摘要
太阳测速曲线横跨对流区的底部。在辐射部分，全球尺度纬向磁切变不稳定性被认为受到强稳定层结的二维约束，因此最近对二维（2D）不稳定性进行了详细研究。然而，这里显示出三维（3D）效果可能很重要。我们在Boussinesq薄层近似下，将二维线性分析推广到三维模型中，其中磁场环形绕太阳，平衡场和流动与深度无关。研究发现，当极性阿尔芬角速度α第页超过旋转角速度ω第页，具有最大增长率（α第页2-ω2第页)1/2。这通常会产生e（电子）-折叠时间短至几个月。有趣的是，不稳定性只影响米=1“收线模式”，将极环线向垂直方向扭转。另一方面，对于α第页2< ω2第页，3D不稳定性仅限于径向长度标度，其中可能只有几个波长可以穿过测速曲线。这些可以补充甚至主导吉尔曼和迪克帕蒂最近研究的浅水模式。对测速曲线辐射部分中发现的较大Brunt-Väisälä频率的作用进行的分析表明，其主要作用是平抑不稳定性中的运动，而不是抑制它们。强带状磁剖面被发现容易受到类似于但不同于极性扭结的不稳定性的影响。
1引言
太阳自转速度与穿过对流区的深度基本无关，这是日震学的结果，因此很难维持将发电机放置在那里的模型(DeLuca&Gilman 1991年). 相反，注意力转移到了转速曲线上。测速曲线是位于太阳对流区底部的剪切层，代表上方差异旋转区域和下方辐射核心的固体旋转之间的过渡(Brown等人，1989年;Tomczyk，Schou&Thompson 1995年;Charbonneau等人，1998年、1999年b;Spiegel&Zahn 1992年).Charbonneau等人（1999b）将其中心置于第页/R（右）⊙=0.693±0.002，厚度Δ第页/R（右）⊙=0.039±0.013，意味着它横跨对流区底部(第页/R（右）⊙= 0.713).
上升磁通管模拟表明，有源区产生的环形磁场浓度必须至少有几个特斯拉（1 T=104G） 如果它们要在观测到的纬度带中上升到地面，如果上升管要保持其结构并满足黑尔出现时的极性定律，则更有可能达到10T；例如，请参见，乔杜里和吉尔曼（1987）,Moreno-Insertis、Caligari和Schüssler（1995）和Fan、Zweibel和Lantz（1998）在许多其他人当中。10 T的数值在由巴苏（1997）为了使磁场能够抵抗足够长时间的浮力上升，从而集中到这些强度，它似乎必须位于轻度稳定分层的过冲层中，或者位于高度稳定分层的辐射区域中。在那里它可以被界面发电机的作用放大(DeLuca&Gilman 1991年;Schüssler 1996年;帕克1993;MacGregor&Charbonneau 1997年;Charbonneau&MacGregor 1997年). 因此，较低到中等的转速曲线可能是太阳周期的所在地。对这些问题进行了广泛的讨论Charbonneau&MacGregor（1997）。
尤其是过冲层是放置发电机的一个吸引人的地方(DeLuca&Gilman 1991年;Rempel，Schüssler&Tóth 2000年). 这里，层结略为亚绝热，这对于抵消磁浮力和保持磁场足够长的时间以使发电机作用增强磁场是必要的。这与对流区形成对比，在对流区，微小的超绝热将导致几个月的时间尺度内浮力上升。然而，它可能很薄。根据巴苏（1997），日震学将其厚度上限定为0.05压力标度高度（0.004 R⊙)假设超调结构的标准模型，或约为3 Mm。该结果有争议，但如果正确，则具有10T环形场的均匀填充超调区域（这是最不可能的）厚度仅足以容纳1016Wb（1024Mx）估算人Galloway&Weiss（1981）需要通过太阳周期提供表面通量的出现。因此，我们必须承认磁场存储也延伸到辐射速测线的可能性。
测速曲线的典型参数可以从太阳模型中得出。我们发现密度ρ≈200 kg m−3，温度T型≈ 2.3 × 106K、 气体压力第页≈ 6 × 1012Pa，声学时标R⊙/c（c）≈50分钟，不透明度κ第页≈2米2公斤−1在本文中，我们试图对经过数月或数年时间演变的不稳定性进行建模，因此很明显，过滤声波是合适的。这可以使用Boussinesq近似来完成(布西内斯克1903;Spiegel和Veronis 1960;Chandrasekhar 1961年;Spiegel&Weiss 1982年)或滞弹性理论(Gough 1969年;Gilman&Glatzmaier 1981年;Lantz&Fan 1999年). 正如强调的那样Lantz&Fan（1999）Boussinesq方程可以解释为滞弹性方程的特殊情况（薄层）。我们还忽略了通常用来限制胸锁厚度的各向异性湍流粘性效应(Spiegel&Zahn 1992年;Elliott 1997年)，因为这些仅在比此处考虑的更长的时间尺度上具有实质性的动力学效应；尽管看到了Forgács-Dajka&Petrovy（2002）对于速测线约束的另一种磁性解释。
1–10 T（10）范围内的磁场强度4–105G） 对应高达4×10的磁压力7Pa或血浆β大于105因此，将磁场对平衡的影响视为一个小扰动是合适的。在超调层正下方的辐射测速曲线中(第页≈0.67 R⊙)，浮力或Brunt-Väisälä频率N个上升到1 mHz，对应的周期只有一两个小时，所以等离子体非常“僵硬”。在这种情况下，通过严格的二维性过滤重力波也是常见的，u个=0，其中v（v）= (u个,v（v）,w个)是球坐标中的流体速度(第页, θ, ϕ). 然而，我们表明N个是为了使三维（3D）流动模式平坦化，而不是抑制它。由于这些“平坦”的三维不稳定性实际上可能比二维（2D）不稳定性更快，因此不应忽略它们。
过冲层的模型有相当大的变化。绝热偏差广告−∇ =c（c）2N个2/γ克2，被不同程度地引用为10的顺序−3(Rempel等人，2000年)，在10范围内−6–10−4(Dikpati和Gilman 2001年b)，或大约10−1（辐射核心的特征；熊和邓2001). 该范围对应于浮力周期2π/N个在20天到1小时之间，所以在旋转的时间尺度上，等离子体的硬度可能从轻微到极端不等。
本文记录了环形绕线速测线场的二维磁流体力学（MHD）演化方程，并在线性区域内用以下公式进行了数值求解吉尔曼和福克斯（1997、1999a、b）,Dikpati和Gilman（1999）和Gilman&Dikpati（2000），并且在非线性状态下Cally（2001）以及Cally、Dikpati和Gilman。然而，在这里，我们将其推广到三维，保留浮力效应，但仍过滤掉声波。目前，我们主要研究线性化的三维系统。这个方向的第一步是以浅水模型的形式进行的(吉尔曼2000;Dikpati&Gilman 2001a，b;Gilman&Dikpati 2002年，尽管也请参见吉尔曼1967)假设下边界为刚性，在一层模型中径向应用静水平衡，垂直速度为高度的线性函数。虽然我们还假设了一个薄层，但通过采用Boussinesq近似，我们的方法更为普遍，因为在所有方向上都应用了动力平衡，并且没有对高度进行线性依赖的假设。因此，可以测试浅水模型的适当性。
本文的分析旨在深入了解测速磁流体动力学不稳定性的性质、增长率和径向尺度，尤其是相关极向磁场的发展。发电机模型依赖于循环B类P（P）⇌B类T型在极向场和环向场之间，具有差速旋转，易于为B类P（P）→B类T型然而，B类T型→B类P（P）更难。在标准平均场理论中(莫法特1978)，通过α效应产生极向场，由此缺乏反射对称性的湍流速度场产生平行于稳定环形场的平均电流密度，从而产生极向磁场。物理机制是一个气旋事件，它通过动力学螺旋提升和扭转磁力线(帕克1955); 因此，需要打破反射对称性（平均）。简单的螺旋波也可以产生（各向异性）α效应(莫法特1978，第7.7节），但仅当存在扩散以提供速度和磁场之间的相移时。
在本文研究的机制中，叠加在稳定的环形磁场和流场上的无扩散的简单线性波由极向场和环形场组成，由于波是不稳定的，它们以指数形式增长，从下面的流动和磁场中汲取能量。如果没有非线性计算的好处，我们无法确定这些不稳定性是如何发展的以及发展到什么程度的，但它们至少提供了一个潜在的极向磁场的来源，因此可能是α效应的替代品(Dikpati&Gilman 2001c公司).
