Activation energy and binary chemical reaction effects in mixed convective nanofluid flow with convective boundary conditions

阿伦尼乌斯活化能,二元化学反应,粘性耗散,布朗运动,热电泳

1引言

具有传热传质的混合流体通过连续表面的边界层流动研究在空气动力学、塑料和橡胶板的挤压、晶体生长等方面有着广泛的应用(Makinde&Olanrewaju，2011年;沙菲克、穆斯塔法和穆斯塔克，2016年)。阿伦尼乌斯活化术语由斯万特·阿伦尼奥斯于1889年提出。它对具有潜在反应物的化学系统产生化学反应所需的最小能量进行建模。Lazaridis、Savara和Argyrakis（2014年）建议在一个成功的反应中，可以合理地假设一个反应以一定的非零概率发生。在研究中，研究人员调查了改变这种概率对反应速度的影响。二元化学反应是分两步发生的反应。这些类型的反应在化学气相沉积（CVD）和化学液相沉积（CLD）的沉积过程中很常见。化学沉积具有工业应用，如金属物体和玻璃的涂层、电子器件（如二极管和晶体管）的制造、气体渗透屏障和许多其他应用(Pedersen&Elliott，2014年)。在二元化学反应中，活化能是一个重要因素(Shafique等人，2016年)。在化学沉积过程中，反应必须发生在基底表面(Pedersen&Elliott，2014年)。由于反应器室是从外部加热的，在远离衬底表面的地方可能会发生一些反应，导致所谓的气相成核过程，这是一个主要问题(Rana、Chandrashekhar和Sudarshan，2012年)。为了确保发生原子层沉积（ALD）表面反应，而不是CVD类反应，可以在每个半周期后执行吹扫步骤，以清除残留的前体或反应物(Profijt、Potts、Van de Sanden和Kessels，2011年)。尽管尚未完全理解，但液相沉积（LPD）或化学液相沉积因其处理温度低、设备简单、生长速度快而优于其他沉积技术(⁠ $12 纳米 / 小时$ ⁠)运营成本低(Sun&Sun，2004年)。为了改善/增强工业应用流体的热性能，通常用纳米流体代替普通流体。纳米流体一词是由Choi于1995年发明的(Choi&Eastman，1995年)描述添加纳米颗粒的流体。所用材料包括稳定金属、氧化物、碳化物、硝酸盐和非金属(Das、Sharma和Sarkar，2016年;穆罕默德和纳迪姆，2017年;穆罕默德、纳迪姆和穆斯塔法，2018年;Nadeem、Ahmad和Muhammad，2018年)。在这项研究中，我们重点研究了具有Arrhenius活化能和对流边界条件的二元化学反应流体的流动。本研究旨在探讨活化能和摩擦加热等因素对此类流体流动的影响。了解摩擦加热对二元化学反应的影响可能有助于消除在基底表面以外发生的过早反应，从而改善沉积。在大多数工程应用中，拉伸或移动薄板和周围流体中的热传输变得非常关键(穆罕默德、纳迪姆和哈克，2017年)。在这项研究中，我们考虑了化学反应的一种最终产物的浓度，而不是跟踪反应物的浓度。一些研究人员考虑了活化能和二元化学反应的联合效应的研究(阿巴斯、谢赫和莫萨，2016年;Daniel、Aziz、Ismail和Salah，2017年;Makinde、Olanrewaju和Charles，2011年;马雷克，2013年a,2013年b;Nadeem、Ahmad、Muhammad和Mustafa，2017年).

