2物理信息神经网络（PINNs）

物理信息神经网络（PINNs）也称为“隐藏流体力学”（HFM），可以从辅助数据（例如烟雾可视化）推断速度场和压力场等潜在量。在这项工作中，我们扩展了PINN来处理Tomo-BOS成像实验中浮标驱动流的可视化温度数据。我们将不可压缩Navier–Stokes（NS）方程和相应的传热方程的Boussinesq近似应用于PINN。

让$T（粗体符号{x}，T）$,$\boldsymbol{u}（\boldsymbol{x}，t）$和$p（粗体符号{x}，t）$分别表示温度、速度矢量和压力，其中$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2$或$\mathbb{R}^3$表示空间坐标和$t（美元）$是时间坐标。PINN的主要思想是通过使用全连接神经网络（FNN）来近似时空解。这可以表示为

(2.1)\开始{等式}（T，\boldsymbol{u}，p）=\mathcal{F}（F）_{NN}（粗体符号{x}，t，\varTheta），结束{方程式}

哪里$（粗体符号{x}，t）$和$（T，\粗体符号{u}，p）$分别表示神经网络的输入和输出，以及$\varTheta美元$表示可训练的参数。对于完全连接的网络，$\varTheta美元$包括多个隐藏层的权重和偏差。对于千美元$-第个隐藏层，输出向量之间的关系$Y^{k}$和输入向量$X^｛k｝美元$可以简单地表示为

(2.2)\开始{等式}Y^{k}=\sigma（\boldsymbol{W}^{k} X（X）^{k} +b^{k}），结束{方程式}

哪里$\粗体符号{W}^{k}$和$b^{k}$是权重和偏差，以及美元\西格玛（\cdot）$表示用于表示解的非线性的激活函数。我们使用双曲正切函数，即$\sigma（\cdot）=\tanh（\cdop）$，除非另有说明。在这种情况下，求解控制方程的非线性系统相当于学习网络的权重和偏差。然而，这是一个极不适定的问题，因为我们假设只有温度数据T美元$给出了速度场上没有任何边界条件的情况。为了推断速度场和压力场，一个附加的网络和底层物理被编码到PINN中。具体来说，我们的目标是最小化附加网络中所有控制方程的残差，这可以被视为对前馈神经网络输出实施强约束。对于$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3$，残差定义如下：

(2.3一)\开始{聚集}e_{1}=T_{T}+uT_{x}+vT_{y}+wT_{z}-{1}/{Pe}}（T_{xx}+T_{yy}+T_}zz}），结束{聚集

(2.3b条)\开始｛收集｝e_{2} =u{t}+uu{x}+vu{y}+wu{z}+p_{x}-{1}/{Re}}（u{xx}+u{yy}+u_zz}）+{Ri}T（右）\粗体符号{电子}_{\粗体符号{x}}，\结束{聚集}

(2.3c（c）)\开始{聚集}e_{3} =v{t}+uv{x}+vv{y}+wv{z}+p_{y}-{1}/{Re}}（v_{xx}+v_{yy}+v{zz}）+{Ri}T（右）\粗体符号{电子}_｛\boldsymbol｛y｝｝，\结束｛聚集｝

(2.3d日)\开始{聚集}e_{4} =w{t}+uw{x}+vw{y}+ww{z}+p{z}-{1}/{Re}}（w{xx}+w{yy}+w{zz}）+{Ri}T（右）\粗体符号{电子}_{\粗体符号{z}}，\结束{聚集}

(2.3e（电子）)\开始｛收集｝e_{5} =u{x}+v{y}+w{z}，结束{聚集}

其中下标表示相应量的导数，以及$（\粗体符号{电子}_{\boldsymbol{x}}，\boldsymbol{电子}_{\boldsymbol{y}}，\boldsymbol{电子}_{\粗体符号{z}}）$是重力装置的组件$\粗体符号{电子}_{\粗体符号{g}}$在里面$（x，y，z）$指示。这里是残差美元_{1} -e个_{5}$对应于无量纲传热方程和不可压缩NS方程的Boussinesq近似。对于浮标驱动流，假设密度变化由一个固定部分和另一个与温度线性相关的部分组成，其中温度导致重力项(2.3b条)——(2.3d日). 我们还注意到，动量方程中的压力必须被视为代表偏离静水平衡的压力修正，这在求解方程时不是常数，也不可忽略。无量纲参数，包括雷诺数、Péclet数和Richardson数，定义如下：