现阶段，我们没有对大量模型旋转和磁性剖面进行详细调查。相反，我们满足于阐述数学的发展，并讨论一些代表性的数值示例，为未来的研究指明方向。
在第2节中，我们对不稳定性进行了线性化描述，并给出了两种数值求解方法。这些应用于第3节中具有广泛磁场分布的特定模型的代表性范围，特别是在极点附近的阿尔芬速度超过那里的旋转速度的模型中发现了一种新的不稳定性，即“极性扭结不稳定性”。在第4节中，对极性扭结不稳定性进行了匹配边界层分析，以确定其性质。第5节简要讨论了纯流体力学情况，发现二维稳定的旋转剖面可能会有轻微的三维不稳定。第6节介绍了带状剖面，发现如果场强足够高，带状剖面容易受到极性扭结样不稳定性的影响。最后，第7节得出了结论。
2线性理论
附录中导出了非线性滞弹性和Boussinesq方程。为了简单起见，并且考虑到所讨论的层的厚度，我们在这里采用后一种描述。在这种近似下，速度场是螺线管形的，阿尔芬速度场也是螺线管式的
因为密度是均匀的。然后将其方便地分解为极向和环形部分：势ψ、χ、Ψ和X（其中X为大写Chi）是我们的基本因变量。 2.1线性化Boussinesq方程
考虑由角速度ω指定的稳定环形旋转和磁轮廓0(μ) =第页−2∂ψ0/μ和类似的阿尔芬角速度α0(μ) =第页−2∂χ0/¦Μ，因此
和
这里，μ=cosθ，其中θ是从z（z）-轴（即同纬度）。径向剪切和磁场梯度被忽略。相应的涡度和电流密度都是纯径向的。假设压力梯度+P（P）0在里面方程式（A13）平衡平衡科里奥利力和洛伦兹力，使背景状态保持不变。当然，如果平衡不准确，并且存在经向运动，那么与不稳定性发展的时间尺度相比，如果速度较慢，则不会影响分析。 忽略径向剪切和现场梯度有几个原因。其中最重要的是数学上的便利性；通过这样做，可以进行简单的径向傅里叶分解，并且可以独立地检查不同的径向长度尺度。在建立测速曲线不稳定性的现实模型时，一次添加一个特征也是有意义的。这既使问题在数学上易于处理，也简化了结果的解释。然而，也有很好的物理原因可以假设径向切变不如纬向切变重要。首先，我们可以预计，由于径向剪切引起的任何不稳定性在本质上都可能是局部的，而纬向剪切不稳定性显然是全局的。这意味着局部（笛卡尔）描述可能具有指导意义。对于纯流体动力剪切流，理查森数稳定性判据(Drazin&Reid 1981年)
，其中N个是Brunt-Väisälä频率，很容易满足辐射测速曲线。此外，如果存在伽利略框架，其中Alfvén速度处处超过流动速度，则不可压缩的无浮力MHD剪切流也可能被证明是稳定的，这表明日震导出的速度线径向剪切对于任何超过0.7T的场都应该是稳定的(凯利2000)这也是很容易满足的。尽管这两个结果都不是测速曲线的严格决定性结果，但它们都使我们相信其径向剪切可能是稳定的。当然，这并不是说它在纬向驱动的不稳定性中可能不起作用。然而，我们基于径向剪切的影响是次要的。忽略径向磁场梯度更值得关注，并将在未来的模型中解决。
我们在exp[i形式的扰动变量中寻找时间和经度依赖性米(ϕ−计算机断层扫描)],米=1，2，…，我们设想一个半无限层位于一个浮力很大的刚性辐射核心之上，通过在第页= 1. 因此，Ψ、X和S公司消失在那里。所有系数均独立于第页，表示傅里叶积分表示对于X和S公司方程的形式表示环形势的余弦积分，χ的情况也类似。如果该层厚度有限小时，某种类型的傅里叶级数展开是合适的，其精确形式取决于上边界条件。中的积分方程式4和5然后用离散波数谱上的和替换。1例如，如果顶部边界也是刚性的，我们将k个∈{n个π/小时以下为：n个=0，1，2，…}，而对于“自由”边界（ψ=χ=0），
更复杂的边界条件可以将各种傅立叶波数联系在一起，使得它们不是独立的模式。 收集必要的方程式，并介绍
和我们有： 径向感应方程，感应方程的θ分量，径向涡度方程，涡度方程的θ分量，熵方程，哪里S公司是一个标度熵扰动。与假设相关层较薄一致，径向导数为第页它本身被忽略了，因此，例如第页)(第页2∂Ψ/∂第页)减少到第页2∂2Ψ/∂第页2最后，假设一个简单的无量纲化，其中测速曲线半径和赤道角速度ω0（0）设置为统一。在这些单位中，重力加速度克约为1.3×105当我们进入辐射速测线时，Brunt-Väisälä频率从零上升到大约30。不过为了简单起见，N个这里假设为常数。 有几个限制值得关注。首先考虑没有径向相关性的情况，k个→ 0。然后，极向和环形部分解耦，环形部分仅由二维稳定性方程控制吉尔曼和福克斯（1997）以下为：和极向方程简化为
，式中Ψ=X=0。因此，限制k个→ 0恢复2D案例。 限制N个→∞ 与辐射核心有关，如前所述，浮力频率大大超过旋转频率。如果我们关注在极限内保持有限频率的振荡，即如果我们过滤掉重力波，则方程（7）-（11）表明2D情况已恢复。
非旋转非磁性极限ω0=α0=0也很有趣。采用局部近似
，其中k个⊥是水平波数，方程（7）-（11）简化为通常的重力波色散关系米2c（c）2=N个2k个2⊥/(k个2⊥+k个2)验证预期的浮力行为在该极限内恢复。
最后，案例N个→ 0适用于对流区。这是一个非奇异极限，没有出现特别的简化，除了S公司从中消失方程式10。
