椭球坍缩和暗物质晕的数量和空间分布的改进模型

摘要

Press-Schechter偏移集方法可以预测束缚物体质量函数的形状和演化。该方法结合了物体球形塌陷的假设和初始密度波动为高斯且较小的假设。预测的质量函数相当准确，尽管与层次聚类模拟相比，它具有更少的高质量物体和更多的低质量物体。我们表明，如果假设束缚结构是由椭球形而不是球形形成的，那么理论和模拟之间的差异可以大大减少，坍塌。在原始的标准球形模型中，如果区域内的初始密度超过阈值，则该区域会塌陷，δ_供应链。该值与区域的初始大小无关，并且由于塌陷对象的质量与其初始大小相关，这意味着δ_供应链与最终质量无关。在椭球模型中，一个区域的坍塌取决于周围的剪切场，以及它的初始超密度。在高斯随机场中，这些量的分布取决于所考虑区域的大小。由于区域的质量与其初始尺寸有关，因此塌陷所需的密度阈值与最终物体的质量之间存在关系。我们为此提供了一个拟合函数δ_电子商务(米)关系，简化了在偏移集方法中包含椭球动力学。我们讨论了偏移集预测与高分辨率光晕分布之间的关系N个-身体模拟，并使用我们新的方法公式表明，我们对椭球坍塌模型的简单参数化表示了对逐对象球形模型的改进。最后，我们表明，相关的统计预测、质量函数和大规模卤代-质量偏差关系也比标准预测更准确。

1引言

目前的星系形成模型假设，星系结构是从最初的高斯密度波动中分层增长的。坍缩的、虚拟化的暗物质晕从初始涨落场中凝聚而出，正是在这些晕内气体冷却并形成恒星(White&Rees 1978年;White&Frenk 1991年;考夫曼等人，1999年). 在这种模型中，了解这些暗晕的性质非常重要。有一些希望，暗晕将相对容易理解，因为在很好的近似情况下，重力本身决定了它们的性质。暗晕的形成和其他性质可以用这两种方法来研究N个-人体模拟和分析模型。目前最成熟的分析模型被称为Press-Schechter方法。它允许人们计算质量函数的良好近似值(Press&Schechter 1974年;邦德等人，1991年)，合并历史(莱西和科尔1993,1994;谢斯1996;Sheth&Lemson 1999b公司)以及空间聚类(Mo&White 1996年;Mo，Jing&White 1996年,1997;Catelan等人，1998年;谢斯1998;Sheth&Lemson 1999年a)黑暗光环。

让n个(米,z（z）)表示具有质量的束缚物体的数量密度米时间z（z）.Press&Schechter（1974）认为晚期坍塌的晕可以通过初始密度场中的过密区域来识别。邦德等人（1991）描述了物体由球形坍缩形成的假设如何与初始涨落分布为高斯的事实相结合，以预测n个(米,z（z）). 为此，他们做了两个假设：（i）一个区域在某一时间崩溃z（z）如果其内的初始过密度超过临界值，δ_供应链(z（z）). 该临界值取决于z（z），但与区域的初始大小无关。依赖δ_供应链在z（z）由球形坍塌模型给出。（ii）涨落场的高斯性质意味着n个(米,z（z）)通过考虑许多独立的、不相关的随机游动的越障统计信息给出，其中障碍形状B类(米,z（z）)事实上，在球面模型中，δ_供应链独立于米这里有一个重要的细节：随机游动的不相关性质是一种近似，主要用于简化分析模型；它只适用于锐利的情况k个-空间过滤器，而物理模型几乎总是用真实空间中的帽子来表达。我们将在本文的稍后部分回到这个细节。

虽然这个“标准”模型预测的质量函数相当准确，但数值模拟表明，对于小光晕，它可能会失败(莱西和科尔1994;Sheth&Tormen 1999年). 这种差异并不奇怪，因为必须做出许多假设才能得出相当简单的分析预测。特别是，动力学的球形坍塌近似可能不准确，因为我们知道高斯密度场中的扰动本质上是三轴的(Doroshkevich 1970年;Bardeen等人，1986年).

在本文中，我们通过引入非球形坍塌效应来修改标准形式。在第2节我们认为，包括椭球坍缩动力学而非球形坍缩动力学的主要作用是引入坍缩所需临界密度对晕质量的简单依赖性。文献中对偏移集方法为什么有效进行了一些讨论。第3节继续这一点，并表明我们对“标准”模型的简单更改以逐个对象为基础减少了光晕预测质量和实际质量之间的散布。第4节结果表明，这种简单的改变也大大提高了预测统计量（晕质量函数和晕质量偏差关系）与相应模拟结果之间的一致性。最后一节总结了我们的发现，并讨论了它们与摩纳哥（1995,1997年a,b）,邦德和迈尔斯（1996）,审计，Teyssier&Alimi（1997）和Lee&Shandarin（1998）.

