案例2.1:p偶数

注意，如果$\波浪线b_{10}\ne 0$，然后方程式（6）除原点外，始终有一个平衡点，考虑到这一点

\开始{方程式*}y^{\prime}|_{y=0}=x\sum_{i=0}^{p-1}\tildeb_{i+1,0}x^i，\结束{方程式*}

具有$\波浪线b_{1,0}\波浪线b _{p，0}\ne 0$和第页−1为奇数（方程式$\sum_{i=0}^{p-1}\波浪线b_{i+1,0}x^i=0$始终有不同于x个= 0). 因此，为了满足条件（c2），我们必须$\波浪线b_{1,0}=0$在这种情况下，系统(6)成为

(7)\开始{方程式}x^{\prime}=y，\qquady^{\prime}=Ay+\sum_{i=2}^p\ tildeb_{i，0}x^i+y\左（b_{m，1}\prod_{i=1}^{m/2}\左（（x-\alpha_i）^2+\beta_i^2\右）-A\右）。\结束{方程式}

在这种情况下，原点是半双曲的，为了应用定理三，我们必须写方程式（7）以标准Jordan形式。为此，我们应用变量的变化$X=X-是/否$，Y（Y）=年、和系统(7)成为

\开始{方程式*}\开始{split}X^{\prime}&=-\frac{1}{A}\left（\sum_{i=2}^p\tildeb_{i，0}\left（X+\frac}{A{right）^i+Yb_{m，1}\prod_{i=1}^{m/2}\left（left（X+\frac{Y}{答}-\alpha_i\右）^2+\ beta_i^2 \右）\右）, \\Y^｛\prime｝&=A Y+\sum_｛i=2｝^p\tilde b_｛i，0｝\left（X+\frac｛Y｝｛A｝\right）^i+Y\left（b_｛m，1｝\prod_｛i=1｝^｛m/2｝\left（X+\frac｛Y｝{答}-\alpha_i\right）^2+\beta_i^2\right）-A\ right）。\结束{拆分}\结束{方程式*}

现在，通过时间变量重新缩放后${\rm d}s=A\，{\rmd}t$，并使用牛顿二项式公式，我们得到了标准规范形式的系统：

(8)\开始{方程式}\开始{split}X^{\prime}&=-\sum_{i=2}^p\frac{\tildeb_{i，0}}{A^2}\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}\ frac{X^jY^{i-j}}{A^{i-j}}-Y\左（\frac}b_{m，1}}{A1^2}\prod_{i=1}^{m/2}\左（\左（X+\frac{Y}{答}-\alpha_i\右）^2+\ beta_i^2 \右）-\ frac 1 A\右）, \\Y^{\prime}&=Y+\sum_{i=2}^p\frac{\tildeb_{i，0}}{A}\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}\ frac{X^jY^{i-j}}{A ^{i-j}}+\frac{Y} A类\左（b_{m，1}\prod_{i=1}^{m/2}\左（\左（X+\压裂{Y}{答}-\alpha_i\right）^2+\beta_i^2\right）-A\ right），\结束{拆分}\结束{方程式}

其中素数表示新时期的导数秒（注意，自A类<0，原系统及时吨改变轨道的方向）。应用定理三，我们明白了

\开始{方程式*}Y=-\tilde b_{2,0}X^2/A+\cdots\\text{然后}\F（X，Y）=-\ tilde b_{2,0{X^2/A2+\cdot，\结束{方程式*}

意味着起源$（0,0）$是鞍节点，这是不可能的。所以为了满足条件（c3），我们必须$\波浪线b_{2,0}=0$，然后是系统(7)将是形式

\开始{方程式*}x^{\prime}=y，\qquad y^{\prime}=Ay+x^3\sum_{i=0}^{p-3}\tilde b_{i+3,0}x^{i}+y\左（b_{m，1}\prod_{i=1}^{m/2}\左（（x-\alpha_i）^2+\beta_i^2\右）-A\右），\结束{方程式*}

和方程式$\sum_{i=0}^{p-3}\波浪线b_{i+3,0}x^{i}=0$有一个不同于x个=0，除非$\波浪线b_{3,0}=0$，但再次应用定理三，我们明白了

\开始{方程式*}Y=-\颚化符b_{4,0}X^4/A+\cdots，\\text{然后}\F（X，Y）=-\ tildeb_{5,0}X^4/A2+\cdot，\结束{方程式*}

意味着起源$(0,0)$是鞍节点，这是不可能的。从归纳的角度出发，我们得出以下结论$\波浪线b_{i，0}=0$对于$i\ge 1美元$在这种情况下，考虑到第页甚至，我们得到原点是鞍节点，条件（c3）不满足。简而言之，在这种情况下，没有系统满足条件（c1）–（c3），也没有什么需要证明的。

案例2.2:p奇数

注意，如果$\波浪线b_{10}\ne 0$，矩阵美元f（0,0）$具有特征值：

\开始{方程式*}\lambda_{\pm}=\frac 1 2\左（A\pm\sqrt{A^2+4\tilde b_{1,0}}右），\结束{方程式*}

和强制条件（c3），我们必须$\波浪线b_{1,0}\lt 0$，自A类<0，原点是稳定节点，如果$A^2+4\波浪线b_{1,0}\ge 0$和稳定的焦点，如果$A^2+4\波浪线b_{1,0}\lt 0$。

