2理论考虑

我们首先回顾水波在浅滩上传播的非均匀分析理论的主要思想（门德斯等。 参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022). 给定速度势$\varPhi（x，z，t）$和表面标高$\泽塔（x，t）$波浪在水平可变水深上的传播$小时（x）$，浅滩上演变的平均能量密度描述为$h（x）=h｛0｝+x\boldsymbol｛\nabla｝h$具有有限的恒定斜率$1/20\leq|\boldsymbol{\nabla}h|<1$（请参见图1)表示为

(2.1)\开始{方程式}\mathscr{E}=\frac{1}{2\lambda}\int_{0}^{\lambdaneneneep \left\{left[\zeta（x，t）+h（x）\right]^{2}-h^{2{（x）+\frac{1}}{g}\int_{-h（x c{\partial\varPhi}{\paratilz}\right）^{2}\Bigg]{\rmd}z\right\}{{\rmd\x}，\end{方程式}

具有零交叉波长美元\lambda$，重力加速度$克$我们滥用了深度梯度向波方向投影的符号$\boldsymbol{\nabla}h\equiv\boldsymbol{\nabla}h\ boldsympol{\cdot}\hat{x}\equiv \ partial h/\partial x$二者的不均匀性$\mathscr{E}（x）$和$\langle\zeta^{2}\rangle_{t}（x）$在波高之间重新分配能量并转换其超越概率。如果初始瑞利分布位于图1浅滩（区域II–V）上方和上方的超越概率为

(2.2)\开始{方程式}\mathbb{P}（P）_{α，\varGamma}（H>\alpha H{s}）=\int_{\alpha}^{+\infty}\frac{4\alpha_{0}}{\varGamma}\exp（{-2\alpha_0}{2}/\varGadma}）

其中，修正来自浅滩（门德斯）上非均匀波谱的演变等。 参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022) ($\langle\boldsymbol{\cdot}\rangle_{t}$代表时间平均值）

(2.3)\开始{方程式}\varGamma（x）\approx\frac{\langle\zeta^{2}（x，t）\rangle_{t}（x）}{\mathscr{E}（x}）}。\结束{方程式}

光谱校正$\varGamma美元$取决于陡度$\varepsilon=H_｛s｝/\lambda$和深度千美元_{p} 小时$，使用$H_{s}$有效波高，定义为1/3最大波浪的平均值。请注意$H_｛s｝$通常与光谱对应物相差几个百分点$H_{m0}=4\sqrt{m_{0}}$高斯海（Casas Prat和Holthuijsen参考Casas-Prat和Holthuijsen2010; 门德斯、斯科蒂和斯坦塞尔参考门德斯、斯科蒂和斯坦塞尔2021)，其中$m_{0}$是曲面高程的方差$\泽塔（x，t）$根据波谱计算。然而，在强非高斯海洋（戈达参考Goda1983; 门德斯等。 参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022). 对于线性波($\varepsilon\ll 1/100美元$),$\varGamma=1$我们恢复高斯海的情况。求解时$\varGamma美元$对于二阶不规则波，我们假设浅滩是线性的$（纳布拉^{2} 小时=0)$，浅滩的长度相对较短$（L/\lambda\lesssim 1）$我们只处理小振幅波($\泽塔/小时\ll 1$). 这些假设大大简化了问题，但也代表了实际海洋测深（Mendes&Kasparian参考门德斯和卡斯帕里安2022). 此外，我们最近证明，随着斜率幅度的增加，流氓波的出现也随之增加。然而，如果我们假设反射的影响很小，因为光谱成分之间的冲浪相似性参数很小（Battjes参考Battjes1974)，当坡度大于或等于$25^{\circ}$（门德斯和卡斯帕里安参考门德斯和卡斯帕里安2022). 超越概率的演变$\mathbb{P}（H>\alpha H_{s}）$英寸(2.2)可以推广到任何任意的传入统计（门德斯等。 参考Mendes、Scotti、Brunetti和Kasparian2022)