2游程集方法

本节的第一部分总结了“标准”模型，其中球形坍塌模型与初始波动为高斯且较小的假设相结合。第二部分展示了如何修改“标准”模型，以纳入椭球形而非球形塌陷的影响。

2.1球形坍塌：恒定屏障

注意，在这种方法中，背景宇宙学和功率谱形状的影响可以很好地分开。宇宙学模型决定了δ_供应链取决于z（z）而功率谱的形状决定了方差如何取决于规模第页，因此它修复了如何σ取决于质量此外，对于无标度光谱，如果质量函数在一个输出时间被很好地确定，那么其他的可以通过简单的重新缩放来计算。

在这种偏移集方法中，质量函数的形状取决于B类(σ)和σ(米). 自σ(米)取决于初始功率谱的形状，但不取决于潜在的动力学，要将椭球坍塌的影响纳入偏移集模型，我们只需要确定与新的非球形动力学相关的屏障形状。下面，我们将介绍一种简单的方法。

2.2椭圆坍塌：移动障碍

均质椭球体的引力坍缩由Icke（1973）,《白与丝》（1979）,皮伯斯（1980）,Barrow&Silk（1981）,莱姆森（1993）和艾森斯坦和勒布（1995）。我们将使用下面描述的形式的模型邦德和迈尔斯（1996）也就是说，假设初始剪切场比初始密度场更好地描述扰动的演化，选择初始条件和外部潮汐来恢复线性状态下的Zeldovich近似，并将虚化定义为第三轴崩溃的时间。最后一个选择意味着有一些自由度与假设每个轴在回转后如何演变有关，这是我们将在下面描述的模型中的主要自由参数。以下邦德和迈尔斯（1996），我们选择了以下处方。然而，原则上，一个轴可能会坍塌到零半径，一旦每个轴因某些关键因素而收缩，就会冻结坍塌。选择该冻结半径，以便虚拟化时的密度对比与球形坍缩模型中的密度对比相同（临界密度的179倍）。以下结果对该冻结半径的准确值并不十分敏感。

我们想考虑初始高斯涨落场中椭球体的坍塌。附录A以任何比例显示R（右）_（f）参数化依据σ(R（右）_（f）)，可能的值范围为e（电子）,第页和δ这意味着存在与大小区域相关的崩溃时间范围R（右）_（f）原则上，我们可以获得平均值的估计值δ_电子商务(σ)通过平均δ_电子商务(e（电子）,第页)超过…的分布(e（电子）,第页,δσ)适当地。本质上，摩纳哥（1995）,Audit等人（1997）和Lee&Shandarin（1998）给你开不同的处方。我们将使用下面描述的更简单的过程。

请注意，功率谱仅在以下关系中输入σ和米而宇宙学的影响只存在于δ_供应链和z（z）例如，对于SCDM、OCDM和∧CDM模型，如果所有方差σ²(米)使用与模型相关的功率谱和δ_供应链(z（z）)在考虑了对背景宇宙学的依赖性之后，使用球形坍塌模型进行了计算：这些模型之间的差异主要是由于转换了尺度变量ν物理变量z（z）和米.

的许多功能方程式（4）值得注意。大量对象具有对于此类对象方程式（4）表明所以坍塌所需的临界超密度z（z）近似独立于质量：球形坍塌模型很好地描述了大质量物体。其他方法产生相同的结果（例如。伯纳多1994). 其次，临界过密度随σ(米)，所以对于质量较小的物体来说，它会更大。这是因为较小的物体更容易受到外部潮汐的影响；如果它们要在坍塌时保持一致，就必须有更大的内部密度。

口译的伟大美德方程式（4）由于“移动”屏障形状是指，一旦屏障形状已知，就可以相对容易地计算偏移集程序的所有预测。这意味着我们可以使用莱西和科尔（1993）以计算与椭球而非球形坍缩相关的条件质量函数。与原始模型一样，这是通过考虑与不同红移相关的边界的连续交叉来实现的。一旦这个条件质量函数已知，就可以使用下面描述的算法来构建合并历史树林Sheth&Lemson（1999b），从中可以使用以下逻辑导出与该质量函数相关联的非线性随机偏置：Mo&White（1996）和Sheth&Lemson（1999年a）.

3偏移集预测和N个-车身模拟

中的质量函数方程式（2）最初由Press&Schechter（1974）他们使用了密度大于δ_供应链(z（z）)按给定比例σ(米)计算红移时晕的质量函数z（z）（另见Efstathiou，Fall&Hogan 1982和爱泼斯坦1983). 然而，他们的推导并没有正确地解决密度大于δ_供应链(z（z）)在多个尺度上（参见例如，《孔雀与天堂》1991）。偏移集方法邦德等人（1991）展示了如何做到这一点。它基于以下假设：z（z），坍塌物体的质量与初始条件下最大区域内可能坍塌的质量相同z（z）.