(2.4一–c（c）)\开始{方程式}{Re}=\frac{UL}{nu}，\quad{Pe}=\frac{UL}{alpha}，\fquad{Ri}=\frasc{g\beta（T_{热}-T_｛infty｝）L｝｛U^2｝，结束｛方程｝

这些物理特性将在实验中指定。

所提议的PINN的示意图如所示，该PINN由一个具有多个隐藏层的FNN和一个具有物理约束的剩余网络组成图2为了计算残差美元_{1} -e个_{5}$，需要状态变量相对于空间和时间的导数，这是通过在深度学习代码（Baydin等。 参考Baydin、Pearlmutter、Radul和Siskind2017). AD依赖于导数计算的链式规则，在大多数深度学习框架（如TensorFlow和PyTorch）中实现良好；这使得我们在计算时空中所有阶的导数时可以避免数值离散化。一旦FNN和残差公式化，参数$\varTheta美元$通过最小化以下损失函数对PINN进行训练：

（2.5）\begin｛equation｝\mathop｛\arg\main｝_｛\varTheta｝\，L=\lambda L_｛｛data｝｝+L_｛res｝｝，\ end｛equation｝

哪里美元\lambda$是加权系数

(2.6一,b条)\开始{等式}L_{{data}}=\sum_{n=1}^{n_T}|T（粗体符号{x}^{n}，T^{n{）-T^｛n｝_{{data}|^{2}，\quad L_{res}}=\sum_{i}\sum_{n=1}^{n_{e}}|e_{i}（粗体符号{x}^{n}，t^{n{）|^{2}。\结束{方程式}

在这里，$L_{{data}}$表示温度数据与神经网络预测的温度之间的不匹配，$L_{{res}}$表示残差，以及$N_{T}$和$N_{e}$是对应于这两个术语的训练点数。请注意$N_{T}$取决于观测数据的网格点（例如像素或体素），而$N_{e}$可以非常大，因为可以在域中随机选择剩余网络的时空点，并且可以使用微备份技术。加权系数美元\lambda$用于调整损失函数中两项的贡献，我们选择$\lambda=100$用于本文中的Tomo-BOS实验。我们注意到大量数据项$L_{{data}}$可以加速训练的收敛，但它可能会削弱控制方程的约束，导致过拟合。PINN中超参数的灵敏度在合成数据集上进行了定量分析，并在补充材料中给出。默认情况下，神经网络的参数$\varTheta美元$使用Xavier方案进行初始化，然后通过自适应优化算法进行优化直至收敛亚当（金马和巴参考Kingma和Ba2014). 当损失函数最小时(2.5)训练后获得，通过向神经网络提供时空坐标，可以与训练参数同时推断速度场和压力场，我们想强调的是，神经网络中使用的唯一信息是温度数据以及控制方程的公式。

备注2.1PINN算法是一种新的数据同化方法，它通过对时空域中的可视化数据进行回归来估计速度场和压力场。众所周知，传统数据同化策略的效率对速度和压力的初始和边界条件的初始猜测的选择很敏感，而速度和压力是这些方法的控制变量。然而，我们应该注意到，所提出的PINN算法的可训练变量是神经网络参数（也需要初始化），这与传统方法完全不同。因此，没有必要提供速度或压力的初始和边界条件。

图2。三维速度和压力估计的物理信息神经网络示意图。神经网络由全连通网络和残差网络组成。全连通网络用于表示速度场、压力场和温度场的解，残差网络被视为解的物理约束（即不可压缩NS方程和热方程）。通过最小化包含数据项和方程残差的损失函数来学习网络参数。