(2.4) \开始{方程式}\mathbb公司{P}（P）_{\alpha，\varGamma_{\mathfrak{S}}}\近似\左（\mathbb{P}（P）_{\alpha}\right）^{{1}/{\mathfrak{S}^{2}\varGamma_{\mathfrak{S}}}\quad\sources\quad\ln\左(\压裂{\mathbb{P}（P）_{\阿尔法，\varGamma_{\mathfrak{S}}}{\mathbb{P}（P）_{\alpha}}\右）\大约2\alpha^{2}\left（1-\裂缝{1}{\mathfrak{S}^{2}（\alpha）\varGamma{\matchfrak{S}}}\右），\结束{方程式}

波峰和波谷之间的垂直不对称被定义为波峰和峰谷高度之比的两倍（门德斯等。 参考门德斯、斯科蒂和斯坦塞尔2021),

(2.5)\开始{方程式}\mathfrak{S}=\frac{2\mathcal｛Z｝_{c} }{H}\quad\source\quad 1\leq\mathfrak{S}\leq2，\end{方程式}

对于流氓波，其特征是平均经验值

(2.6)\开始{方程式}\mathfrak{S}（\alpha=2）\approx\frac{2\eta{S}}{1+\ta{S{}}\left（1+\frac{eta{s2}}{6}\right），结束{方程式{

哪里$\eta_{s}$测量平均波峰和平均波谷之间的比率，并根据经验发现，在各种海况下，这取决于表面高程的偏度$\亩{3}$（门德斯等。 参考门德斯、斯科蒂和斯坦塞尔2021)

(2.7)\开始{方程式}\eta{s}\approx1+\mu{3}。\结束{方程式}

的经验关系(2.6), (2.7)源自北海风暴期间的现场观测，详见§4当水深减小时，波浪变得更陡，而超谐波贡献在波包络中所占份额增加。这两种影响的组合通过导致$\langle\zeta^{2}\rangle$超过…的增长$\mathscr{E}$这种不均匀的生长解释了为什么与深水相比，中层水域的浅滩会放大流氓波的发生（Trulsen等。 参考Trulsen、Raustöl、Jorde和Rye2020; 金蒙等。 参考Kimmoun、Hsu、Hoffmann和Chabchoub2021)而它减少了浅水中的这种情况（Glukhovskiy参考Glukhovskiy1966; 坎帕达基斯、斯旺和克里斯托参考Karmpadakis、Swan和Christou2022). 中的线性项$\泽塔（x，t）$在深水中处于领先地位$\varGamma-1\lesssim 10^{-2}$很小。相反，在中层水中，超谐波会对能量密度的增加产生显著干扰$\varGamma-1$高达$10^{-1}$而在浅水中，超谐波发散$\varGamma-1\lesssim 10^{-3}$再次变小，读数甚至比深水中的值还要小。

图1。棒（门德斯）引起的极端波放大图等。 参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022). 水柱深度随$h（x）=h{0}+x\boldsymbol{nabla}h$带斜面$\boldsymbol{\nabla}h=（h_{f}-h_{0}）/L$.虚线垂直线描绘了浅水区和去浅水区，如图2.

图2。观测峰度$\亩{4}$（点）与模型(3.3)（虚线）用于Trulsen中的运行1、2、5和6等。(参考Trulsen、Raustöl、Jorde和Rye2020). 虚线表示变浅和去变浅区域（参见图1). 青色固体曲线包括斜率效应（Mendes和Kasparian参考门德斯和卡斯帕里安2022)而红色实心曲线显示了Mori&Kobayashi对峰度的束缚波预测(参考Mori和Kobayashi1998).

三。浅滩上的峰度演化

概率演化(2.2)完全取决于$\var伽玛$任何偏离高斯分布的情况都可以用累积量展开（Longuet-Higgins参考Longuet-Higgins1963)其前导阶表示为超额峰度的函数$\亩{4}$对于由浅滩引起的非均匀波场，由于能量分配，峰度有多余。为了避免Mendes方程（C1、C7b、C12）的繁琐代数等。(参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022)对于浅滩之前的非高斯海况，我们考虑相对于瑞利分布的概率比$\mu_{4}=0$)以获得超额峰度。该比率测量了波浪随高度的超越概率的放大$H=\alpha H_{s}$由于浅滩，通过从Mori&Yasuda的波包络转换变量进行计算(参考Mori和Yasuda2002)到标准化高度到前导顺序$\亩{4}$根据门德斯§6.2.3计算(参考门德斯2020)