不幸的是，无论是在初始条件下还是在最终时间，这个假设都没有提及崩塌发生的中心。这在文献中引发了一些讨论，即人们应该如何准确地将偏移集方法预测与层次聚类数值模拟中形成的晕进行比较Bond等人（1991年）计算是根据随机行走的集合平均统计来进行的，并且假定集合与模拟框中的质量元素集合相关，大多数测试将随机选择的质量元素的偏移集预测与该质量元素实际所在对象的质量进行比较。这样做导致了这样一种看法，即在逐个对象的基础上，偏移集的预测极其不可靠(邦德等人，1991年;怀特1996)，所以很难解释为什么在统计意义上，偏移集预测的效果如此好(1999年摩纳哥). 本节讨论了这种方法的预测与数值模拟结果之间的关系。它认为，区分崩塌发生的中心和随机选择的位置至关重要。它表明，一旦完成这项工作，偏移集方法实际上确实可以做出准确的预测，即使是在逐个对象的基础上。这一比较表明，在逐个对象的基础上，我们对椭球动力学的参数化是对标准球面模型的改进。

3.1在初始条件下选择卤素

假设我们对偏移集假设的陈述是正确的：在初始条件下最大的区域可以坍塌，也会坍塌。然后，应该可以将球形坍塌模型与初始涨落场的统计相结合，以获得在z（z）。这样做的自然方式如下。生成初始高斯随机波动场。计算以场的每个位置为中心的同心球面区域内的平均密度。这些是与每个位置相关的偏移设置轨迹。

在每个位置，找到初始平均密度波动超过的最大球形区域δ_供应链(z（z）). 将该区域内的质量称为预测质量。因此，对于初始场中的每个位置，都有一个关联的米_{pred（前）}(z（z）). 转到最大的位置米_{pred（前）}(z（z）)，调用此位置第页₁并设置与关联米₁是球形体积以…为中心第页₁忽略此范围内所有其他位置的预测质量（即忽略偏移设定轨迹）v（v）₁.如果模拟框有体积五，考虑剩余体积.设置米₂等于的最大值米_{pred（前）}(z（z）)在剩余的卷中并记录这个位置第页₂.忽略相关位置内所有其他位置的预测质量v（v）₂。继续操作，直到模拟框中的剩余体积尽可能小。结果列表米_我s表示偏移集方法预测的晕质量函数。职位列表第页_我表示光晕的拉格朗日空间位置。这基本上是第3.3节末尾描述的算法Bond&Myers（1996）（他们还描述了在发生以下情况时应该做什么，例如，与v（v）₂在之内v（v）₁.）将椭球动力学而非球面动力学包含在此偏移集算法中是微不足道的：只需替换δ_供应链具有δ_电子商务(米). 当然，我们可以这样做，因为椭球体所占据的初始体积，在很好的近似下，是球形的。

虽然该算法自然地遵循偏移集假设，但在实践中效率相当低。因此，为偏移集初步选择候选位置第页_我s可能更有效率。例如，尽管上述算法选择了初始值中的峰值米_{pred（前）}分布，这些峰值的位置可能对应于密度场本身的峰值。由于这些可能更容易识别，因此使用它们可能更有效。从本质上讲，这就是邦德和迈尔斯（1996）.

3.2预测和实际晕质量

对于给定的密度场，偏移集轨迹集取决于用于计算与每个平滑尺度相关的密度的滤波器的形状。如果滤波器是傅立叶空间中的顶帽滤波器，那么每个偏移集轨迹都是具有不相关步长的随机游动；与过滤器相关联的轨迹在实际空间中是一个顶级的步骤。这意味着偏移集米_我s取决于滤波器的选择。在本节的其余部分中，我们将使用一个过滤器，它是实际空间中的一顶帽子。

上述算法表明米_{pred（前）}相关的是列表中的那些米_我也就是说，在偏移集轨迹束中，只有少数轨迹实际上与塌陷的物体有关。很容易理解为什么。想象一下运行一个数值模拟。在模拟中选择一个随机粒子，并记录质量米这个粒子处于某个特定红移的光晕z（z）由于粒子是随机选择的，因此几乎可以肯定它不是其所在光环的中心粒子z（z）有没有一个简单的原因可以解释为什么光晕在质量中心粒子周围坍塌，而不是在随机选择的粒子周围？偏移集对这个问题的回答是“是”：坍塌发生在偏移集预测质量的初始局部最大值的位置附近。当坍塌发生时，该方法假定壳体不交叉，因此最初同心壳体保持同心。这意味着最后时刻的质量中心粒子也是最初的质量中心（粒子保持其在初始条件下的结合能等级），并且该质量中心粒子的预测质量高于随机选择的质量中心。这有一个重要的结果，即只有质量中心粒子预测才能很好地估计z；所有其他粒子都低估了最终质量。