Makinde和Olanrewaju的(Makinde&Olanrewaju，2011年)研究的重点是浮力参数，即热Grashof数和溶质Grashof值。他们表明，动量边界层厚度通常随浮力参数值的增加而减小。结果表明，随着浮力值的增加，边界层内出现逆流。壁面吸力使动量边界层减小，而注入使动量边界层数增加。Damkohler参数的增加可以提高流体的温度。Damkohler参数的增加降低了边界层中化学物质的浓度。然而，施密特数被证明对边界层有相反的影响。施密特数的增加导致边界层内物种浓度增加。来自的结果(Makinde等人，2011年)结果表明，随着浮力强度、注入、破坏性化学反应、辐射吸收和热扩散效应的增加、扩散热效应的降低以及流体温度的升高，边界层内的逆流增强。物种浓度随着索雷特数的增加和杜福尔数的减少而降低。Abbas等人（2016）结论是，增加无量纲活化能的值会增强边界层内的浓度分布。马勒奎（2013年a）发现随着放热反应预曝光参数的增加，温度曲线略有下降，但吸热反应的影响相反。化学反应速率随活化能的增加而降低。他进一步得出结论，放热反应的速度和温度曲线随化学反应速率常数的增加而增加，但吸热反应的影响相反。浮力和热量产生/吸收对边界层和速度剖面有显著影响马勒奎岛（2013年b）.生热系数的作用是扩大边界层厚度，而吸热则相反。因此，热量产生/吸收系数对皮肤摩擦系数具有相同的影响。旋转的影响通过Awad、Motsa和Khumalo（2014）他表明，对于较小的转速参数值，在速度剖面中观察到单调指数衰减，而对于较大的值，则观察到振荡衰减。

本研究的目的是研究无限长边界上具有活化能的非定常流动和二元化学反应。边界处的温度条件取决于比奥数。模型方程采用最近发展的谱拟线性化方法进行数值求解。第二个目标是通过评估剩余误差范数来探索该方法的准确性和收敛性，并研究流动参数对输运过程的影响。这些结果可以为工程应用中可能使用的参数值的选择提供见解。相关参数对物理量的影响已经用图形进行了检验。

2数学分析

考虑一维粘性纳米流体在无限长平板上的非定常流动 ${U型}_{0}$ 在二元化学混合物中。由于板是无限大的，运动是不稳定的，所有的流动变量只取决于年和时间t吨远离墙壁的温度和浓度 ${T型}_{\infty}$ 和 ${C类}_{\infty}$ ⁠.

问题的几何形状是在笛卡尔坐标系中选择的 $(x个, 年)$ 速度分量u个平行于板，并被视为x个-轴，同时v（v）垂直于板，并被视为位于年-轴。假设水流平行于板，即沿着x个-轴。问题的几何形状如所示图1.

图1

流量配置和坐标系。

具有热泳作用的纳米流体流动和具有阿伦尼斯活化能的二元化学反应的方程组可以写如下。

\frac{⏴ v（v）}{⏴ 年} = 0,

(1)

\frac{⏴ u个}{⏴ t吨} + v（v） \frac{⏴ u个}{⏴ 年} = \frac{μ}{ρ {如果}_{\infty}} \frac{⏴^{2} u个}{⏴ 年^{2}} + (1 - {C类}_{\infty}) 克 β ρ {如果}_{\infty} (T型 - {T型}_{\infty}) - (ρ_{第页} - ρ {如果}_{\infty}) 克 (C类 - {C类}_{\infty}),

(2)

\frac{⏴ T型}{⏴ t吨} + v（v） \frac{⏴ T型}{⏴ 年} = α \frac{⏴^{2} T型}{⏴ 年^{2}} + \frac{μ}{{(ρ {c（c）}_{第页})}_{如果}} {(\frac{⏴ u个}{⏴ 年})}^{2} + τ \{{D类}_{B类} \frac{⏴ T型}{⏴ 年} \frac{⏴ C类}{⏴ 年} + \frac{{D类}_{T型}}{{T型}_{\infty}} {(\frac{⏴ T型}{⏴ 年})}^{2}\},

(3)

\frac{⏴ C类}{⏴ t吨} + v（v） \frac{⏴ C类}{⏴ 年} = {D类}_{B类} \frac{⏴^{2} C类}{⏴ 年^{2}} - {k个}_{第页}^{2} {(\frac{T型}{{T型}_{\infty}})}^{n个} 费用 (- \frac{{E类}_{一}}{千吨}) (C类 - {C类}_{\infty}) + \frac{{D类}_{T型}}{{T型}_{\infty}} \frac{⏴^{2} T型}{⏴ 年^{2}} .