(3.1)\开始{方程式}\frac{\mathbb{P}（P）_{\alpha，\mu_{4}}{\mathbb{P}（P）_{\alpha}}\近似1+\mu_{4}\boldsymbol{\cdot}\frac{\alfa^{2}}{2}\左（\alpha^{2{-1\右）+\mu_3}^2}\bolsymbol{\cdot}\frac{5\alpha{2}{18}\left（2\alpha^}-6\alpha_{2}-3\右），\quad\forall\alpha\geq 1。\结束{方程式}

考虑到理论关系$\mu_{4}\约16\mu_3}^{2}/9$二阶陡度波的峭度和偏度之间的关系，已通过浅水试验证实（Mori和Kobayashi参考Mori和Kobayashi1998)，我们重写(3.1)

(3.2)\begin｛equation｝\frac｛\mathbb{P}（P）_{\alpha，\mu_{4}}{\mathbb{P}（P）_{\alpha}}\大约1+\mu_{4}\boldsymbol{\cdot}\frac{\alfa^{2}{32}\左（10\alpha^{4}-14\alpha_{2}-31\右），\quad\forall\\alpha\gtrsim 2。\结束{方程式}

峰度测量尾部，并影响1.5美元$.方程式(2.4)和(3.2)两者都描述了能量再分配的相同结果和与高斯海的相关偏差，但前者体现了变浅的物理性质，而后者则描述了统计上的扰动，而不考虑物理机制。因此，它们可以匹配，从而产生峰度$\mu_{4}（\varGamma，\alpha）$。此匹配可以在任何值下执行1.5美元\alpha\geq$然而，在近似的稳定性范围内可以获得更高的精度($2\lesssim\alpha\lesssim 3美元$). 在此范围内$\亩{4}$偏差小于20%。因此，我们在$\alpha=2$精度没有实质性损失

(3.3)\开始{方程式}\mu_{4}（\varGamma）\approx\frac{1}{9}\left[\exp\left（{8\左（1-\frac}{mathfrak{S}^{2}\varGamma}\right）}\rift）-1\right]。\结束{方程式}

这个表达式推广了Mori&Janssen（46）–（47）得到的结果(参考Mori和Janssen2006)对于窄带波列，与具有$（2/3）\alpha^{2}（\alpha_{2}-1）$多项式的对应项(3.2)对于偏斜度的较小值($\mu_{3}\ll 1$). 但是，如果表面标高明显倾斜($\mu_{3}\gtrsim 1$)Mori&Janssen的（46）–（47）严重低估了偏度的贡献(参考Mori和Janssen2006)因此，在描述该比率时，超额峰度将被高估$\mathbb美元{P}（P）_{\alpha，\mu}/\mathbb{P}（P）_{\字母}$.

为了验证我们对陡坡的有效理论(3.3),图2将其预测与Trulsen中观测到的过度峰度进行比较等。(参考Trulsen、Raustöl、Jorde和Rye2020). 在比较中，我们使用了经验（Mendes等。 参考门德斯、斯科蒂和斯坦塞尔2021)不对称$\mathfrak{S}（\alpha=2）=1.2$。我们将在下一节中验证相对水深的近似值千美元_{p} 小时\gtrsim｛\rm\pi｝/10$，带宽$\nu\lesssim 1/2$如Longuet-Higgins所定义(参考Longuet-Higgins1975)和陡度$\varepsilon\ll 1/10美元$Trulsen代表等。的实验。在这些实验中，不规则波的宽带联合北海波浪项目谱为伽马值=3.3$峰值增强因子，有效波高$1.4\\textrm{cm}<H_{s}<3.4\\textrm{cm}$和高峰期$0.7\\textrm{s}<T_{p}<1.1\\textrm{s}$在一个长24.6m、宽0.5m的单向波浪水槽中生成。这些不规则波在平底上传播，其初始相对水深为千美元_{p} 小时=4.9$（深水）至千美元_{p} 小时=1.8$（中间水）。此外，如图所示，不规则波在对称防波堤上传播图1带斜面$|\boldsymbol{\nabla}h|\约1/3.8$在每一侧并且位于造波器之后10.8米处，或者相当于六个峰值波长。浅滩顶部的相对水深在0.54美元\leq k_{p} 小时\leq 1.60$此外，绝对水深范围为浅滩前0.5至0.6 m，浅滩顶部0.08至0.18 m。方程式(3.3)很好地再现了Trulsen实验中过度峰度峰值向更深水域减小的幅度和趋势等。(参考Trulsen、Raustöl、Jorde和Rye2020)（请参见图2). 剩余的差异，如变浅区的峰度稍早上升和去浅区的峰度晚下降，可能是由于假设反射可以忽略不计。我们还计算了Mori和Kobayashi之后的束缚波对峰度的贡献(参考Mori和Kobayashi1998)要评估其在相对水深突变时的性能，请参见附录A.此边界峰度模型（中的红色曲线图2)捕捉观察到的峰度演化的定性趋势。然而，由于后者是为平底开发的，并且没有明确的坡度依赖性，因此它高估了影响的大小。此外，我们的模型(3.3)具有可延伸到任意坡度的优点（门德斯和卡斯帕里安参考门德斯和卡斯帕里安2022).

