背景和动机。由于在各个应用领域对降低蒙特卡罗模拟的计算成本的持续需求，方差减少方法几十年来引起了人们的极大兴趣。特别是，自适应蒙特卡罗方法（本论文的一个基本主题）旨在同时运行蒙特卡罗模拟和参数搜索程序，以使用一组常见的随机实现来减少方差，与分离参数搜索阶段和主要模拟阶段的序列方差减少方法相比。自20世纪80年代以来，蒙特卡罗模拟和方差减少技术在结构可靠性分析中得到了广泛关注，其目的是改进结构系统失效概率的估计，这是我们研究的主要应用路线。
本论文由六章组成，对蒙特卡罗方法和方差减少技术的理论和应用做出了贡献，前三章建立了通用概率框架，后三章研究了在结构可靠性分析中的应用。各章的动机和贡献概述如下。
单纯形上的采样和测量变更。蒙特卡罗方法已经被广泛研究用于单位超立方体上的数值积分，以及各种用于加速中心极限定理收敛的方差减少技术，而在更具挑战性的领域（如多面体）上的蒙特卡罗积分却没有得到太多关注。单纯形是积分凸多面体时的基本域，使用各种数值技术，例如文献中为积分超单纯形而开发的精确积分方法和体积算法。本章的目的是建立一个新的单形蒙特卡罗积分框架，从抽样到方差减少。我们首先在由两个独立过程组成的标准单纯形上开发了一种均匀采样方法。然后，为了通过重要性抽样减少方差，我们构建了关于开发的抽样技术中两个独立元素中每一个的度量变化的理论，并讨论了自适应实现的可能性。
批量自适应方差减少。尽管自适应蒙特卡罗方法不需要频繁地重新校准参数，但在某些情况下仍需要初始化步骤。这样一个初步阶段的长度通常没有明确规定，由用户根据具体情况确定。例如，在自适应重要性抽样框架中，在准备随机近似的学习率的模拟之前，对随机持续时间进行试点运行[参考Kawai1]. 在现实的有限预算情况下，这种不确定因素甚至可能是致命的，因为试行可能会占用大部分预算，或可能耗尽全部预算。本章旨在解决特别的初始化步骤，将分批过程引入自适应方差减少框架，并在参数搜索算法中提供分批学习率的可实现公式[参考Song和Kawai5]. 我们在参数搜索中提供了一个分批学习率的可实现公式，该公式使经验分批平均值的理论方差的上界最小。通过设置预定的时间来定期更新相关的问题参数，而不是进行初步运行来准备恒定的学习速率，我们试图避免方差减少的机会损失，并消除试点运行时间的随机性。
分层抽样的动态有限预算分配，分层自适应方差缩减。分层采样是一种有效的方差减少方法，通过从互斥和穷举的地层中采样合理份额的点来加速蒙特卡罗模拟。自适应重要性抽样在分层情况下通常很难应用，因为在改变制定重要性抽样的概率测度的过程中可能无法保留原始的分层形式。在本章中，通过明智地构建单位超立方体的基本框架，我们能够应用组合的自适应重要性采样和控制变量[参考Kawai2]对分层随机元，无需监测地层计算成本的差异。我们还开发并分析了一种分层抽样的动态有限预算分配方案，该方案仅偶尔更新预算分配，但有效地充分考虑了减少的阶层差异，同时估计阶层平均值并更新整个阶层的方差减少参数[参考歌曲和卡瓦伊6].
结构可靠性分析的自适应分层抽样。在结构可靠性分析中，采用了各种蒙特卡罗方差减少技术来改进失效概率的估计。分层和拉丁超立方体采样由于其内在的灵活性，在处理具有稀疏和可能多重失效模式的结构系统时被证明是有效的。我们采用分层抽样的框架，通过分层动态预算分配和方差减少[参考歌曲和卡瓦伊6]在前一章中发展到这个应用领域。通过结合分层抽样、重要性抽样和控制变量的优点，该方法[参考歌曲和卡瓦伊4]适用于具有稀疏结构的各种结构可靠性问题，并通过本章中的各种数值例子进行了证明。
自适应分层方向重要性抽样。在结构可靠性分析中估算失效概率的各种蒙特卡罗方法中，定向模拟和重要性抽样都得到了极大的关注。定向模拟是极坐标系中的一种径向采样方法，其目的是通过抑制径向距离中的随机性来改进估计，在此基础上，需要单调性条件来证明确定性数值过程（如寻根）的合理性。本章提出了一个自适应框架[参考歌曲和卡瓦伊三]并采用第三章提出的动态预算分配方案，建立了其易于实现的算法，该算法纯粹基于模拟，因此不依赖于这种单调性条件，单位超球面按方向分层，重要性抽样按层应用于径向长度。
结构可靠性分析的蒙特卡罗和方差减少方法：方法学方面。蒙特卡罗模拟和方差减少技术一直吸引着结构可靠性分析的兴趣，用于估计时不变问题的失效概率，各种发展不断出现在文献中。现有的审查和基准研究通常专注于某些主题，旨在总结和比较一些选定的方法的细节，通常从实施的角度来看。为了提供关于蒙特卡罗方法在这方面的方法学方面的全面指南，在本章中，我们对现有公式和技术进行了广泛而详尽的概述，并调查了使用蒙特卡罗模拟方法和方差减少技术的数值方法[参考歌曲和卡瓦伊7]. 对于结构可靠性分析中使用的每种蒙特卡罗方法，我们回顾了它的一般公式、子类别和变体，以及它与其他仿真技术或替代模型的结合使用，并对文献中数值方法的发展进行了有见地的总结。