(4)

α = \frac{{k个}_{米}}{{(ρ c（c）)}_{如果}} 和 τ = \frac{{(ρ c（c）)}_{第页}}{{(ρ c（c）)}_{如果}}

方程的边界条件。(1)–(4)如下表所示：

\begin{matrix} u个 = {U型}_{0}, - {k个}_{如果} \frac{⏴ T型}{⏴ 年} = {小时}_{如果} ({T型}_{如果} - T型), {D类}_{B类} \frac{⏴ C类}{⏴ 年} + \frac{{D类}_{T型}}{{T型}_{\infty}} \frac{⏴ T型}{⏴ 年} = 0, 在 年 = 0, t吨 > 0 \\ u个 \to 0, T型 \to {T型}_{\infty}, C类 \to {C类}_{\infty} 作为 年 \to \infty, t吨 > 0 \end{matrix}

(5)

哪里

(u个, v（v）)

速度分量是沿着

(x个, 年)

方向，

μ

是粘度，

ρ {如果}_{\infty}

是基础流体的密度，克是重力引起的加速度，

β

是纳米流体的体积热膨胀系数，

ρ_{第页}

是纳米颗粒的密度，T型是温度，C类是流体的浓度，

α

是基础流体的热扩散率，

{c（c）}_{第页}

是恒压下的比热，

τ

是纳米颗粒材料的有效热容与流体的热容之比，

{D类}_{B类}

是布朗扩散系数，

{D类}_{T型}

是热泳扩散系数，

{k个}_{米}

是导热系数，

{(ρ c（c）)}_{如果}

是基础流体的热容

{(ρ c（c）)}_{第页}

是纳米颗粒材料的有效热容，

{k个}_{第页}^{2}

是化学反应速率常数，

{(T型 / {T型}_{\infty})}^{n个} 费用 (- {E类}_{一} / 千吨) (C类 - {C类}_{\infty})

是Arrhenius函数，n个是一个常数指数，并且

{E类}_{一}

是活化能。

3方程转换

速度分量由下式给出(马勒奎，2013年a, (2013年b)

u个 = {U型}_{0} 如果 (η) 和 v（v） = - \frac{{v（v）}_{0} ν}{δ (t吨)},

(6)

哪里

η

是相似性变量

(η = \frac{年}{δ (t吨)}), δ (t吨)

是缩放参数，如果表示缩放速度和

{v（v）}_{0}

是吸入/注入速度。

温度和浓度表示为

T型 = {T型}_{\infty} + ({T型}_{如果} - {T型}_{\infty}) θ (η) 和 C类 = {C类}_{\infty} + ({C类}_{w个} - {C类}_{\infty}) ϕ (η)

(7)

θ (η)

是无量纲温度和

ϕ (η)

是无量纲浓度。使用公式。(6)和(7)，等式。(2)–(4)转化为以下边值问题

如果'' + (一个 η + {v（v）}_{0}) 如果' + \frac{希腊}{重新} (θ - 编号 ϕ) = 0,

(8)

θ'' + 公共关系 (一个 η + {v（v）}_{0}) θ' + 价格Ecf'^{2} + 项目编号 θ' ϕ' + 项目编号 θ'^{2} = 0,

(9)

ϕ'' + Sc公司 (一个 η + {v（v）}_{0}) ϕ' - Sc公司 λ^{2} (1 + n个 γ θ) 费用 (- \frac{E类}{1 + γ θ}) ϕ + \frac{编号}{编号} θ'' = 0,

(10)

如果 (0) = 1, 如果 (\infty) \to 0,

(11)

θ' (0) = - Bi公司 (1 - θ (0)), θ (\infty) \to 0,

(12)

编号 ϕ' + 编号 θ' (0) = 0, ϕ (\infty) \to 0 .

(13)

素数表示关于

η

⁠.公式中的参数。(8)–(13)是不稳定参数一个，缩放参数

δ

⁠，Grashof数希腊它是作用在流体上的浮力与粘性力之比，雷诺数重新惯性力与粘性力之比，浮力比参数编号它是一种向上的力，作用于浸入流体中的物体，普朗特尔公共关系，动量扩散率与热扩散率之比，Eckert数Ec公司它是平流输送与热耗散势之比，即布朗运动参数编号流体中颗粒的随机运动，热泳参数编号这是由于温度梯度力，即施密特数，引起的微观粒子的运动Sc公司，动量扩散率与质量扩散率之比，无量纲化学反应速率常数