轴对称情况米=0需要特殊处理。涡度方程和诱导方程的θ分量不再有用，而应使用分量。寻找exp（−iσ）形式的时间依赖性t吨)，并且假设σ≠0，我们从径向感应方程中发现X=0。径向涡度方程、⌀诱导方程和熵方程分别给出了最后，根据⌀涡度方程，我们得到sin系数k个(第页−1）和cosk个(第页−1）必须独立消失，由此得出ψ=χ=Ψ=0。因此，不存在非平凡的非平稳轴对称解。在很大程度上，这是我们过于简单模型的产物。由于磁场与半径无关，它会形成一道不可穿透的墙，阻止流体从场线的一侧流向另一侧，在轴对称情况下，这会严重限制任何可能的运动。另一方面，如果环形通量管“很薄”，流体原则上可以在其上方和下方流动，以“改变方向”。这可能导致“极地滑移”不稳定性(Spruit&van Ballegooijen 1982年;Moreno Insertis，Schüssler和Ferriz Mas 1992年). 在实际的速测线中，假设通量绳的厚度有限（可能与速测线的厚度相当），这种流动受到稳定的重力分层的阻碍。计算Rempel等人（2000年）如果通量管深度约为层厚的30-50%，则无极向滑移迹象。 2.2数值解：打靶法
两点边值常微分方程（ODE）的选择方法通常是打靶法。它具有较高的精度，并且与变步长ODE解算器一起使用时，不会遇到谱或有限差分方法的截断问题。然而，在某些情况下，它可能有一个非常小的吸引域，从而很难找到解决方案，而且在实际计算大量特征值时，它也可能非常缓慢。因此，我们经常使用矩阵Galerkin方法（第2.3节）来寻找特征值，并且我们使用打靶方法验证了其中的一个样本。
使用方程式11消除S公司和方程式7消除
，然后方程式8消除
贯穿始终，包括
，我们得到了一个七阶微分系统的形式哪里
、和A类和B类是7×7矩阵。 行列式A类,表示微分系统的奇点。二维方程的多普勒频移阿尔芬尼共振点(吉尔曼和福克斯1997)，由Δ定义一= (ω0负极c（c）)2−α02=0，在这里也是奇异的，但它们由磁引力临界点补充，其中Δ毫克= (ω0负极c（c）)2-α02负极N个2/米2= 0. 极点μ=±1也是奇点。在北极μ=1时，我们要求解是有界的。寻求表格的解决方案
，其中
在奇点处是解析的，并替换为方程式16，我们得到了广义特征值方程（广义特征值问题在Golub&van贷款1989)这七个特征值是v（v）=0（重数为1），v（v）=米/2（多重数3）和v（v）= −米/2（多重数3）。显然，我们必须放弃v（v）= −米/2和v（v）=0个解决方案。这就在磁极附近留下了三个物理解，都对应于v（v）=米/2 我们始终假设ω0是μ的偶数函数，α0很奇怪。这使得我们只能治疗一个半球。因此，我们在μ=0和1时应用边界条件。实际上，矩阵ODE（16）是用打靶法求解的：从μ=1到10−4，我们从每个物理点开始，朝着μ=0的方向进行三次射击
，以及复相速度的猜测值c（c）。
如2D情况(吉尔曼和福克斯1997)，本征模可分为赤道对称（如果ψ是这样的话）或反对称。很容易验证ψ和X具有相同的奇偶性（对称或反对称），而χ、Ψ和S公司具有相反的奇偶性。因此，我们可以在μ=0时施加三个边界条件：对于对称模式，而对于反对称模式，（条件
是多余的，因为如果
在这里，可以通过区分方程式8和使用方程式7以消除二阶导数。）然后构造3×3矩阵M（M）每个镜头的栏目由三个栏目组成z（z）μ=0时的值应消失(方程式22或方程式23（视情况而定）。如果三个镜头的线性组合适合所有三个赤道条件，矩阵M（M）必须是单数。所以c（c）迭代调整，直到M（M）实际上为零。这样，复特征值c（c）找到。当为单数时M（M）给出了三个系数，指定了三个镜头的适当线性组合。 2.3数值解：Galerkin矩阵法
方程（7）–（11）可以表示为形式的广义特征值算子方程哪里年=（ψ，χ，iΨ，iX，S公司)T型和G公司和H（H）包含运算符
和
以及ω等代数项0和α0.现在G公司和H（H）可以使用基于截断球谐展开的谱分解将单个矩阵表示为普通数值矩阵米,哪里P（P）我米是相关的Legendre函数，
和“波浪线”形式在数值上具有优越的舍入特性，并在实践中使用。然后，例如，
成为对角矩阵
、和
由主对角线正上方和正下方的两条带组成，具有
否则。μ的乘积可以用类似结构的矩阵表示X（X），带组件(X（X）ij公司=0），并用函数ƒ（μ）乘以矩阵函数\402(X（X）). 因变量
等，用它们的光谱系数表示，例如。
,
。如果我们用G公司和H（H）也。 矩阵的大小G公司和H（H）就是那个时候
。如果ω0与赤道和α对称0正如我们假设的那样，反对称。然后对称和反对称模式解耦。对称模式是指ψ和X对称（其他变量反对称）的模式，而反对称模式具有相反的结构。G公司和H（H）可以分为大小一半的偶数和奇数部分（条目数的四分之一）。
这个对的求解这个截断差分方程组的方法是：（i）确定我渐近解，只保留满足有界性和辐射条件的物理解；以及（ii）从高处应用离散放炮方法我匹配ψ我= χ我= Ψ我=X我=0（对于）我⩽ 0. 然而，由于系统的复杂性，（i）是不切实际的。因此，我们采用“哑”方法，简单地求出由以下公式定义的截断有限维广义特征值方程的普通矩阵特征值G公司和H（H）频谱截断不可避免地引入了虚假的本征模。唯一的“安全”模式是那些在谱域截断尺度附近能量不显著的模式。这是一个后验概率检验，只有那些最大能量在我-空间小于任何我总体而言。获得虚假结果的模式通常是具有特征值的模式c（c）在或靠近实轴上，其临界点位于域中（参见方程式17)因为正是这些临界能级和随之而来的奇异本征解导致了显著的精细结构。我们还使用空间拍摄方法确认了所有结果。
在这种情况下，Galerkin矩阵方法的优点是可以同时计算大量的特征值，并且相对便宜。更重要的是，盖勒金和射击方法相互制约。
3在太阳速旋回上的应用