我们将使用图2-4分两步证明偏移集模型的准确性。首先，我们将使用图2认为椭球动力学是对球面模型的真正改进。然后，我们将使用图3和4为了证明我们与椭球动力学相关联的移动障碍偏移集方法可以在逐个对象的基础上进行准确的预测。

为了证明我们对上述偏移集模型的表述确实具有预测性，我们必须证明它满足所谓的“向前”测试。也就是说，我们应该在初始时间构建“预测质量场”，找到该场中的局部最大值，利用这些初始峰值来识别当前应该是晕中心的粒子，并比较预测的质量中心集及其预测质量，实际上是质心的粒子。相反，图2-4下面是所谓的“反向”比较。也就是说，他们检查了目前光环的质量中心粒子是否被预测为具有正确质量的光环。我们将在下面论证，“反向测试”的结果强烈表明，“正向测试”也会得到满足。

图2-4使用Simon White善意提供的数值模拟进行构建，并在中进行了更详细的描述怀特（1996）。它们遵循10的聚类⁶白噪声初始条件下的粒子（后续结果与其他初始功率谱相似）。我们选择显示该输出时间的结果在模拟中，每个含有10个以上粒子的卤化物数量为~10⁴选择此数字是为了便于与怀特（1996），其中散点图包含～10⁴给出了粒子。

为了证明物体的演化可以用球面动力学或椭球动力学很好地描述，我们应该将物体的三个轴的演化与模型的演化进行比较。对于球形模型，这是由莱姆森（1995）。我们将在这里进行一次粗糙度测试。在球形塌陷模型中，对象形成于z（z）如果其内部的初始过密度超过δ_供应链(z（z）). 由于在模型中，壳不会交叉，因此最初同心区域保持同心，因此我们可以进行比较M（M）_预测，在密度超过的初始条件下，以随机选择的粒子为中心的最大球形区域内包含的质量δ_供应链(z（z）)，使用M（M）_光晕，粒子实际所在的物体的质量z（z）与椭球动力学的比较是相似的，只是使用了δ_电子商务(M（M）_光晕)，而不是球形坍塌值，来计算预测质量。因此，这不是测试物体的详细演化，而是测试虚拟化发生前所需的时间是否取决于模型描述的初始过密度。

图2显示了10的这个比较⁴从模拟中随机选择的粒子。（我们在两个面板中使用相同的粒子集。出于外观原因，预测的质量在每个质量箱中随机移动，如下所述怀特1996.）左边的面板显示了与球面动力学相关的散点图（应将其与怀特的散点图相比较，怀特的散点图是通过模拟构建的初始条件），右边的面板显示了使用我们的椭球动力学参数化的结果。也就是说年与粒子相关的位置由以下公式给出M（M）_光晕、粒子所在光环的质量，以及x个位置如我们上面所述。

这两个面板之间的差异是惊人的：右侧面板中的点仅填充左上半部分。这种差异很容易理解：然而δ_供应链独立于M（M）_光晕,δ_电子商务(米)增加为米减少。因此，相对于球形模型，包含临界椭球坍塌过密度的最大过滤器尺寸随着M（M）_光晕减少，因此总是。因此，实际上，包括椭球动力学在内，会将球形模型散点图中的所有点向左移动，平均而言，这种移动取决于M（M）_光晕.

怀特（1996）认为如果邦德等人（1991）偏移集方法的公式是正确的，那么在这样的图中不应该有分散。图2表明，尽管M（M）_光晕和M（M）_预测椭球模型比球面模型更紧密，两个面板中的散射仍然很大。事实上，这种分散性相当大，这使得怀特认为偏移集预测的准确性令人惊讶。

然而，正如我们上面所讨论的，这种散射在很大程度上是选择随机粒子来构建散射图的结果。我们认为，由于随机粒子几乎总是会低估真实质量，因此这样的图只能填充在左上半部分。显然，球面动力学并非如此（左侧的面板）。虽然右边的面板看起来更像我们的预期，但它并不是对椭球体坍塌、移动障碍物、偏移集模型的公平测试，因为它是使用固定的δ_电子商务(M（M）_光晕)而不是取决于比例的计算M（M）_预测.使用规模相关δ_电子商务(米)关系，而不是固定值δ_电子商务(M（M）_光晕)，构建绘图将产生将一些点向右移动的效果[因为尽管如此，该小组认为，包含椭球动力学代表了对球形模型的净改进。