λ^{2}

⁠，温度相关参数

γ

⁠，无量纲活化能E类和比奥数Bi公司它是物体内部和表面的传热阻力之比。这些参数定义为：；

\begin{matrix} 一个 = \frac{δ δ'}{ν}, δ (t吨) = \sqrt{2 一个 ν t吨 + {L（左）}^{2}}, 希腊 = \frac{(1 - {C类}_{\infty}) 克 β ρ {如果}_{\infty} ▵ T型 δ^{三}}{ν^{2}}, 重新 = \frac{{U型}_{0} δ}{ν}, \\ 编号 = \frac{(ρ_{第页} - ρ {如果}_{\infty}) ▵ C类}{(1 - {C类}_{\infty}) ρ {如果}_{\infty} β Δ T型}, 公共关系 = \frac{ν}{α}, Ec公司 = \frac{{U型}_{0}^{2}}{{c（c）}_{第页} ({T型}_{如果} - {T型}_{\infty})}, 编号 = \frac{τ {D类}_{B类} ▵ C类}{ν}, \\ 编号 = \frac{τ {D类}_{T型} ▵ T型}{ν {T型}_{\infty}}, Sc公司 = \frac{ν}{{D类}_{B类}}, λ^{2} = \frac{{k个}_{第页}^{2} δ^{2}}{ν}, γ = \frac{{T型}_{如果} - {T型}_{\infty}}{{T型}_{\infty}}, E类 = \frac{{E类}_{一}}{{千吨}_{\infty}}, Bi公司 = \frac{{小时}_{如果}}{{k个}_{如果}} δ (t吨) . \end{matrix}

4传热传质系数

板表面的传热速率由下式给出

{q个}_{w个} = - k个 {[\frac{⏴ T型}{⏴ 年}]}_{年 = 0},

(14)

本地Nusselt编号定义为

努 = \frac{δ {q个}_{w个}}{k个 ({T型}_{如果} - {T型}_{\infty})} .

（15）

努 = - θ' (0) .

(16)

墙表面的质量通量由下式给出

{q个}_{米} = - {D类}_{米} {[\frac{⏴ C类}{⏴ 年}]}_{年 = 0}

(17)

当地Sherwood被定义为

Sh公司 = \frac{δ {q个}_{米}}{{D类}_{米} ({C类}_{w个} - {C类}_{\infty})} .

(18)

使用等式。(17)在等式中。(18)获得的无量纲舍伍德数

Sh公司 = - ϕ' (0) .

(19)

5谱拟线性化方法数值解

常微分方程组。(8)–(10)分别为；

F类 = {如果}^{”} + (一个 η + {v（v）}_{0}) {如果}^{'} + \frac{希腊}{重新} (θ - 编号 ϕ),

(20)

Θ = θ^{”} + 公共关系 (一个 η + {v（v）}_{0}) θ^{'} + {价格Ecf}^{'^{2}} + 项目编号 θ^{'} ϕ^{'} + 项目编号 θ^{'^{2}},

(21)

Φ = ϕ^{”} + Sc公司 (一个 η + {v（v）}_{0}) ϕ^{'} - Sc公司 λ^{2} (1 + n个 γ θ) 费用 (- \frac{E类}{1 + γ θ}) ϕ + \frac{编号}{编号} θ^{”} .

(22)

我们从方程的迭代过程中构造误差。(23)–(25)分别地

一_{0 第页} {如果}_{第页 + 1}^{”} + 一_{1 第页} {如果}_{第页 + 1}^{'} + 一_{2 第页} θ_{第页 + 1} + 一_{三 第页} ϕ_{第页 + 1} - F类 = {R（右）}_{如果},

(23)

{b条}_{0 第页} θ_{第页 + 1}^{”} + 一_{1 第页} θ_{第页 + 1}^{'} + {b条}_{2 第页} {如果}_{第页 + 1}^{'} + {b条}_{三 第页} ϕ_{第页 + 1}^{'} - Θ = {R（右）}_{θ},

(24)

{c（c）}_{0 第页} ϕ_{第页 + 1}^{”} + {c（c）}_{1 第页} ϕ_{第页 + 1}^{'} + {c（c）}_{2 第页} ϕ_{第页 + 1} + {c（c）}_{三 第页} θ_{第页 + 1}^{”} + {c（c）}_{4 第页} θ_{第页 + 1} - Φ = {R（右）}_{ϕ} .