算法1用于从温度数据推断速度和压力的PINN算法。

三。Tomo-BOS实验推断

3.1.Tomo-BOS的实验装置

用于获取BOS图像的实验装置如所示图3(一). 六个摄像头（LaVision M-lite 5M、，2056美元\乘以2464$像素）配备35毫米透镜（f/16），围绕一个等距的浓缩咖啡杯对齐，覆盖总角度为$150^{\circ}美元$距离皮碗中心700 mm。投影像素分辨率为$60\{\mathrm{\mu}}\textrm{m}\\textrm{像素}^{-1}$六块铝夹芯板($300\\textrm{mm}\乘以420\\textrm{mm}$)在距离杯子中心500毫米的背景中放置随机打印的圆点纸。四个脉冲LED（LaVision高能LED聚光灯）与$500\{\mathrm{\mu}}\textrm{s}$以50 Hz的记录速率采集400幅图像。

图3。Tomo-BOS实验：(一)浓缩咖啡杯周围层析BOS测量的实验装置。浓缩咖啡杯显示为来自其中一个相机的图像，其中叠加了处理后的纹影图像。(b条)原始图像的缩放部分，显示点（灰色）和子集（红色），其中每个点约占5个像素，每个子集约包含25-30个点。

实验室的温度是$20\，^{\circ}\textrm{C}$当浓咖啡杯装满沸水时，使用热电偶测量水的温度（杯中心水的2厘米）和气体的温度（浓咖啡杯中心液面以上5毫米），大约为$80\，^{\circ}\textrm{C}$和$50\，^{\circ}\textrm{C}$分别是。这些数量的估计不确定性约为$｛\pm｝3\，^｛\circ｝\textrm｛C｝$.热电偶测量发生在Tomo-BOS数据采集前20秒左右，而整个实验（包括热电偶测量和BOS图像记录）在一分钟内完成。

使用LaVision的Tomographic BOS软件（DaVis 10.1.1）采集并处理图像数据。如中的缩放图像所示图3(b条)，每个子集在窗口中包含大约25-30个点$31\乘以31\\textrm{像素}^2$，其中每个点占据大约5个像素。为了确定二维位移场，采用一阶形状函数（Pan参考平移2018)采用了，因此空间分辨率为$600\{\mathrm{\mu}}\textrm{m}\\textrm{像素}^{-1}$。在位移场中未观察到异常值，因此我们未应用任何后处理过滤器。

产生的纹影图像示例如所示图1，它显示了温度诱导的纹影，并将其可视化为来自一个相机的二维像素位移场的彩色贴图。为了重建三维场，执行了校准程序，在不同位置和不同旋转角度额外记录了空间校准板。最后，所有六个摄像机的二维位移场都经过了Nicolas提出的层析重建算法的处理等。(参考Nicolas、Todoroff、Plyer、Le Besnaris、Donjat、Micheli、Champagnat、Cornic和Le Sant2016)借助于Tikhonov光滑正则化和三维掩模，得到了一个独特且性能良好的解。三维数据的分辨率约为$[-64,62]\次[-90,85]\次[-75,52]\\textrm{mm}^3$($\textrm{width}\times\textrm{height}\timers\textrm}深度}$). 获得了三维折射率场，在笛卡尔网格上具有0.9 Mvoxel，网格间距为1.5 mm。然后通过忽略压力变化并使用$T=T_0\rho_0 G/（n-1）$，其中G美元$是空气的Gladstone–Dale常数($G=0.2268\\textrm{cm}^3\\textrm{G}^{-1}$),$T_0美元$和$\rho_0美元$是环境温度和密度($T_0=293.15$K和$\rho_0=1.204\\textrm{kg}\\textrm}^{-3}$)分别是。我们注意到，使用Tomo-BOS实验进行了多次测试。虽然不同测试之间的流量瞬态分量不同（因为流量不稳定），但核心特征（例如温度值）保持不变。在下文中，§2应用Tomo-BOS实验之一的温度数据推断三维速度和压力的时间演变。为了清楚起见，这些实验结果在下文中用Tomo-BOS/PINN表示。