为了更清楚地说明这一点，图3显示了仅使用作为卤代物中心的粒子进行理论和模拟之间的比较所获得的散点图。（由于初始条件下的离散效应在最初由质量较小的晕圈占据的小尺度上变得重要，因此只有包含10个以上粒子的晕圈才用于绘制此图）。如前所述，左边的面板显示了使用球面动力学计算预测质量的结果，右边的面板显示的是与椭球动力学相关的结果，但现在，预测质量是使用椭球坍塌移动屏障计算的，而不是固定在与M（M）_光晕。此图与前一图之间最显著的区别是，现在两个面板的左上半部分都是空的。正如我们上面所讨论的，这为我们的偏移集假设提供了有力的支持，即崩溃发生在米_{pred（前）}分配。特别是，两个面板的左上半部分都是空的这一事实表明，如果我们进行了“正向测试”，那么它就会得到满足。

在构建散点图时，仅使用质量中心粒子可以测试球形和椭球模型近似与精确动力学的相对优点。在这两个面板中，如果预测的某些质量位于光环中，而这些质量已经分配给了更大质量的光环，那么预测与模拟之间就会出现一些差异，因为生成填充绘图右下半部的点。然而，在椭球模型中，一些差异几乎肯定是由于我们使用一个非常简单的公式将质量与e（电子）和第页。可能通过显式计算可以减少右侧面板中的散射δ_电子商务(e（电子）,第页)，并使用此计算M（M）_椭球形的，而不是使用代表值e（电子）_{mp（最大功率）}推导时采用的方程式（4）.

图4显示了以以下粗略方式解释这种分散影响的结果。包含质量的初始区域M（M）_光晕可能有不同的价值观e（电子）和第页从我们假设的情况来看。自δ_电子商务是的函数e（电子）和第页，更改这些值会导致不同的预测M（M）_椭球形的通过图中每个点的线说明了如果椭球坍塌屏障方程式（4）有在任何给定的尺度上，积分在这个范围内第页[召回说明了这一点第页大约50%的时间在这个范围内70%的时间）。为了清楚起见，～10⁴对象，仅显示随机选择的500个。该图比上图更清楚地显示了相关性。它还表明，至少对于某些物体而言，预测质量和实际质量之间的差异可能归因于初始值的分散e（电子）和第页。我们没有对此进行进一步的详细研究。

我们认为，综合起来，上述三个数字说明了两点。首先，由于质量中心粒子散点图的左上半部分实际上是空的，我们的偏移集假设崩溃发生在米_{pred（前）}分配必须非常准确。其次，因为质量中心点遵循关系相当好，并且由于椭球面的平均关系周围的散射比球面动力学预测的散射更小，因此我们在偏移集方法中对椭球动力学的参数化代表了在逐个对象的基础上对球面模型的改进。

我们认为有必要指出，我们的模型中，坍塌发生在预测坍塌质量场的局部最大值附近，要求坍塌应该沿着所有三个轴发生。如果我们只选择沿着第一条轴线塌陷来表示虚拟化，δ_电子商务(米)将随着米在这种情况下，包括椭球动力学将增加图2此外，左侧面板中的所有点图3将向右移动，点的大小M（M）_光晕被进一步转移。因此，如果在得到的散点图中，预测质量和模拟质量之间存在任何相关性，则不会沿着行。因此，如果坍塌发生在M（M）_预测字段，图2-4为我们用初始椭球体所有三个轴坍缩的时间来确定虚化提供了有力的经验依据。

由于质量中心粒子确实显示了预期的相关性，如果有人对研究坍塌物体的统计特性感兴趣，那么只研究这些质量中心粒子应该是一种很好的近似方法。例如，假设有人有兴趣利用初始分布是高斯随机场这一事实来预测沿所有三个轴坍塌的物体所含的质量分数。因为在初始高斯场中，预计只有8%的位置会沿着所有三个轴坍塌(Doroshkevich 1970年)有人可能会得出结论，只有8%的质量可以包含在这些物体中。然而，在我们的方法中，相关的问题不是所有位置中的哪一部分可以沿着所有三个轴坍塌，而是质量中心粒子的哪一个部分（或者，等效地，初始位置的峰值米_{pred（前）}分布）可以沿所有三个轴塌陷。几乎可以肯定，这一比例接近统一，而不是8%。此外，由于每一个这样的粒子都可能位于坍塌晕的中心，其质量远大于单个粒子的质量，因此沿所有三个轴坍塌的物体中的实际质量分数可能相当大。由于这些质心粒子几乎可以肯定不是随机放置在初始场中的，因此在这些位置周围坍塌的总质量的分数更难估计，尽管它肯定远大于8%。这也是计算其他统计量（例如坍塌物体的质量函数）更复杂的原因。