4有限深度波浪垂直不对称

方程式(2.4)和(3.3)强调垂直不对称性对流氓波发生演变的影响，以及中等深度浅滩表面高程的过度峰度。然而，由于有限深度效应，这种不对称性的演变尚不清楚，除了它是陡度的缓慢变化函数（Tayfun参考Tayfun2006; 泰丰和阿尔卡利迪参考Tayfun和Alkhalidi2020). 为了描述由于带宽和相对水深引起的垂直不对称变化，我们评估了北海观测数据。数据收集在位于$60^{\circ}48.5'$N和$1^{\circ}44.2'$E、 设得兰群岛（苏格兰）以东约135公里，挪威海岸（斯坦塞尔）以西约156公里参考Stansell2004, 参考Stansell2005). 该平台位于129 m深的缓坡上，坡度为$\boldsymbol{\nabla}h\sim-1/300$东南-西北方向（根据EMOD网络–欧洲海洋观测和数据网络，参见图3). 而1995年至1999年间观测到的冬季风暴期间的平均波向（Linfoot、Stansell和Wolfram参考Linfoot、Stansell和Wolfram2000)在东南-西北方向，我们重点关注浅滩情况，即从东南方向向西北方向的波浪。缓坡几乎是线性的($\nabla美元^{2} 小时\大约0$)在平台西北和东南250 m的距离内，对应于三个平均波长（见Mendes的表3等。(参考门德斯、斯科蒂和斯坦塞尔2021)用于测量）。原始数据存储为2381个20分钟的表面高程测量记录，以5 Hz的采样率记录。

图3。北海石油平台周围的大致测深特征。草图没有按比例绘制。

为了与海洋数据进行比较，我们遵循马丁森(参考Marthinsen1992)并考虑表面高程的偏度仅取决于相对水深和波浪陡度$\mu_{3}=\mu_}3}（\varepsilon，k_{p} 小时 )$，从而确定$\mathfrak{S}（\mu_{3}）=\mathbrak{S{（\varepsilon，k_{p} 小时)$对于任何$\阿尔法$由于(2.6). 我们将偏斜度近似为（参见Tayfun的（19）(参考Tayfun2006)，其中$\亩$表示陡度和$\lambda_{3}$偏斜度）

(4.1)\开始{方程式}\mu{3}（k_{p} 小时约3k{1}

哪里$H_{s}={\rm\pi}\varepsilon/\sqrt{2}k{p}$和$k{p}$是从光谱平均波数中获得的峰值波数$k{1}$通过$k{p}大约（3/4）k{1}$（门德斯等。 参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022)和$\nu美元$是频谱带宽（Longuet-Higgins参考Longuet-Higgins1975). 在深水中(千美元_{p} 小时\geq第5页$),图4(一)显示了偏度几乎与带宽无关，正如从(4.1). 另一方面，随着深度降至中等水深$\mu_{3}/\varepsilon$显著增加，并且往往强烈依赖带宽。为了解释这种有限深度效应，我们重写(4.1)根据Tayfun&Alkhalidi的（11）(参考Tayfun和Alkhalidi2020)

(4.2)\开始{方程式}\mu{3}\approx\frac{{\rm\pi}\varepsilon}{\sqrt{2}}\mathfrak{B}（\nu）\left（\tilde{chi}_0}+\frac}\sqrt{\ tilde{\chi}{1}}}{2}\right），结束{方程式{

图4。(一)强非高斯条件下斜度和陡度随带宽变化的比率($\mu_{4}\约0.4$)北海数据（Stansell参考Stansell2004)，具有多项式拟合$\mathfrak{B}（\nu）\大约1-\nu\sqrt{2}+3.5\nu^{2}$在2美元\leq k_{p} 小时\leq{\rm\pi}$. (b条)等高线图的计算比率与(4.2)适用于已安装的功能$\mathfrak{B}（\nu，k_{p} 小时)$英寸(一).