3.2.推断结果

3.2.1.Tomo-BOS/PINN的结果

我们首先假设问题的控制方程包括NS方程和热量方程的Boussinesq近似，如(2.3e（电子）)，其中物理特性出现在(2.4一–c（c）)是热扩散率$\alpha=2.074\乘以10^{-5}\\mbox{m}^{2}\\mbos{s}^{-1}$，热膨胀系数$\beta=3.4\乘以10^{-3}\\mbox{1}\\textrm{K}^{-1}$，流体的运动粘度$\nu=1.516\乘以10^{-5}\\textrm{m}^{2}\\textrm{s}^{-1}$和重力加速度$g=9.8\\textrm{m}\\textrm{s}^{-2}$在本实验中，我们将特征长度（近似于浓缩咖啡杯的直径）和特征速度（任意速度大小）定义为L=0.065万桶$,$U=0.1\\textrm{m}\\textrm{s}^{-1}$.环境温度是恒定的$T_{\infty}=293.15$K、 在确定参考热温度时$T_{热}$由于浓缩咖啡杯上方的表面温度分布不稳定且不均匀，这并不简单，如图所示图4其中，我们使用了所有快照的最大表面温度的时间平均值，即

(3.1)\开始{方程式}T_{hot}=1/400\sum_{k=1}^{400}\max（T^{k}），结束{方程式{

哪个是$T_{hot}=338.2$K.然后，可以计算无量纲参数，即雷诺数、Péclet数和理查森数：${Re}\约430$,${Pe}\约313$,${Ri}\约9.9$在PINN算法中，我们使用了一个具有10个隐藏层和每层150个神经元的神经网络。损失函数中的加权系数为100。我们对神经网络进行120个周期的训练，直到损失达到一个平稳状态，这在单个GPU上需要大约10个小时（用于处理400个3D快照）。

图4。Tomo-BOS/PINN结果：浓缩咖啡杯表面Tomo-BOS数据的二维温度曲线($y=-31$mm）。（单位：K）。

在实际实验中，由于地面真实场不可用，我们无法直接计算重建速度场和压力场的误差。因此，我们首先检查温度数据的回归误差，这是神经网络收敛性的指标$t=2.0美元$如所示图5。Tomo-BOS数据如所示图5(一)，而数据与PINN回归的温度之间的差异如所示图5(b条). 从图中我们可以观察到，PINN回归的温度场与Tomo-BOS数据几乎相同，因为整个空间域上的温度绝对误差小于$1\，^{\circ}\textrm{C}$; 相应的亲属L_2美元$-标准误差（定义为$\epsilon_{T}=\parallel\hat{T}（T）_{PINN}-T_{BOS}\parallel_2}/\parallel T_{BOS{\parallelin_2}$)小于1%。

图5。Tomo-BOS/PINN结果：(一)温度场的等表面（对应于300、310、315和325 K的值）$t=2.0$从Tomo-BOS数据中提取(b条)Tomo-BOS数据与PINN回归的温度之差的等值面，即$|\帽子{T}（T）_{PINN}-T_{BOS}|$. TheL_2美元$PINN的温度误差小于1%。

推导的三维速度场的等值面$t=2.0$中显示了图6(一)对应于0.1、0.15、0.25和0.35美元\\textrm｛m｝\\textrm｛s｝^｛-1｝$可以看出，速度轮廓呈倒锥状，浓缩咖啡杯上方的流速随高度增加而增加。此外$t=2.0$如所示图6(b条). 如§所述2PINN推导的压力是动量方程中的特征压力，应视为偏离静水平衡。如图所示，在浓缩咖啡杯的表面上可以观察到最低的压力，那里的温度很高，空气流速几乎为零。然后，表面上方的压力突然增加，朝向环境的压力略有下降。此外，二维速度矢量（$z=-21$mm和$t=2.0$s） 各线对应的一维速度剖面如所示图6(c（c）,d日)从中我们可以看到气流聚集在浓缩咖啡杯的表面中心，然后以越来越快的速度向上流动。在补充材料中的二维模拟数据中可以观察到类似的现象。注意，速度场在空间和时间上都是变化的。最大速度($v（美元）$-组件）约为$0.4\\textrm{m}\\textrm{s}^{-1}$，而整个时空域的平均值约为0.063\\textrm{m}\\textrm{s}^{-1}美元$为了进一步检查PINN推断的速度和压力，我们还评估了控制方程的残差，如(2.3e（电子）). 动量方程的残差如所示图7浓缩咖啡杯表面上方的数值相对高于远离表面的数值。然而，残差总体上非常小，空间域的平均值为$10^{-4}\\textrm{m}\\textrm{s}^{-2}$，表明Tomo-BOS/PINN的速度场和压力场满足控制方程。

