效应），所以只有很小比例的重构电子密度是由于所讨论的极化和电子关联效应。因此，作为在量子化学方法开发中普遍使用实验衍射数据的下一步，需要并设想使用非常高质量的数据集进行再现性研究。尽管相对于实验不确定度，电子密度尺度上的影响很小，但不要忘记，这种微小的永久性、波动性或诱导性电子密度差异会引起非常显著的分子间作用力（静电、范德华、伦敦色散等）。大致来说，尿素或L-丙氨酸分子能量的1%变化已经达到数千kJ/mol。

最后，我们表明，用团簇电荷近似晶体效应不足以进行XCW拟合，因此必须在未来测试更好的量子力学模型。缺陷密度中出现的系统效应也表明，我们仍然缺乏对实验标准不确定性如何影响拟合过程的理解，因为它们在实验中会发生系统性变化，可以被视为第二组独立的实验信息。因此，研究不确定性的信息含量对于XCW在量子化学方法开发中的应用也是至关重要的。

这个补充材料本文以pdf文档的形式提供，包括XCW配件的数字细节、每个化合物在每个分辨率下的差异密度图，以及基本集相关性研究。

S.Grabowsky、E.Hupf和F.Kleemis感谢德国研究基金会（Deutsche Forschungsgemeinschaft DFG）为Emmy-Noether计划（批准号GR 4451/1-1）（S.G.）、博士后研究金（批准号HU 2512/1-1）和沃尔特-本杰明研究金（授权号KL 3500/1-1）（F.K.）提供资金。M.Woińska承认波兰国家科学中心（NCN）根据第DEC-2018/31/B/ST4/02142号Opus拨款提供的财政支持。

作者没有冲突需要披露。

E.H.和F.K.为这项工作做出了同等贡献。

伊曼纽尔·赫普夫（Emanuel Hupf）：概念化（支持）、形式化分析（同等）、资金获取（支持）、调查（同等）、方法论（同等）、软件（同等）、可视化（同等）、写作-初稿（支持）；弗洛里安·克莱米斯（Florian Kleemis）：概念化（支持）、形式化分析（等同）、资金获取（支持），调查（等同），方法论（相等），软件（相等）、可视化（等同）和写作-原稿（支持）。托比亚斯·博尔曼（Tobias Borrmann）：方法（支持）、软件（支持）。伦巴犬：方法（支持）。Joanna M.Krzeszczakowska：概念化（支持）。Magdalena Woiánska：调查（支持）、概念化（支持）。迪伦·贾亚蒂拉卡：概念化（支持）、软件（同等）。亚历山德罗·热诺尼（Alessandro Genoni）：方法（支持）、验证（领导）、写作-审查和编辑（领导）。西蒙·格拉博夫斯基（Simon Grabowsky）：概念化（领导）、资金获取（领导），方法论（平等），项目管理（领导）；资源（领导）。

支持这项研究结果的数据可以在文章及其补充材料此外，结晶细化结果已保存在剑桥结构数据库中，并可通过以下方式免费获得沉积编号CCDC-2182609（尿素）和2182613（L-丙氨酸）https://www.ccdc.cam.ac.uk/structures网站.