4统计预测

本节提供了在偏移集方法中包含椭球动力学的两个结果示例。

4.1质量函数

在偏移集方法中，从上一节的逐对象比较到关于折叠对象的数量密度的声明涉及两个步骤。第一个是对质量分数的陈述，该质量分数被预测为以一定质量的物体结束，第二个是预测的质量分数如何与该质量的坍塌物体的实际分数相关。如果总是正确预测物体的质量，则这些步骤中的第二个步骤由以下公式给出方程式（1）假设是这样的（前面各节的散点图表明，这是一个合理的近似值，前提是质量中心粒子是用于预测的粒子）。然后将问题简化为计算第一步的良好近似值。

根据使用邦德等人（1991）-也就是说，通过不相关的随机行走，使用椭圆体坍塌移动障碍物的第一交叉分布方程式（1）。由于随机选择的粒子的统计信息与质量中心粒子的统计数据不同，并且由于上一节中显示的对象对对象的比较是使用实际空间中的顶帽计算的（因此与每个位置相关的随机行走轨迹具有相关步数），然而，不相关随机游走一次交叉分布假定滤波器是傅里叶空间中的顶帽，这样做肯定是不一致的。然而，由于该程序具有恒定的势垒形状，给出了与球形坍塌相关的质量函数的原始Bond等人公式，我们认为这是一种基于移动势垒模型来说明椭圆坍塌之间差异的简单方法(方程式5)和更传统的球形坍塌(方程式2).

在某种程度上一取决于模拟中如何识别光晕，并且在如何实现这一点上有一定的自由度。通常，使用friends-of-friends或球形过密度算法来识别绑定组。这两种算法都有一个自由参数，该参数通常使用球形坍塌模型设置。在球形过密度情况下，过密度通常设置为背景密度的～200倍。在friends-of-friends的情况下，通常将链接长度设置为平均粒子间距的0.2倍。显然，质量函数的形状将取决于组的识别方式。例如，在friends-of-friends的情况下，减少链接长度将减少大量对象。由于我们考虑的是与坍塌椭球相关的质量函数，因此不太明显，这些群探测器中的自由参数应该使用球形坍塌值进行设置。

考虑一下在friends-of-friends案例中更改链接长度时会发生什么。如果平均而言，使用给定链接长度识别的物体的密度分布是幂律，那么减少链接长度意味着所有光晕都会因某些乘法因子而变得不那么重。如果幂律近似独立于晕质量，则该因子也近似独立于晕轮质量。这意味着，对于某些尺度范围，friends-of-friends链接长度和参数之间存在简并M（M）∗. 由于模拟中的质量函数是这将转化为链路长度和M（M）*，因此链路长度和σ*可能取决于功率谱。因此，我们将处理参数一在里面方程式（6）与链接长度相关。价值观是指当功率谱来自CDM系列时，链接长度是平均粒间分离的0.2倍，该值由球形坍塌模型建议。假设，如果我们充分减少这个链接长度，我们会发现由于与关联的链接长度或多或少是标准的，我们没有改变它并重新计算了模拟质量函数。

除了链接长度之外这可能与我们使用了一个非常简单的程序，从对象对对象的比较到质量函数有关。回想一下，这是分两个步骤完成的；第一步假设质量之间几乎没有尖锐的散射k个-空间滤波器（这是我们用来证明理论上方程式5和4与模拟类似方程式6和7)以及真实空间中的top-hat（用于进行对象对对象的比较，显示预测质量和实际质量之间的分散性很小）。此外，如前一节末尾所讨论的，晕不会在初始涨落场中的随机位置周围坍塌，这一事实可能会修改预测的质量函数（使用方程式5是近似值）。我们计划在另一篇论文中详细推导与独立随机偏移集轨道相关的第一交叉分布与与质量中心轨道相关的质量函数之间的关系。现在，我们只需注意GIF障碍(方程式7)只是移动屏障的缩放版本方程式（4）强烈支持椭球坍塌模型的准确性。

4.2大规模偏差

在下文中，我们将考虑晕-质量偏差关系，定义为晕分布的功率谱与物质分布功率谱的比值。Mo&White（1996）认为这个比率应该保持不变k个该常数的值应取决于晕质量。图5显示了这种大规模偏差关系，它是由初始无标度高斯随机密度起伏场形成的晕的晕质量的函数：即初始功率谱为虚线表示京氏（1998）适应这种偏差关系，在层次聚类的数值模拟中测量（另请参见京1999,Porciani，Catelan&Lacey 1999年和Sheth&Lemson 1999年a). 虚线显示了Mo&White使用“标准”球形坍塌、恒定势垒模型计算的偏差关系。虽然它相当准确，但模拟中质量较小的晕似乎比该模型预测的更密集。Sheth&Tormen（1999）认为这种失礼的部分原因是模拟中的质量函数不同于Press-Schechter函数。他们将模拟质量函数与峰值背景分裂近似相结合，以估计大规模偏差。如果Jing的无标度模拟中的重标度质量函数与GIF模拟中的相同，那么它们的峰值背景分裂公式比标准模型表现得更好，尽管它不会产生Jing发现的低质量反转。此外，Sheth&Tormen没有给出质量函数与标准函数不同的动力学理由。