图6。Tomo-BOS/PINN结果：(一)速度量级的三维轮廓(b条)压力场的三维轮廓(c（c）)垂直平面上的二维速度矢量$z=-21$毫米(d日)沿三条水平线和三条垂直线的速度剖面，如(c（c）). 此处显示的结果是在瞬间提取的$t=2.0\{\rm s}$.咖啡杯的中心大约位于美元x=-3.3$和$z=-21$毫米。

图7。Tomo-BOS/PINN结果：中动量方程的残差(一)x美元$-方向(2.3b条), (b条)美元$-方向(2.3c（c）), (c（c）)$z（美元）$-方向(2.3d日). 快照位于$t=2.0$如图所示。空间域上的平均残差为$10^{-4}\\textrm{m}\\textrm{s}^{-2}$。

3.2.2.用于验证的独立PIV实验

在获得推断的速度场后，我们还将其与由纹影追踪确定的底辟进行了比较。如所示图1，我们在序列图像中跟踪不同的纹影特征，其中结构底部从第二帧移动到第五帧大约25 mm美元$-方向，对应于$0.08\\textrm{m}\\textrm{s}^{-1}$这比从Tomo-BOS/PINN分析中推断的速度小得多。因此，我们建立了一个PIV实验来进一步检验PINN推理的正确性，尤其是最大速度的正确性。

在PIV实验中，浓缩咖啡杯被放在一个玻璃盒子里($25\\textrm{cm}\乘以25\\textrm{cm}\乘以40\\textrm}$)有一个敞开的顶部，以便在浓咖啡杯周围提供一个空气中播种DEHS颗粒的平静浴。由于PIV实验在几个月后独立于Tomo-BOS实验进行，因此室温为$25\，^{\circ}\textrm{C}$而不是$20\，^{\circ}\textrm{C}$使用双头Nd:YAG激光器（Litron NANO L 50-50，532 nm）产生10 cm高的激光片，平均厚度约为1 mm。相机（LaVision Imager SX 6M，2752美元\2200倍$像素），配备50毫米透镜，以13 Hz的频率采集400幅双帧图像$\textrm美元{d} t吨=1.5$ms。投影像素分辨率为$53\{\mathrm{\mu}}\textrm{m}\\textrm{像素}^{-1}$，从而形成$13\\textrm{cm}\乘以10\\textrm{cm}$。使用大小为的查询窗口处理数据48美元\乘以48$75%重叠的像素，导致234美元\189倍$间距为的速度矢量$640\{\mathrm{\mu}}\textrm{m}$。

PIV和Tomo-BOS/PINN实验的二维平面中的速度矢量如所示图8，其中显示了每个实验的三个典型时间瞬间。总的来说，我们可以从两个实验中观察到类似的流动模式，并且速度大小彼此一致。PIV和Tomo-BOS结果之间的主要区别是，在PIV案例中，在浓缩咖啡杯上存在更多变化。特别是，在$t_{0}$在PIV图中，这在Tomo-BOS/PINN结果中并不明确。此外，在PIV实验中，右侧有一些外部干扰，可以在$t_{2}$在里面图8如前所述，PIV和BOS实验是独立进行的，因此不需要在PIV和Tomo-BOS/PINN结果之间进行比对。两个实验的比较旨在通过一些参考系定性验证速度；因此，浓缩咖啡杯上整个流动结构的运动是不相关的。在不同时间情况下，沿中心平面水平线的速度剖面也如图所示图9其中，我们可以观察到所有三个剖面的幅值和最大速度的相似性，以及两个实验之间剖面宽度的相似性。结果还表明，在任何实验中，流动的不稳定性都不会影响速度大小。总之，PIV实验验证了Tomo-BOS/PINN的速度范围。此外，根据Tomo-BOS/PINN和PIV的结果，我们还可以得出以下结论：跟踪二维图像中随机可见的纹影结构（如图1)由于纹影结构具有直线性质，因此无法可靠地确定特定位置的流速，因此纹影结构的位置未知。