带符号$\波浪线{\chi}_{i}$来自门德斯等。(参考Mendes、Scotti、Brunetti和Kasparian2022)

(4.3一,b条)\开始{等式}\波浪形{\chi}{0}=\frac{\left[4\left（1+\dfrac{2k_{p} 小时}{\sinh{（2k_{p} 小时)}}\right）-2\right]｝｛\left（1+\dfrac｛2k_{p} 小时}{\sinh{（2k_{p} 小时)}}\右）^{2}\tanh{k_{p} 小时}-4千_{p} 小时 };\四边形\frac{\sqrt{\tilde{\chi}{1}}{2}=\frac}3-\tanh^{2}{（k_{p} 小时)}}{2\tanh^{3}{（k_{p} 小时)} }. \结束{方程式}

虽然泰芬和阿尔卡利迪的模型很好地拟合了$\mu_{3}/\varepsilon$对于千美元_{p} 小时 > 3$，总和$\波浪线{\chi}_{0}+\sqrt{\波浪线}_{1}}/2$保持团结千美元_{p} 小时\geq 2号机组$因此，比值越大$\mu_{3}/\varepsilon$用于较浅水域(2美元\leq k_{p} 小时\leq{\rm\pi}$)必须源于对$\mathfrak｛B｝（\nu）$深度。因此，我们寻求对(4.2)通过这个函数$\mathfrak{B}（\nu，k_{p} 小时)=1-\nu\sqrt｛2｝+f_｛k_{p} 小时}\boldsymbol{\cdot}\nu^{2}$能够提供从$f_{k_{p} 小时\sim 3}大约3.5$在较浅的深度（参见图4一)到深水价值$f_{k_{p} 小时=\infty}\sim 1$（请参见(4.1)). 因此，将此匹配实施到(2.6)和(2.7)解释深度诱导效应的垂直不对称属于以下类型

(4.4)\开始{方程式}\mathfrak{S}（\alpha=2）\approx\frac{（2+6\varepsilon_{{ast}}）（7+3\varepsilon_{}{ast}）}{6

哪里$\varepsilon_{\ast}$是有效陡度

(4.5)\开始{等式}\varepsilon{{ast}}\approx\frac{{rm\pi}\varebsilon}{3\sqrt{2}}[1-\nu\sqrt}2}+f{k_{p} 小时}\boldsymbol{\cdot}\nu^{2}]\left（\tilde{\chi}_{0}+\frac{\sqrt{\tilde}\chi}_1}}{2}\right）。\结束{方程式}

图4(b条)提供比率的等高线图$\mu_{3}/\varepsilon$考虑到的拟合模型$f_{k_{p} 小时}$.给，$f_{k_{p} 小时}$是可以通过约束获得的深度函数$\mathfrak｛S｝\leq 2美元$第页，共页(2.5)应用于(4.4)

(4.6)\开始{方程式}\lim{\子堆栈{k_{p} 小时\rightarrow 0}}\mathfrak{S}（\alpha=2）\approx\lim_{\子堆栈{k_{p} 小时\rightarrow 0}}\frac{（2+6\varepsilon_{{\ast}}）（7+3\varepsion_{{\st}}

从而导致

(4.7)\开始｛方程｝9\varepsilon_{｛\ast｝｝^｛2｝+6\varepsilon_{｛\ast｝}-5\leq0\quad\因此\quad\varepsilon_{｛\ast｝}\leq\frac｛\sqrt{6}-1}{3}. \结束{方程式}