太阳核心中的Brunt-Väisälä或浮力频率通常远远超过围绕环形磁通绳传播的阿尔芬波的旋转频率或角频率。因此，任何由差动旋转驱动的过程，如剪切或磁剪切不稳定性，都可能在时间尺度（月）上发生，这比浮力驱动的径向运动（小时或天）要长得多。因此，我们可以将N个→∞, 这加强了严格的二维性。在纯水动力情况下，我们可以设想纬向剪切会导致2D不稳定性(Spiegel&Zahn 1992年). 然而，太阳纬向切变很可能在流体动力学上是稳定的(沃森1981;Dziembowski&Kosovichev 1987年;Charbonneau，Dikpati&Gilman 1999年a)或者在最坏的情况下，会出现饱和到很弱水平的不稳定性(加劳德2001). 另一方面，2D MHD不稳定性(Gilman&Fox 1997年、1999年a、b;Dikpati&Gilman 1999年;Gilman&Dikpati 2000年;Cally 2001年;Cally等人，2003年)很明显，它们很强，可能对测速曲线很重要。
在另一个极端，N个=0，就像在对流区一样，只是略微稳定（我们这里将对流本身视为一种平均背景平衡状态），因此极易受到剪切不稳定性的影响。因此，我们可能预计MHD的不稳定性会更强，并且具有明显的3D特征。
参考线性化微分方程表明，Brunt-Väisälä频率仅出现在θ-涡度中方程式10，通过熵方程式11。然后使用方程式7，我们看到了N个仅通过表达式输入
.通常对于太阳能问题，α0≲ω0因此，从全球来看，如果N个/米≪ω0另一方面，如果N个/米≫ω0我们预计Ψ（因此X）将很小，表明几乎是二维模式。然而，在这两种情况下，我们可能预计在磁引力临界点附近会有更复杂的3D行为，其中（ω0负极c（c）)2= α02+N个2/米2，尽管对于辐射速度线的（无量纲）Brunt-Väisälä频率特性（几十），在低时不可能出现这样的临界点米对于c（c）与ω相当0.以重力波为主的波浪(mc公司与…相比N个)可能包含此类奇点。
本节主要关注的是极向场的产生程度。在二维不稳定性中产生的平衡场和扰动当然都是环形的，但k个随着3D不稳定性的发展，非零极向磁场（和速度）呈指数增长。现在，可以导出总磁能的表达式（便于缩放）哪里E类T型美格和E类P（P）磁轭分别是环形和极向贡献。均方根极向场与均方根总场之比，然后是不稳定性中极向场生成程度的一个方便度量。就光谱系数而言，动能、磁能和浮力能为这些也明确了环形和极向能量贡献之间的划分。 在本节中，我们用数值方法探讨了径向波数范围内不稳定性的问题k个随…变化N个按照现在的传统，所有频率都按赤道旋转频率进行缩放，所有长度都按所考虑的层的半径进行缩放。我们选择剪切和磁性剖面对应于最大强度为10的宽磁场分布一T（105一G） 在±45°纬度。在二维中，只有米=1模式对于实际值不稳定秒和一(吉尔曼和福克斯1997)而反对称模通常具有更大的增长率。例如，使用合理的参数秒=0.18和一=1，反对称米=1不稳定性(c（c）= 0.9660 + 0.01652我)支配对称模式(c（c）= 0.9621 + 0.000175我). 显然，即使采用这些配置文件（34），我们也需要处理大量参数(米,N个,秒,一和k个)参数空间的详细调查是一项重大任务。相反，在这个阶段，我们将注意力大部分集中在剪切因子上秒=0.18，中上转速曲线的特征，以及无量纲Brunt-Väisälä频率的两种选择N个（1和30），以及场强参数的范围一介于0.5和1之间，分别对应于5和10 T的最大场强，大致跨越了可能产生表面活性区的环形场浓度的预期范围）。事实再次证明米=1是最有趣的。最后，我们看一看广泛的径向波数k个假设辐射速测线深度约为0.06 R⊙(Charbonneau等人，1999b)，无量纲层厚度约为小时=0.08，因此完整的半波长可以适合于k个≳ 40. 但是，如果重点放在过冲层上，则该值必须按比例增加。
3.1数值解
我们先处理这个案子N个= 1. 标度的Brunt-Väisälä频率在对流区底部正下方迅速增加到几十倍，因此实际上没有层N个～1是一个很好的近似值。然而，它很有趣，因为它代表了旋转和浮力时间尺度的近似均衡。在这种情况下，浮力和旋转之间的任何相互作用都应该是最明显的。它还可以作为一个方便的标准，用于比较较大的N个结果。
作为对我们数值求解方法的初步确认，图1显示了射门方法和盖勒金方法的一致性。以非常小的增长率c（c）我，谱方法失去了本征值（要么在实轴上，要么在截断噪声中），但这并不令人担忧，因为我们只对高增长模式感兴趣。除了这个差异外，这两种方法吻合得很好。
![m=1，N=1，s=0.18，a=1的反对称模的增长率是径向波数k的函数。曲线表示使用打靶法获得的结果，而点则来自Galerkin方法。]()
图1
增长率是径向波数的函数k个对于反对称模式米= 1,N个= 1,秒=0.18，以及一= 1. 曲线表示使用打靶法获得的结果，而点来自Galerkin方法
。
对于同一型号（即。米= 1,N个= 1,秒= 0.18,一=1），线性增长率作为k个中再次描述了图2，但对于更大范围的k个对称和反对称模式。截断时间为
图右侧的高增长率“曲线”均为物理曲线。事实上，他们在心理上非常“安全”，他们的能量被严格限制在适度范围内我。发现它们仅发生于米= 1; 事实上，对于米>任何位置1k个在这个模型中。“低”k个左右反对称模峰增长率中的驼峰k个=2，可能被认为是速度稍快(c（c）我=0.034与0.016）版本的2D倾翻不稳定性相比。其特征函数非常广泛(图3).