图8。Tomo-BOS/PINN和平面PIV结果：不同时间瞬间的二维速度矢量。中心平面的二维速度$Z=-21$对于Tomo-BOS/PINN，显示了mm。颜色贴图表示矢量的速度幅值（单位：$\textrm{m}\\textrm{s}^{-1}$). 此处显示的Tomo-BOS/PINN结果$t=2.0$,$t=4.0$,$t=6.0$s、 而PIV的$t=1.0美元$,$t=7.0$,$t=16.0$s.补充材料中给出了演示与时间相关的速度场的影片。

图9。Tomo-BOS/PINN和平面PIV结果：不同时间点沿水平线的速度剖面。Tomo-BOS/PINN结果简介(b条)从中心平面提取$Z=-21$毫米。

3.3.处理稀疏数据的能力

在§3.2PINN用于分析整个Tomo-BOS数据集，其中包含400个快照，记录率为50Hz。在这里，我们研究了PINN从稀疏温度数据估计高分辨率场的能力。

我们首先通过从不同时间间隔的Tomo-BOS数据中提取温度来执行时间降采样，从中我们推断出速度和压力场。如所示图10不同数据集的速度场和速度剖面是一致的，表明该算法对数据稀疏性不敏感。我们注意到$\增量t=0.2\\textrm{s}$表示两个连续快照之间的最大位移约为0.08m，大于特征长度L美元=0.065$m.此外，由于我们在培训中省略了一些温度框，我们可以使用它们进行验证。具体来说，如果使用$\增量t=0.1\\textrm{s}$，我们可以计算这些中间帧的温度误差，如所示图11，显示了$t=2.96$s.尽管此快照未用于训练（PINN的未显示数据）L_2美元$-该测试架的三维温度标准误差仅为0.362%。

图10。具有时间下采样数据的Tomo-BOS/PINN结果：速度场$t=2.0$PINN针对各种时间分辨率推断出的。(一)二维速度矢量；(b条)速度剖面$v（美元）$-沿中心线的组件。$\增量t$表示用于PINN算法的两个连续快照之间的时间间隔。

图11。具有时间下采样数据的Tomo BOS/PINN结果：BOS温度、温度绝对误差、推断压力$z=-21$mm和$t=2.96$s.以时间间隔采样训练数据$t=0.1$s.尽管此快照未用于训练（PINN的未显示数据）L_2美元$-该快照的温度标准误差为0.362%。

此外，我们还可以对空间中的温度数据进行降采样，如所示图12特别是，沿每个方向对温度数据进行降采样，网格分辨率为3.0 mm，而原始Tomo-BOS数据的降采样值为1.5 mm。这样，每帧的训练数据仅包含Tomo-BOS1/8的数据。我们从中找到图12PINN能够以良好的一致性推断出完整的温度场和速度场。亲属2美元$-框架温度的标准误差为0.430%。本节中的评估表明，由于引入了控制方程，PINN算法允许我们从相对稀疏的数据（时间和空间）重建连续和高分辨率的速度和压力场。此外，可以利用降采样，这有助于提高训练过程的效率，而不会显著降低准确性。对二维模拟案例进行了系统研究，以量化PINN相对于数据分辨率的准确性，该案例可在补充材料中找到。

图12。空间下采样数据的Tomo-BOS/PINN结果：(一–c（c）)用于PINN的下采样温度数据、PINN回归的温度和PINN在$z=-21$mm和$t=2.96$s.训练数据沿每个方向下采样，网格分辨率为3.0 mm，而重建场的分辨率为1.5 mm。虽然每个快照的PINN数据仅包含Tomo-BOS数据的1/8L_2美元$-该快照的温度标准误差为0.430%。