(25)

根据边界条件

{如果}_{第页 + 1} (0) = 1, {如果}_{第页 + 1} (\infty) \to 0

(26)

θ_{第页 + 1}^{'} (0) = - Bi公司 (1 - θ (0)), θ_{第页 + 1} (\infty) \to 0

(27)

编号 ϕ_{第页 + 1}^{'} (0) + 编号 θ_{第页 + 1}^{'} (0) = 0, ϕ_{第页 + 1} (\infty) \to 0

(28)

其中系数(23)–(25)表示为：；

\begin{matrix} 一_{0, 第页} = 1, 一_{1, 第页} = (一个 η + {v（v）}_{0}), 一_{2, 第页} = \frac{希腊}{重新}, 一_{三, 第页} = - \frac{GrNr公司}{重新}, {b条}_{0, 第页} = 1, \\ {b条}_{1, 第页} = 公共关系 (一个 η + {v（v）}_{0}) + 项目编号 ϕ_{第页}^{'} + 2 项目编号 θ_{第页}^{'}, {b条}_{2, 第页} = 2 {价格Ecf}_{第页}^{'}, {b条}_{三, 第页} = 项目编号 θ_{第页}^{'}, \\ {c（c）}_{0, 第页} = 1, {c（c）}_{1, 第页} = Sc公司 (一个 η + {v（v）}_{0}), {c（c）}_{2, 第页} = - Sc公司 λ^{2} (1 + n个 γ θ_{第页}) {e（电子）}^{- E类 / (1 + γ θ_{第页})}, {c（c）}_{三, 第页} = \frac{编号}{编号} \\ {c（c）}_{4, 第页} = - \frac{Sc公司 λ^{2} {e（电子）}^{- E类 / (1 + γ θ_{第页})} (E类 + n个 + n个 (2 + E类) γ θ_{第页} + n个 γ^{2} θ_{第页}^{2})}{{(1 + γ θ_{第页})}^{2}} \end{matrix}

(29)

初始猜测被选为满足边界条件的函数，这些被选为

\begin{matrix} {如果}_{0} (η) = {e（电子）}^{- η}, θ_{0} (η) = \frac{Bi公司}{1 + Bi公司} {e（电子）}^{- η}, ϕ_{0} (η) = - \frac{编号}{编号} \frac{Bi公司}{(1 + Bi公司)} {e（电子）}^{- η} . \end{matrix}

(30)

为了应用SQLM求解非线性常微分系统(23)–(25)我们将域从

0 ⩽ η ⩽ {L（左）}_{x个}

到

- 1 ⩽ x个 ⩽ 1

使用转换

η = {L（左）}_{x个} (x个 + 1) / 2

(Kameswaran、Sibanda和Motsa，2013年)。我们使用定义为

{x个}_{我} = 余弦 (\frac{π 我}{N个}), 我 = 0, 1, 2, \dots, N个

(31)

谱配置方法使用微分矩阵

(D类)

将未知变量在搭配点处的导数近似为矩阵向量乘积。这个D类-为域构造矩阵

[- 1, 1]

所以我们为域缩放这个矩阵

[0, {L（左）}_{x个}]

通过采取

D类 1 = 2 D类 / {L（左）}_{x个}

⁠，所以

\frac{{数字频率}_{第页}^{(1)}}{d日 η} (η_{j个}) = \sum_{k个 = 0}^{n个} D类 1 如果 (η_{k个}) = D类 1 {F类}_{米}, j个 = 0, 1, 2, \dots, N个

(32)

哪里

F类 = {[如果 (η_{0}), 如果 (η_{1}), 如果 (η_{2}), \dots, 如果 (η_{N个})]}^{T型}

表示配置点的向量函数。高阶导数以标度微分矩阵的幂表示

{F类}^{(第页)} = D类 1^{第页} {F类}_{第页} .

(33)

使用缩放微分矩阵(23)–(25)我们得到；

\begin{matrix} {一个}_{11} {如果}_{第页 + 1} + {一个}_{12} θ_{第页 + 1} + {一个}_{13} ϕ_{第页 + 1} = {R（右）}_{如果} \\ {一个}_{21} {如果}_{第页 + 1} + {一个}_{22} θ_{第页 + 1} + {一个}_{23} ϕ_{第页 + 1} = {R（右）}_{θ} \\ {一个}_{31} {如果}_{第页 + 1} + {一个}_{32} θ_{第页 + 1} + {一个}_{33} ϕ_{第页 + 1} = {R（右）}_{ϕ} \end{matrix}

(34)