![ω0=1−0.18μ2、α0=μ、m=1和N=1作为k的函数的情况下的对称（左面板）和反对称（右面板）特征值。黑点表示虚部，灰点表示实部。使用Galerkin方法数值计算每个绘制的特征值，并在处进行频谱截断。]()
图2
ω情形的对称（左面板）和反对称（右面板）特征值0= 1 − 0.18μ2, α0= μ,米=1，和N个=1作为的函数k个.黑色点代表虚部，灰色点代表实部。使用Galerkin方法数值计算每个绘制的特征值，在
。
图3
具有的反对称模的特征函数k个=2，对于图2.顶板：ℜ（ψ）-重全曲线；ℑ（ψ） -轻型全曲线；ℜ（χ） -重型虚线，ℑ（ψ）-轻型虚线。底板：ℜ（Ψ）-重型全曲线）；ℑ（Ψ）-光线全曲线；ℜ（十） -重型虚线曲线；ℑ（十） -浅色虚线曲线。
另一个引人注目的特点是k个≳7.5，对称和反对称模式的特征值相同。这可以通过观察k个本征函数在高纬度有很强的局部化(图4和5)，所以两极基本上是独立的。事实上，随着k个→ ∞. 出于这个原因，我们称之为“极性扭结不稳定性”（“扭结”一词在这个名字中的重要性稍后将变得清楚）。
图4
至于图3（即。N个= 1,秒= 0.18,一=1），但带有k个= 60. 左面板：对称模式；右侧面板：反对称模式。
图5
反对称情况下磁场扰动的实（左面板）和虚（右面板）部分图4，即。N个= 1,秒=0.18，一= 1,k个= 60:一第页-全曲线；一θ-点曲线；一ϕ-链式曲线。
图6显示了相同情况下的复特征值，但具有一降至0.5。Galerkin搜索
没有发现任何极性扭结不稳定性。因此，不稳定性仅限于千赫≪1表示任何实际层厚度小时最值得注意的是，极性扭结不稳定性现在消失了。事实上，对于这个模型，它只发生在一>0.82，变得更强壮，在更低的位置k个作为一增加（比较图2具有图8).图7显示了极性扭结不稳定性增长率如何随一很明显，只有当极性阿尔芬角频率超过旋转角频率时才会发生，一=∣α0(1)∣ > ω0(1) = 1 −秒第4节对此进行了分析和确认。
图6
与中相同情况的复特征值图2但磁场强度只有一半，一= 0.5. 左侧面板：对称模式；右侧面板：反对称模式。完整曲线表示mc公司我和虚线曲线c（c）第页/1000（左面板）和c（c）第页/100（右侧面板）。这些特征值是用打靶法找到的。
![与图2相同情况下反对称模的复特征值，但磁场强度a=0.85（伽辽金法，）。请注意，与a=1情况相比，极性扭结模式的增长率更低，以及它们开始时的波数k增加。]()
图8
与中相同情况下反对称模态的复特征值图2，但具有磁场强度一=0.85（伽辽金法，
). 请注意，与一=1例，以及增加的波数k个他们开始的时候。
图7
作为磁场强度函数的主导极性扭结不稳定性的增长率一在限制内k个→ ∞ 对于这些案例秒=0.18（全曲线），秒=0.16（长破折号），以及秒=0.14（短划线）。这些结果与方程式57。
对于N个=30，具有辐射速测线的特征，情况主要通过拉伸k个按因子计算N个这在比较中很明显图9(一= 1,N个=30）图2(一= 1,N个=1），类似地图10(一= 0.5,N个=30）和6(一= 0.5,N个= 1). 这很容易通过引用从数学上理解等式38如下所示。我们看到了，因为N个≫1，Brunt-Väisälä频率仅通过术语输入N个/k个我们还注意到，渐近极性扭结不稳定性增长率与N个这将在下一节中得到确认。
![s=0.18、a=1、m=1和N=30情况下的对称（左面板）和反对称（右面板）特征值作为k的函数。间隙是由于光谱分辨率不足和“安全”标准造成的。放松安全阈值以预期的方式填补了这些空白，但代价是产生了一些明显虚假的点（其中一些点在左侧面板中仍然很明显）。这些特征值是使用Galerkin方法计算的。]()
图9
这种情况下的对称（左面板）和反对称（右面板）特征值秒= 0.18,一= 1,米=1，和N个=30作为的函数k个差距是由于光谱分辨率不足和“安全”标准造成的。放松安全阈值以预期的方式填补了这些空白，但代价是产生了一些明显虚假的点（其中一些点在左侧面板中仍然很明显）。使用Galerkin方法计算这些特征值
。
最后，在图11我们绘图对美格对于N个=30及两者一=1和一= 0.5. 在这两种情况下，都会在不稳定性中产生大量的极向场，特别是在极性扭结不稳定性中(一= 1).
图11
对美格反对k个为了这个案子N个=30和秒= 0.18. 左侧面板：一=1（光谱法），显示反对称结果。右侧面板：一=0.5（拍摄方法），具有对称（全曲线）和反对称（虚线曲线）模式。
4极扭结不稳定边界层分析
可以使用边界层分析来研究极性扭结不稳定性k个≫ 1 (Bender&Orszag 1978年). 首先，注意Ψ和X标度与k个（参见图4例如），我们介绍
和
，并预计Ψ，χ，
和
都是
.极地边界层厚度为δ，则
是
但是
检查方程（7）-（11）中的主要平衡，然后边界层（内部）方程为 其中下标“p”再次表示极点处的值μ=±1。在推导中方程式37，假设δ≪1。此假设在替换ω时也是隐含的0乘以ω第页等。 方程（35）-（37）的解很容易看出很简单和使用这些来消除ψ、χ和
从等式38产生相关的勒让德微分方程哪里北极的正则解是一个相关的勒让德函数一般来说，λ不必是整数，甚至不必是实数，因为该解只适用于边界层，在南极不一定是正则的。其他电位是这是内部（边界层）解决方案。 解决方案来自设置
适当的{对称/反对称}模式解为哪里C类1和C类2是任意常数。 内外解的匹配可以在重叠区域进行k个−2≪ 1 −μ2≪ 1. 在对称或反对称的情况下，发现匹配成为可能的必要条件是与λ≪一致k个（参见方程式42). 注意Ω第页= 2ω第页和J型第页= 2α第页,方程式52可以求解为屈服到主导顺序，因此只有当米=1和α第页2> ω2第页。由于当前分析假定存在不稳定性，我们假设米=1和α第页2> ω2第页从现在开始。 继续匹配，很容易表明C类1/C类2=−(ω第页负极c（c）)/α第页，还有那个假设λ≫1和1-μ2≪1，公式8.722来自Gradshteyn和Ryzhik（1994）产生更简单的渐近等价结果哪里J型0是一类零阶贝塞尔函数。因此哪里j个0,n个是n个的零点J型0这解释了主要极性扭结不稳定性曲线下的各种脊图2以及每次我们跳到下一个较低的脊时，在本征函数上再增加一个波瓣（参见。图12).图13描述了匹配的边界层解决方案n个= 1.