3.4.物理性质的讨论

中定义的无量纲参数(2.4一–c（c）)是${Re}=430$,${Pe}=313$,${Ri}=9.9$根据§3.2.1由于基本物理定律编码在神经网络中，估计结果通常受这些无量纲参数的影响。在本节中，我们研究了Tomo-BOS/PINN对以下值的敏感性重新和Ri公司(${Pe}=0.73{Re}$). 我们注意到，这些参数对物理特性（如粘度、电导率）和参考温度敏感，可能会受到一个或多个因素的影响。我们不是一个接一个地调整这些因素，而是从适当的范围内选择无量纲参数来覆盖不同的条件。具体来说，我们考虑雷诺数${Re}=\{100430\}$和理查森号码${Ri}=\{1.0,2.5,7.5,9.9\}$不同组合的压力场如所示图13.增加Ri公司咖啡杯上的压力也会增加，最高压力通常位于咖啡杯上方，但不在表面。此外Ri公司导致更大的速度量级，可以在图14(一). 情况有所不同${Re}=100$和${Ri}=1$，其中我们发现压力场的反向模式，如所示图14(b条)，它显示了各种参数沿中心线的压力分布。请注意，速度场和压力场是通过将温度数据和控制方程积分得出的，其中用于不同无量纲配置的温度数据是相同的。我们得出结论，PINN的推断结果对编码控制方程中使用的参数相对敏感，特别是对所研究的浮标驱动流的Richardson数。对于所提方法的未来发展，PINN（Yang、Meng和Karniadakis）的贝叶斯框架参考Yang、Meng和Karniadakis2021)可以考虑解决模型不确定性引起的问题。

图13。PINN中使用的物理特性敏感性：二维压力场($p-\bar{p}$)通过在$z=-21$mm和$t=2.0$第条。

图14。PINN中使用的物理特性敏感性：(一)速度剖面($v（美元）$-组件）沿水平线，带有各种理查森数(b条)压力剖面图($p-p{c}$)沿中心线设置各种参数。从平面提取轮廓$z=-21$mm和时间实例$t=2.0美元$s.注意，不同条件下的培训数据是相同的。

4结束语

本文提出了一种基于PINN的机器学习算法，用于从Tomo-BOS实验的温度数据中估计速度场和压力场。PINN算法的优点总结如下。(一)PINN能够集成控制方程和温度数据，这与变分数据同化方法类似，但不需要使用任何CFD求解器求解控制方程。(b条)PINN可以通过回归数据同时推断速度和压力，而无需任何初始或边界条件信息。(c（c）)即使实验数据稀疏且有限，PINN也可以提供速度和压力的连续解。

我们首先通过浮标驱动流的二维综合模拟来评估所提方法，该模拟可以在补充材料中找到，其中温度由CFD求解器直接生成。系统地研究了PINN在各种参数设置（包括神经网络的大小、损失函数中的加权系数、空间和时间分辨率以及数据噪声水平）下的性能。该参数研究有助于我们理解如何有效地使用该算法，表明该方法可以在稀疏数据下从温度中提取流场方面提供准确可靠的性能。此外，本文提出的PINN算法也能在一定程度上处理含噪数据。也可以将所提出的方法扩展到Bayesian-PINN框架（Yang等。 参考Yang、Meng和Karniadakis2021)它可以同时处理高噪声水平，并量化推理结果的不确定性。

然后，我们进行了一个Tomo-BOS实验，以观察浓缩咖啡杯上的流动。从重建的三维温度数据中成功地推断出了三维速度场和压力场，并通过与PIV测量获得的速度进行比较进行了定性验证。与PIV相比，BOS技术能够直接提供所研究流体流动的大量数据，并且由于其简单性而越来越受欢迎。在这里，我们证明了平面或层析BOS数据可简单地用于PINN算法的速度和压力量化，这是一种新颖的方法，可以为复杂流体流动的BOS测速打开大门。此外，所提方法（PINNs）的灵活性允许我们通过简单地编码适当的流体流动控制方程，将算法扩展到不同类型的流（除了本文研究的自然对流）。综上所述，本文的结果表明，所提出的方法在处理各种流体力学问题的数据时是准确和灵活的，因此可以成为实验流体力学的一个很有前途的方向。