如果$\波浪线b_{1,0}=0$，然后我们得到系统(7)其起源是半双曲线。根据案例2.1，如果$\波浪线b_{2,0}\ne 0$，则原点是鞍节点，这是不可能的。所以，$\颚化符b_｛2,0｝=0$.现在应用定理三至系统(8)，我们明白了$Y=-\tilde b_{3,0}X^3/A+\c点$然后$F（X，Y）=-\tilde b_{3,0}X^3/A^2+\cdots$也就是说，如果$\颚化符b_｛3,0｝\ne 0$，要使原点成为节点，必须$\波浪线b_{3,0}\lt 0$.如果$\波浪线b_{3,0}=0$，那么为了满足条件（c3），我们必须$\波浪线b_{4,0}=0$简而言之，如果满足系统的条件（c3）(7)，必须存在奇数$i^*\在\{1，\ldot，n\}中$对于其中$\波浪线b_{i^*，0}\lt 0$和系统(7)写入

\开始{方程式*}x^{\prime}=y，\qquad y^{\prime}=Ay+x^{i^*}\sum_{i=0}^{p-i^**}\tilde b_{i+i^*，0}x^{i}+y\ left（b_{m，1}\prod_{i=1}^{m/2}\left（（x-\alpha_i）^2+\beta_i^2\right）-A\ right）。\结束{方程式*}

请注意$p-i美元^*$是偶数，那个等式$\sum_{i=0}^{p-i^*}\波浪线b_{i+i^*，0}x^{i}=0$不能有真正的解决方案（否则条件（c2）不满足）。考虑到这一点，我们可以写

\开始{方程式*}\sum_{i=0}^{p-i^*}\颚化符b_{i+i^*，0}x^{i}=\ tildeb_{p，0}\prod_{k=1}^{（p-i^*）/2}（x^2-2\tilde\alpha_kx+（\tilde\alpha_k^2+\ tilde\beta_k^2），\quad\text{用于某些$\ tilde\ alpha_k，\tilde\ beta_k \in\mathbb{R}$与$\ tilde \beta_k\ne 0$}。\结束{方程式*}

在这种情况下，系统的起源(6)是系统的唯一平衡点(6)和采取$\波浪线b_{i^*，0}\lt 0$和A类<0，满足所有条件（c1）–（c3）。请注意

\开始{方程式*}\颚化符b_{i^*，0}=\tildeb_{p，0}\prod_{k=1}^{（p-i^*）/2}（\alpha_k^2+\beta_k^2），\结束{方程式*}

从那以后$\波浪线b_{i^*，0}\lt 0$，这意味着$\颚化符b_｛p，0｝\lt 0$。

我们记得第页很奇怪，米是均匀的，并且$b_{p，0}\lt 0$.研究（参见[参考Dumortier和Herssens6])庞加莱球面上原点附近的这种系统构成了证明的支柱。在这种情况下，系统(6)是一个广义Liénard微分系统第页奇数，米甚至，百万美元+1$和$\颚化符b_｛p，0｝\lt 0$.我们确实可以进行缩放

\开始{方程式*}x=\alpha x，\quad y=\beta y，\quat t=\gamma s，\quad\alpha=\left（\frac{b_{m，1}^2}{\tilde b_{p，0}}\right）^{1/（p-1-2m，\结束{方程式*}

和系统(6)成为

(9)\开始{方程式}X^{\prime}=Y，\qquad Y^{\prime}=AY+X^{i^*}\sum_{i=0}^{p-i^*-1}\hat b_{i+i^*，0}X^{i}-X^p+Y\左（\hat b_{m，1}\prod_{i=1}^{m/2}\left（（X-\hat\alpha_i）^2+\hat\beta_i^2\right）-A\right），\结束{方程式}

哪里$\hat b_{2i，1}$，$\hat b_{m，1}$，$\hat\alpha_i$和$\hat\beta_i$是新参数，以及$Y X ^米$为-1。

注意，现在系统(9)是一个广义Liénard微分系统第页奇数，米偶数，以及系数X（X）^第页等于−1。使用的差速器系统（3）[参考Dumortier和Herssens6]带有ɛ= 1,米奇数和n个偶数[参考Dumortier和Herssens6])，我们得到系统的无穷大(9)必须是图5（3）、图6（1）、图7（3）和图8（6）和图9（3）相图中描述的以下五个无穷大之一。

从前面的这些图中，我们可以得出图5（3）、图6（1）和图7（3）中的无穷大是一个排斥器（有来自无穷大的轨道，但没有通向无穷大的轨），或者图8（6）和图9（3）没有来自无穷大或走向无穷大的任何轨道。

注意，由于系统的发散性是负的（条件（c1）），这要归功于庞加莱-本迪克森定理（例如，参见[参考Dumortier、Llibre和Artés7，定理7.10]），不存在周期轨道，条件（c1）–（c3）以及前面描述的无穷远处的行为意味着原点是全局渐近稳定的。这就是定理的证明1。