图12
与相同情况下的反对称特征函数图4但第二道山脊(c（c）= 0.049 + 0.43我). 注意溶液中的额外波瓣。
![k=60时的对称和反对称边界层解。匹配为μ=1−0.25 k−1/2。完整曲线表示外部解决方案，虚线曲线表示内部（边界层）解决方案。它们与图4的定性一致。]()
图13
对称和反对称边界层解
在k个=60。匹配为μ=1−0.25k个−1/2。完整曲线表示外部解决方案，虚线曲线表示内部（边界层）解决方案。他们在质量上与图4。
总之，从边界层分析中我们了解到
极性扭结不稳定性存在于k个→∞ 当且仅当米= 1和α第页2> ω2第页;
的真实部分c（c）在不稳定状态下渐近为零米=1例；
每个较低的极性扭结不稳定性脊对应于在其本征函数中再增加一个波瓣，并且与贝塞尔函数的过零点有关；
对称模和反对称模的渐近特征值是相同的。
虽然匹配边界层分析为我们提供了准确的特征值k个→∞, 它不产生有限的数值近似k个。为了实现这一点，有必要进行下一级近似，这是非常复杂的。因此，我们在k个< ∞. 然而，我们现在对极性扭结不稳定性的数学本质有了很好的理解。
极性扭结不稳定性的物理性质也很清楚：它只是适用于绕旋转轴的垂直管的标准扭结不稳定。这些管子当然是由磁力线环组成的。如果管子扭向一侧（米=1个具有大纵向波数的扰动k个)，向内移动的一侧的场线会发现自己被推得更近，而向外移动的一侧场线则会扩散。因此，磁压力不平衡加剧了扭结，并导致不稳定性。各种物理机制可以抑制不稳定性(Raadu 1972年). 在我们的例子中，由于场线（流线）被推到一起，场对齐的流体旋转在扭折侧加快，而在扭折端减慢。因此，快速旋转向外移动和缓慢旋转向内移动的趋势对不稳定性起到了抑制作用。我们的稳定性准则，ω20⩾α20因此具有良好的物理意义；如果磁场太弱（或旋转太强），扭结不稳定性就会被抑制。
极性扭结不稳定性中的磁扰动如所示图5θ和磁场分量占主导地位，约90°异相。这与匹配的渐近分析一致
在内部区域。径向分量一第页（即。
在边界层近似中）主要与一θ。添加到背景环形场时一ϕ0= α0第页sinθ，除极移特性外，还产生提升米=1，如中所示图14有效地，在未受干扰状态下围绕电杆的小闭环向垂直方向扭曲。因为c（c）第页接近于零，图案旋转非常缓慢。必须强调的是，浮力在不稳定性中并没有起到主要作用，除了缩放k个（即压缩径向长度刻度）。磁扭转是由于磁不稳定性，而不是浮力引起的。
图14
几个具有代表性的高纬度磁力线经历了极性扭结不稳定性。这是针对反对称的N个= 1,秒= 0.18,一= 1,k个=15模式（参见。图1和2). 场线段位于第页=1（阴影表面）和第页= 1 + π/k个=1.21，并且全部从底部开始，在45°、52.5°、60°、65°、70°和80°的纬度处，20%进入该层。这些线是通过向环形平衡场中添加一个较小但任意倍数的线性场，并对d进行积分而生成的第页/d日秒=一使用弧参数确定场线秒。这并不意味着非线性演化必然会达到这一阶段。
当然，在任何实际系统中，都存在扩散。不稳定性是否持续到任意大k个在热和其他扩散机制运行的情况下？以热传导（或扩散近似中的辐射）为例，熵方程式（A15）被替换为式中，κ是导热系数，或代替方程式11,这在光谱代码中实现起来微不足道（尽管在拍摄方法中由于方程顺序的增加而变得复杂）。典型的速测线辐射电导率为106米2秒−1翻译为κ～10左右−5以我们的无量纲单位。因此，我们预计热扩散将产生最大的影响k个和大型我（回忆一下
). 然而，图15表明扩散不会抑制不稳定性！相反，它使次主导脊更快地收敛到渐近状态，并使主导脊基本不变（高阶脊的消失可能是数值上的；在很大程度上，这些模式中的能量被逐步向下推到频谱中的截断尺度，因此这些脊没有被很好地建模，或者被删除，因为它们被认为是不可靠的）。原因很容易通过引用以下内容来解释等式38.包括径向热扩散，但为了简单起见，忽略了水平传导（即忽略
与…相比k个2)，已修改为作为κk个2浮力变大，浮力项变得不重要，我们回到可忽略不计的非扩散方程N个但正如我们所知N个这种情况下仍然存在极性扭结不稳定性，所以它的设定值要低得多k个（参见图2). 因此，扩散的效果主要是加速c（c）作为k个→ ∞, 如中所示图15。从物理角度来看，浮力会因较大的热扩散而停止，但由于这在不稳定性中并不重要，所以这并不重要。
图15
具有的反对称模的复特征值N个= 30,秒= 0.18,一= 1. 左面板：绝热；右面板：热扩散系数κ=10−5。
5流体动力情况
如所示沃森（1981），形式为ω的纯流体动力微分旋转0= 1 −秒μ22D稳定秒<2/7=0.286。太阳测速线几乎肯定在这个范围内。的左侧面板图16显示了该情况下径向波数的复特征值秒= 0.35. 正如预期的那样，它在k个=0（2D情况）。不稳定持续到k个= 51.6. 未发现对称不稳定性。（光谱法
在本节中使用。它表现得很好；例如，它发现秒=0.285对2D扰动稳定，但秒=0.288不稳定。）
图16
流体动力反对称模态的复特征值米=1和N个= 30. 完整曲线表示c（c）我虚线曲线是c（c）第页.左侧面板：秒= 0.35. 右侧面板：秒= 0.24. 这两种情况在k个此处绘制的范围。
不过，情况更令人感兴趣秒=0.24，可以说正好在可能的太阳测速曲线值范围内。当然，它在k个= 0. 然而，我们确实发现k个3D不稳定(图16，右侧面板）。这就增加了太阳测速曲线中3D流体动力学不稳定性的可能性，即使已知它是2D稳定的。然而图16非常小，不太可能具有实际意义。
6条带状磁剖面
带状磁剖面已在二维上进行了详细检查(Dikpati&Gilman 1999年;Gilman&Dikpati 2000年;Cally 2001年;Cally等人，2003年). 考虑到观测到的太阳黑子在首选纬度出现的趋势，带状剖面是一个很有吸引力的测速曲线场模型。这些带不稳定性和观测到的表面磁现象之间的联系由de Toma，White&Harvey（2000）。