最后，我们将椭球坍塌偏置关系与从实际初始功率谱开始的模拟结果进行了简要比较。Sheth&Tormen（1999）表明，在SCDM、∧CDM和OCDM模型的GIF模拟中，定义为z（z）_形式和在可以重新缩放以生成独立于z（z）_形式（请参阅他们的图4). 中的符号图6显示此重缩放的偏差关系1、2和4（分别为实心三角形、空心正方形、实心圆和空心圆）。虚线表示标准球形坍塌预测，虚线表示与峰值背景分裂相关的偏差关系，实线表示椭球形坍塌预测。这些GIF模拟范围较小δ_供应链/σ比Jing的无标度运行。在这个较小的范围内，峰值背景分裂公式和移动势垒预测均与模拟结果吻合良好。

5讨论

模拟中测量的质量函数(方程式6)与之不同(方程式2)预测者Press&Schechter（1974）通过偏移集方法邦德等人（1991）和莱西和科尔（1993）如果一个模型不能准确预测质量函数，那么其他模型的预测，例如大规模的卤代-质量偏差关系，也将是不准确的（例如。Sheth&Lemson 1999年a;Sheth&Tormen 1999年). 如果物体丰度和空间相关性的质量依赖性对宇宙学参数（例如。Arnouts等人，1999年;Mo，Mao&White 1999年;Moscardini等人，1999年). 由于偏移集方法允许人们相对容易地对层次聚类的演化做出许多分析估计，因此有必要修改原始模型，使其再现模拟质量函数。希望是，如果它能准确预测这一点，其他预测的数量也会准确。

偏移集方法的所有预测都是基于解决与经历布朗运动的粒子首次被吸收到障碍物之前经过的时间相关的问题。预测的质量函数取决于作为随机行走时间函数的吸收屏障的高度。因此，准确建模此高度至关重要。邦德等人（1991）认为恒定高度的障碍物与球形坍塌的动力学有关。第2.2节本文的研究表明，将动力学的椭球坍塌模型与初始涨落场为高斯的假设相结合，会产生一个非恒定的势垒形状(方程式4). 相反，它的形状与生成类似于数值模拟中的质量函数所需的形状非常相似(方程式7)：随着质量的减少而增加。

我们在中对偏移集方法的讨论第3节允许我们证明，包含椭球动力学（即要求质量较小的物体在给定时间内密度更大才能坍塌）可以减少理论预测的光晕质量与模拟中光晕实际质量之间的散射(图2-4). 也就是说，我们明确地表明，椭球体坍塌、移动障碍、偏移集预测在逐个对象的基础上工作良好。然后，我们使用独立无约束随机行走的跨越障碍统计来提供晕质量函数的估计。此估计与模拟中的估计形状类似。此外，与恒定的球形坍塌屏障相比，移动的椭球坍塌屏障预测了大规模的晕-质量偏差关系(方程式8)这与模拟测量的结果类似，即使在低质量端(图5和6).

我们并不是第一个考虑非球动力学对束缚物体质量函数形状的影响的人。鉴于摩纳哥（1995,1997年a,b条,1999),Audit等人（1997）和Lee&Shandarin（1998）研究了初始变形张量用于计算坍塌时间近似值的模型，艾森斯坦和勒布（1995）和邦德和迈尔斯（1996）将变形张量中包含的信息与椭球体坍塌模型相结合来估计坍塌的时间。除了摩纳哥认为虚拟化与单一轴心的崩溃有关外，所有其他作者都同意，更重要的是所有三个轴心的倒塌。我们同意。根据他的定义，摩纳哥发现“移动”屏障应该随着质量的减少而减少，而不是增加。其结果之一是，如果屏障具有摩纳哥要求的形状，那么椭球动力学的包含将增加而不是减少我们的散射图3，相对于与“标准”球形塌陷模型相关的。摩纳哥之所以没有注意到这一点，大概是因为他没有假设坍塌发生在预计质量分布的最大值附近。相反，他的方法对应于使用一组适当定义的平均值米_{pred（前）}与光晕相关的值可以给出实际的预测质量，而我们的方法比较简单&我们总是使用最大值。