功能$\mathfrak{B}（\nu，k_{p} 小时)$使流氓波的超越概率弱依赖于带宽$\nu美元$（朗格-希金斯参考Longuet-Higgins1975). 非常宽阔的海域(美元\nu\geq 1$)非常罕见。例如，在北海（门德斯）观察到的风暴状态中，它们只占3%等。 参考门德斯、斯科蒂和斯坦塞尔2021). 这些极端的海况通常是短暂的，例如在飓风中。尽管带宽远大于$\nu=1$可将垂直不对称性增加约5%–10%，其寿命仅影响每日预测中流氓波超越概率的加权平均值${\sim}10\，\%$因为0.5美元$超过97%的30分钟记录。因此，我们可以设置$\nu=1$作为估计流氓波超越概率时要考虑的实际有效最大带宽。因此，在二阶极限中，我们得到

(4.8)\开始{方程式}\lim{k_{p} 小时\rightarrow 1/2}\frac{{rm\pi}\varepsilon}{3\sqrt{2}}f{k_{p} 小时}\左（\tilde{\chi}_{0}+\frac{\sqrt{\tilde}\chi}_1}}{2}\right）<\frac{\sqrt{6}-1}{3}. \结束{方程式}

因此，宽带波不会超过以下深度校正：

(4.9)\开始{方程式}f{k_{p} 小时}（nu=1）\lesssim\frac{18\sqrt{2}}{rm\pi}\约为8。\结束{方程式}

宽带波的有效陡度为$\varepsilon f_{k_{p} 小时}\nu^{2}$由于有限深度效应涉及比率$\varepsilon/k美元_{p} 小时$它与之直接相关$H_{s}/H$和$f_{k_{p} 小时}$从深水到中水快速生长（参见图4a） ，我们期望$f_{k_{p} 小时}$与相对深度成反比千美元_{p} 小时$.为了实现(4.6)–(4.9)，sigmoid函数为北海数据的连续导数提供了良好的拟合（参见图5一)

(4.10)\开始{方程式}f{k_{p} 小时}近似值{8}{1+7\tanh^{2}{（k_{p} 小时/7） }}，\quad\nu\leq 1。\结束{方程式}

堵塞(4.10)到(4.4)介绍了一种覆盖窄、宽带不规则波二阶理论整个范围的垂直不对称近似。事实上，图5(b条)表明对于典型的平均陡度值，垂直不对称几乎是恒定的($\varepsilon\ll 1/10美元$)中深水区(千美元_{p} 小时\geq{\rm\pi}/10$). 相反，在相同的制度下，平均陡度的急剧增加将导致垂直不对称性增加百分之几(千美元_{p} 小时\geq{\rm\pi}/10$). 中的等高线图图6(b条)提供了深度和陡度不对称变化的完整描述。此外，图6(一)表明，在浅层，垂直不对称性在很大程度上取决于千美元_{p} 小时$而在深水中，它往往会饱和。图6(c（c）)还说明了带宽在增加不对称性方面的作用，尽管急剧变化仅限于足够宽的光谱($\nu>0.8$). 因此，对北海现场数据的分析表明，只要中间水域的陡度(千美元_{p} 小时>{\rm\pi}/10$)很小($\varepsilon<1/10$)或者光谱狭窄$（小于1/2）$垂直不对称性接近$\mathfrak{S}=1.2$。我们发现这种垂直不对称的近似值仍然适用于特鲁森的实验等。(参考Trulsen、Raustöl、Jorde和Rye2020)坡度更陡，如所示附录B.

图5。(一)有限深函数$f_{k_{p} 小时}$vs数据（圆）来自图4(一). (b条)宽带流氓波的垂直不对称性$（\nu=0.5）$作为不同陡度水深的函数，虚线表示经验平均值$\mathfrak{S}=1.2$来自门德斯等。(参考门德斯、斯科蒂和斯坦塞尔2021, 参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022). 虚线标志着二阶理论的有效性极限。