在这些研究中，特定的磁场分布呈一对方向相反的高斯带的形式哪里W公司是纬向带宽（弧度），d日以μ为单位指定带的位置，以及一和之前一样是振幅。归一化因子第页选择的最大场强
是一/2，对应于广义α0=一μ配置。 我们在这里仅展示了这些波段的两个3D不稳定性示例，如图17.在第一个（弱场）中，不稳定性峰值约为k个=150，然后消失k个≈ 500. 因此，几个不稳定的径向波长可以很容易地穿过辐射测速曲线。第二个示例（强字段）显示大k个行为与极性扭结不稳定性非常相似，尽管特征值的实部显然不会消失k个→ ∞. 不幸的是，还没有找到这种情况下的精确稳定性标准（由于不再存在边界层，所以极性扭结分析无法进行，而是不稳定的本征函数覆盖了整个频带）。然而，数值实验表明它是不简单α02> ω02在波段峰值。
图17
以±30°纬度为中心的宽度为10°的带状高斯磁剖面的复特征值。Brunt-Väisälä频率为N个= 30. 左面板：峰值场强2T(一= 0.2); 右侧面板：峰值场强10 T(一= 1). 这个米=1只显示对称模式。完整曲线（拍摄方法结果）和黑点（光谱方法结果）代表增长率c（c）我，而虚线和灰点表示c（c）第页。
7讨论和结论
本文中的分析补充和扩展了吉尔曼和福克斯（1997、1999a、b）,Dikpati和Gilman（1999）和Gilman&Dikpati（2000），以及最近由吉尔曼（2000）,Dikpati&Gilman（2001a，b）和Gilman&Dikpati（2002）与所有这些研究一样，假设环形包裹场位于差异旋转的测速曲线中。特别是，我们在所有三维中求解控制线性化动量和感应方程，而不是径向假设静水平衡。然而，在这里应用时，径向的处理仍然过于简单，因为所有系数都假定独立于第页。这将在今后的工作中得到纠正。
重要的是要认识到，2D分析以及此处提出的3D模型实际上位于与薄管模型相反的极端。在前者中，流体不能越过磁力线，而在后者中，流体可以很容易地流过或流过细管，到达另一侧。显然，2D模型的许多进化特征在很大程度上取决于这一点。但是对于有限厚度的通量管会发生什么呢？在这里，我们可以参考有关Boussinesq圆柱绕流的大量文献（例如。布雷瑟顿1967;特纳1973)从中我们了解到，如果弗劳德数为如果=V（V）/注册护士（其中V（V）是远场流速，对是管子半径，以及N个是Brunt-Väisäläfrequency）小于阶统一的一些临界值-相反的情况是如果较大时产生背风波而非阻塞；它由“龙的模型”解决，并由以下人员详细讨论麦金太尔（1972）让我们考虑一个相当于可能形成太阳黑子的管子；即B类〜0.1 T，半径约为10 Mm。如果运输到胸锁并在面积上压缩100倍以产生10 T的场，我们有对～1 Mm.在我们的无量纲单位中，即对∼ 0.002. 拿V（V）例如，在表示流体相对于管道的速度时，它肯定远小于赤道旋转速度1V（V）∼ 0.05. 有（无量纲）N个～30，然后我们得到如果～1，表示边际状态。任何更高的N个或更大对或者更低V（V），将明显导致阻塞，预计水流演变将类似于本文中提出的二维模型和三维模型。然而，我们不知道，注定要形成太阳黑子的通量管是在测速曲线中被隔离，还是构成了更大的场浓度的一部分，因此，哪种模型是合适的这个问题必须保持开放。然而，检查可能性的范围显然很有趣。
从本文所采用的模型中，我们可以得出几个重要结论。我们已经发现了一类新的强磁剪切不稳定性，集中在极地。它影响了极性Alfvén角速度α的模型第页超过旋转角速度ω第页，并且仅在中显示米=1模式。因此，可以确定为倾翻不稳定性(米=1是唯一一种穿过两极倾斜的模式），但与2D倾斜不稳定性不同，它也倾向于将极性回路扭曲到垂直平面。因此，这有点让人想起平均场理论中提到的帕克的“气旋事件”，尽管它没有将直场提升和扭曲成垂直环，而是将现有的环极环提升到垂直方向。尽管环被径向挤压，以适合厚度为2π的层/k个此外，所有这些都会在不同波数范围内发生k个在几乎相同的速率下，较高的波数（较薄的层）被限制在极点周围逐渐变窄的区域。
尽管我们的分析忽略了α的变化0（μ） 和ω0（μ） 随着深度的增加，极性扭结不稳定性判据应在推广到α之后继续存在0(第页、μ）和ω0(第页，μ），因为ask个→ ∞ 径向局部分析是合适的（尽管背景流和涡度的非径向分量可能会改变待确定的事物）。因此，我们可以预期α0(第页, ±1)2> ω0(第页, ±1)2极性扭结不稳定。如果是这种情况，凸起的极环可以在极性区域的相邻壳体之间提供重要的机械耦合。
强带状磁剖面也可能遭受“极性扭结”类型的不稳定性，尽管弱磁场也明显不受影响。然而，在这种情况下，还没有找到不稳定性的精确标准。
与极性扭结中的旋转周期相比，时间尺度上精细结构的快速生成以及相关的带不稳定性可能对测速曲线的结构很重要。例如Spiegel&Zahn（1992）调用剪切诱导湍流来阻止层径向扩展。然而，目前尚不清楚这种情况会在多大程度上因限制对极区或带区的影响而发生改变。虽然极向场在扭结不稳定性中迅速产生，但其限制在很高的范围内k个辐射速测线N个因此，速度和磁场的实际径向分量很小。全面评估这些高k个不稳定性必须等待更真实的非线性建模。
当α第页2< ω第页2然而，由于不存在极性扭结不稳定性，我们有限的数值计算表明，宽场剖面中的三维不稳定性仅限于径向波数k个（无量纲）Brunt-Väisälä频率的几倍N个.在典型的辐射速测线值为N个=30，事实上k个≲ 150 (图10). 采用0.04R的速测线厚度⊙，即。小时≈0.06（无量纲），这表示千赫≲10，表明测速曲线中可以容纳几个径向波长。因此，除了线性浅水溶液之外的模式(赫≪1）可能存在。准确的模式取决于上边界条件，这是我们在本文中留下的一个悬而未决的问题。当然，并不是所有的上边界条件（例如刚性）都允许浅水解。