我们本可以更详细地处理但没有处理的另一个影响是，我们如何将逐个对象的比较结果与光晕质量函数的形状联系起来。例如，我们展示了使用第三轴定义崩溃，然后计算移动屏障的形状，然后将此屏障形状与与锐角相关的不相关随机行走的统计信息相结合k个-在模拟中，空间为质量函数提供了很好的近似值。我们没有探讨使用其他过滤器（例如实际空间中的顶帽）进行理论预测的后果（因为对于一般过滤器，随机行走具有相关步骤）。邦德等人（1991）表明，如果屏障具有球形坍塌形状，则预测的质量函数确实取决于过滤器的选择，并且摩纳哥（1997年b）表明与第一轴坍塌相关的屏障也是如此。在随机游动的第一交叉分布（无论是相关步数还是非相关步数）与质量函数之间提供更精确的关系是正在进行的工作的主题。

我们认为，我们的分析包含了一些但不是所有上述作者得出的各种有用结果。例如，我们可以按照“模糊”阈值方法计算质量函数Audit等人（1997）和Lee&Shandarin（1998）在这种方法中，“标准”球形模型对应于所有区域密度都大于某个值的模型δ_供应链坍塌：第页（坍塌|δ)是阶跃函数。Audit等人和Lee&Shandarin对这种坍塌概率提供了各种不同的定义，这些定义都是通过将非球形动力学的近似值与初始剪切场的统计值相结合而得出的。图2和三其中的文献表明，在这种模型中，崩塌概率不是一个尖锐的阶跃函数。

然而，目前，偏移集方法允许人们估计比模糊阈值方法更有用的数量（尽管这主要是因为与其他方法相比，花费了更多的时间来研究偏移方法）。这是我们选择使用公式的主要原因δ_电子商务(e（电子）,第页)计算移动障碍物形状，而不是进一步采用模糊阈值方法。

另一个我们本可以做更详细计算但没有做的地方是将质量和椭圆度联系起来。我们使用方程式（A4）提供以下之间的确定关系σ(米)和e（电子），尽管这种关系有相当大的分散性。上面引用的作者描述了各种方法来合并这种分散的影响。原则上，我们可以将他们的任何一种方法应用到我们对坍塌的定义中，从而包括我们用于转换的关系周围的分散效应δ_电子商务(e（电子）,第页,z（z）)第页，共页图1移动屏障形状B类(σ,z（z）)第页，共页方程（4）[例如Audit等人（1997）提供我们所称的基本公式B类(σ,z（z）)，他们的方程（29）是对散射的估计。]虽然这可能使人们能够更准确地包括高斯涨落场产生的随机性的影响（因此可能使人们减少图3)，这种严格性的增加是以使与偏移集模型相关的其他预测更难计算为代价的。这就是为什么我们没有进一步追求这一点。

在这方面，我们的方法更实际，而不是严格。由于我们对精确的随机性和动力学不太在意，我们的方法（为屏障形状提供准确的拟合函数）可能更容易实现。事实上，我们认为重要的是要强调，虽然与GIF质量函数相关的屏障形状可以在稍微复杂的坍塌动力学处理（比球形模型）的背景下理解，这是令人放心的，偏移集模型的各种其他预测（条件质量函数、合并历史树的森林，以及晕-质量偏差关系的非线性和随机性）非常有用，并且一旦屏障形状已知，就很容易进行预测，值得使用以下拟合函数进行预测方程式（7）无论是否对崩塌动力学和初始涨落场的随机性进行更仔细的分析，都会产生完全相同的势垒形状。结果显示于第4节为以这种方式使用屏障形状提供充分的理由。做出更多这样的预测是正在进行的工作的主题。

在结束之前，我们应该提到，我们的移动屏障方法表明，在给定的时间内，质量较小的物体必须形成于最初密度大于质量较大物体形成区域的区域。这与质量和中心浓度之间的关系在定性意义上是相同的，该关系是为演变的晕密度剖面测量的(纳瓦罗、法国人和怀特1997). 这些作者认为，质量较小的晕圈更集中，因为平均而言，质量较小晕圈的质量在宇宙背景密度较高的时候组装得更早。我们的结果表明，这种关系至少有一部分是内在的。

致谢

感谢汤姆·邓斯（Tom Theuns）讨论了我们的椭圆度和伸长度公式与巴尔丁（Bardeen）等人的峰值公式的关系，感谢TMR网络提供的财政支持，这使得帕多瓦（Padova）和慕尼黑（Munich）之间的旅行成为可能，感谢裁判皮耶路易吉·摩纳哥（Pierluigi Monaco）及时、周到、有益地阅读我们的手稿。这项工作在一定程度上得到了欧盟委员会根据其TMR计划的ERB FMRX-CT96-086合同建立的星系形成和演化网络的支持。

参考文献

附录

附录A：高斯随机场