图6。在不同平均陡度、带宽和标准化高度下，大波浪和浪涌波的垂直不对称性与水深的函数关系。中的虚线(b条)表示二阶理论的Ursell极限。

此外，窄带的特殊情况($\nu=0$)线性波($\varepsilon\ll 1/10美元$)在深水中导致$\varepsilon_{\ast}\rightarrow 0$从而达到不对称的下限$\mathfrak{S}=7/6$对于无赖的海浪。这表明，在中间水域，从$\nu=0.3$到$\nu=0$由于垂直不对称性的变化可以忽略不计，因此对流氓波统计的放大几乎没有影响，而在浅水区，增加了上述带宽$\nu=0.5$将显著增加流氓波的发生。从门德斯理论的角度等。(参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022)，非对称近似(4.4), (4.10)解释为什么窄带模型（李等。 证明人Li、Draycott、Zheng、Lin、Adcock和Van Den Bremer2021一)成功预测了在中层水域宽频带不规则波背景中经过一个台阶的流氓波统计数据。如果没有破浪$（H_｛s｝/H\ll 1）$，由于该术语的贡献，带宽效应将在放大较浅深度的统计数据方面发挥作用$f_{k_{p} 小时}\数字^{2}$Doeleman的实验证明(参考Doeleman2021).

5浅滩顶部峰度的上限

在过去二十年中，过度峰度被用作反映非线性巨浪如何增加巨浪发生和强度的指标。因此，在本节中，我们扩展了§三估算海洋中任何浅滩顶部的最大峰度（詹森和比德洛特参考Janssen和Bidlot2009; 詹森参考Janssen2017). 评估固定位置特定返回时间内的最大预期波浪对海军设计至关重要。通常，海洋结构物和船舶的设计必须能够在其使用寿命内承受预期的最大极端波浪（博格曼参考Borgman1973; 缪尔和沙拉维参考Muir和El-Shaarawi1986). 为此，我们将评估参数的最大值$\mathfrak{S}$和$\varGamma美元$.方程式(4.4)和(4.10)提供破波极限内流氓波垂直不对称性的上限：$\mathfrak美元{宋体}_{\infty}（k_{p} 小时=\infty）大约1.387$在深水中$\mathfrak美元{宋体}_{\infty}（k_{p} 小时=0）大约1.668$在浅水区。自从$\varGamma美元$修正也受到波浪破碎的限制，人们可以找到界限$\varGamma_{\infty}-1\less最小1/12$由于门德斯（3.17）等。(参考门德斯、斯科蒂、布鲁内蒂和卡斯帕里安2022). 因此，我们可以近似

(5.1)\开始{方程式}1-\frac{1}{\mathfrak{S}^{2}_{\infty}\varGamma_{\infcy}}\lesssim 8（\varGamma{\inffy}-1）。\结束{方程式}

接近价值$\varGamma_｛\infty｝$浅滩顶部（第三区域图1)，偏度对破碎区附近波动统计放大的贡献增加，使得峰度和偏度之间的关系导致(3.2)被修改，现在经验上减少到$\mu_{4}\approxix\mu_3}^{2}$（马等。 参考Ma、Ma和Dong2015). 将此关系插入(3.1)并将其与(2.4)和(5.1)，我们获得

(5.2)\开始{方程式}\exp（{16\alpha^{2}（\varGamma{\infty}-1）}）\geq1+\alpha ^{2{（\alpha_{2}-1）\mu_{4}。\结束{方程式}

在$\alpha=2$，超额峰度的评估位于Gram–Charlier级数的稳定区域，我们能够计算出夏前高斯统计中超额峰度上限（参见图7)

(5.3)\开始{方程式}\mu_{4，\infty}\approx\tfrac{1}{12}[\exp（{64（\varGamma{\infty}-1）}）-1]，结束{方程式{

哪里$\varGamma_{\infty}$随水深变化。根据(5.3)，具有陡峭且高度不对称的宽频带波的典型海洋导致了阶数的超额峰度上限$\mu_{4，\infty}\sim 4$在中间水中，参见图7。我们已经描述了$\varGamma美元$位于附近千美元_{p} 小时\约0.5$在门德斯等。(参考Mendes、Scotti、Brunetti和Kasparian2022)和(3.3)已在中验证图2因此，过峰度的峰值也将位于该区域。在张进行的实验等。(证明人Zhang、Ma、Tan、Dong和Benoit2023)在同一区域发现过度峰度的峰值千美元_{p} 小时\约0.5$.

图7。峰度的上限(5.3)的$\nu=0.5$和不同的震前平均（显著）陡度$\varepsilon_{0}=H_{s，0}/\lambda_{0{$受到线性浅水化的影响。虚线表示图2(一)，Trulsen第1轮代表等。(参考Trulsen、Raustöl、Jorde和Rye2020)和水深测量图1.