浅水模型预测了与对流无关的不稳定性驱动的α效应(Dikpati&Gilman 2001年a)它很可能在太阳周期中发挥重要作用(Dikpati&Gilman 2001c公司). 我们的3D模型还表明，不稳定性可能会产生显著的极向场（参见图11)，具有类似的含义。
有趣的是，发现增加Brunt-Väisälä的频率N个主要缩放径向波数k个不影响不稳定性的实际增长率。我们没有看到任何证据表明N个抑制3D不稳定性，但也不会增强它们。然而，它确实减少了不稳定性的径向尺度，本质上是把它们压缩成一个“煎饼”——只是小得不切实际N个是之间的比例k个和N个被改进的；看见等式38这是合理的；不稳定性只有一定比例的能量，它可以用于径向移动流体，对抗强稳定层结。
最终，需要对测速线剪切不稳定性进行三维非线性模拟，这要通过改进的测速线结构和磁场的日震数据来实现。已知不稳定性所涉及的时间尺度很短，足以让我们预期它们可能在太阳能发电机中发挥作用，或至少与太阳能发电机相互作用，因此这些研究可能被证明具有相当重要的意义。
致谢
作者希望感谢彼得·吉尔曼（Peter Gilman）对本文早期版本提出的一些令人鼓舞的问题，并指出了一些重要的参考文献。
工具书类
,
1978
,科学家和工程师的高级数学方法
。麦格劳-希尔
,纽约
,
1903
,查勒尔的Théorie分析
。聚集的村民
,巴黎
,
1988
,流体动力学中的谱方法
。Springer-Verlag公司
,柏林
,
1961
,流体动力学和水磁稳定性
。克拉伦登出版社
,牛津
,
1991
，英寸
，编辑，太阳内部和大气，275
。亚利桑那大学出版社
,图森，p
。275
,
1989
,矩阵计算
,约翰·霍普金斯大学出版社
,巴尔的摩
,
1994
,积分、级数和乘积表
,学术出版社
,圣地亚哥
,
1978
,导电流体中的磁场产生
。剑桥大学出版社
,剑桥
,
1996
，在Tsinganos K.C.编辑。，北约ASI序列号。C、 第481卷
太阳和天体物理磁流体。克鲁沃
,多德雷赫特
，第页。17
,
1982
,地球物理学。天体物理学。流体动力学。
,22
,219
,
1973
,流体中的浮力效应
。剑桥大学出版社
,剑桥
,
1981
,地球物理学。天体物理学。流体动力学。
,16
,285
附录
附录A：非线性演化方程
为了完整性，我们首先以适当的形式导出滞弹性方程，然后专门研究Boussinesq（薄层）系统，这将足以满足我们的目的，并大大降低代数复杂性。自始至终，鉴于我们只关注几年内演变的大规模现象，我们忽略了粘度、热扩散和磁扩散等非绝热效应。特别是，我们的能量方程很简单哪里秒是比熵。显然，如果对对流进行建模，就必须保留扩散效应。 A1滞弹性方程
我们假设背景平衡态是纯静水压的，其特征是密度ρ0，压力第页0，和比熵秒0，其中每个都是半径的函数第页只有。静水平衡产生d第页0/d日第页=−ρ0克采用考林近似，假设重力加速度仅为第页而且不受波动的影响。Brunt-Väisälä或浮力频率N个由定义哪里H（H）是密度刻度高度c（c）是声速。滞弹性方程的推导Lantz&Fan（1999）假设背景状态为等熵（即。N个=0），测试超绝热梯度(N个2<0）会导致高马赫数流动，这将破坏滞弹性近似的基础。然而，我们对亚绝热层结更感兴趣(N个2>0）如辐射芯所示-参见Dintrans&Rieutord（2001）以非等熵恒星模型应用滞弹性近似为例，我们不假设秒0是统一的。的确，d秒0/d日第页=c（c）第页N个2/克，其中c（c）第页是恒压下的比热。 与背景状态的偏差用ρ表示1,第页1和秒1以及磁场B类从全动量方程中减去静水力学方程，然后得出哪里j个=μ−10∇×B类是电流密度。 现在，ρ1,第页1和秒1是欧拉的变体。相应的拉格朗日摄动δρ，δ第页和δ秒可能与假设为理想气体。拉格朗日变量和欧拉变量通过δρ=ρ关联1−ξ第页ρ0/H（H）, δ第页=第页1−ρ0克ξ第页、和δ秒=秒1+c（c）第页N个2ξ第页/克，式中ξ第页是径向位移和H（H）是密度刻度高度。将这些替换为方程式（A5）然后得出ρ之间的关系1,第页1和秒1以下为：在这里，方程式（A2）用于消除与ξ成比例的项第页最后，消除ρ1从中的浮力项方程式（A3）使用方程式（A6）在其他地方完全忽略了(Gough 1969年)，完整的滞弹性方程组变为：动量熵质量连续性归纳在等熵情况下N个=0，这减少到由Lantz&Fan（1999）。 虽然势头强劲方程式（A7）可以使用多种数值技术直接求解，采用旋度来消除压力梯度项有一些优点。这就产生了一个涡度方程Ω=∇×v（v）, A2 Boussinesq方程
Boussinesq方程只是由于忽略了背景系数ρ的径向依赖性0和克但就目前而言N个,v（v）和B类保留。然而，数量级分析表明N个2第页1/克ρ0到克1/c（c）第页正常小时/克τ2，其中小时是层厚，τ是典型的动力学时间尺度，即自由落体时间与动力学时间之比的平方。就我们而言，这将是非常小的(
或更少），我们忽略了N个2第页1/克ρ0从现在开始。
在不可压缩流体动力学中，我们可以选择使用涡量方程，或动量方程和泊松方程来表示压力。我们发现采用前一种方法最为方便，但为了完整性，我们还加入了动量方程。我们有以下方程式：
动量漩涡熵质量连续性归纳在这里
是矢量阿尔芬速度，J型=Ş×一是标度电流密度，S公司= (克/c（c）第页)秒1、和
注意，现在速度本身是螺线管，我们可能会膨胀这个第页、θ和速度分量，u个,v（v）和w个分别由指定其中μ=cosθ，以及是球面2D拉普拉斯算子。涡度的相应分量如下所示组件的公式一和J型以类比的方式给出。 虽然我们不使用它，但我们注意到，有时应用未弯曲的诱导方程可能比较方便其中Φ是满足的规范势下标表示“水平”部分，即仅θ和分量。
©2003 RAS 2003版权所有