在矩阵中，可以写为

[\begin{matrix} {一个}_{11} & {一个}_{12} & {一个}_{13} \\ {一个}_{21} & {一个}_{22} & {一个}_{23} \\ {一个}_{31} & {一个}_{32} & {一个}_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} {如果}_{第页 + 1} \\ θ_{第页 + 1} \\ ϕ_{第页 + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {R（右）}_{如果} \\ {R（右）}_{θ} \\ {R（右）}_{ϕ} \end{matrix}]

哪里

$一个 11 = 诊断 (一_{0, 第页}) D类 2 + 诊断 (一_{1, 第页}) D类 1, 一个 12 = 诊断 (一_{2, 第页}) 我, 一个 13 = 诊断 (一_{三, 第页}) 我$
$一个 21 = 诊断 ({b条}_{2, 第页}) D类 1, 一个 22 = 诊断 ({b条}_{0, 第页}) D类 2 + 诊断 ({b条}_{1, 第页}) D类 1, 一个 23 = 诊断 ({b条}_{三, 第页}) D类 1$
$一个 31 = 零点 (N个 + 1, N个 + 1), 一个 32 = 诊断 ({c（c）}_{三, 第页}) D类 2 + 诊断 ({c（c）}_{4, 第页}) 我$ ⁠,
$一个 33 = 诊断 ({c（c）}_{0, 第页}) D类 2 + 诊断 ({c（c）}_{1, 第页}) D类 1 + 诊断 ({c（c）}_{2, 第页}) 我$

剩余误差分析

我们通过执行残差分析来验证SQLM的准确性和收敛性。我们将剩余误差制成表格表1和图2.

表1

不同迭代的剩余误差。

我	$如果 (η)$	$θ (η)$	$ϕ (η)$
1	$7.867129 \times 10^{- 11}$	$3.191528 \times 10^{- 1}$	$2.535005 \times 10^{- 1}$
2	$3.159872 \times 10^{- 11}$	$7.612455 \times 10^{- 4}$	$1.025387 \times 10^{- 三}$
三	$8.640200 \times 10^{- 11}$	$4.233677 \times 10^{- 9}$	$4.432544 \times 10^{- 7}$
4	$8.753887 \times 10^{- 11}$	$9.773146 \times 10^{- 11}$	$2.045453 \times 10^{- 11}$
5	$9.731593 \times 10^{- 11}$	$2.188154 \times 10^{- 10}$	$6.840795 \times 10^{- 11}$
6	$1.182343 \times 10^{- 10}$	$7.860722 \times 10^{- 10}$	$2.582401 \times 10^{- 11}$
7	$7.753442 \times 10^{- 11}$	$3.279255 \times 10^{- 10}$	$5.194600 \times 10^{- 11}$
8	$5.161382 \times 10^{- 11}$	$3.652539 \times 10^{- 10}$	$4.351142 \times 10^{- 11}$
9	$3.808154 \times 10^{- 11}$	$3.276447 \times 10^{- 10}$	$5.004180 \times 10^{- 11}$
10	$8.185452 \times 10^{- 11}$	$5.311367 \times 10^{- 10}$	$2.323225 \times 10^{- 11}$

我	$如果 (η)$	$θ (η)$	$ϕ (η)$
1	$7.867129 \times 10^{- 11}$	$3.191528 \times 10^{- 1}$	$2.535005 \times 10^{- 1}$
2	$3.159872 \times 10^{- 11}$	$7.612455 \times 10^{- 4}$	$1.025387 \times 10^{- 三}$
三	$8.640200 \times 10^{- 11}$	$4.233677 \times 10^{- 9}$	$4.432544 \times 10^{- 7}$
4	$8.753887 \times 10^{- 11}$	$9.773146 \times 10^{- 11}$	$2.045453 \times 10^{- 11}$
5	$9.731593 \times 10^{- 11}$	$2.188154 \times 10^{- 10}$	$6.840795 \times 10^{- 11}$
6	$1.182343 \times 10^{- 10}$	$7.860722 \times 10^{- 10}$	$2.582401 \times 10^{- 11}$
7	$7.753442 \times 10^{- 11}$	$3.279255 \times 10^{- 10}$	$5.194600 \times 10^{- 11}$
8	$5.161382 \times 10^{- 11}$	$3.652539 \times 10^{- 10}$	$4.351142 \times 10^{- 11}$
9	$3.808154 \times 10^{- 11}$	$3.276447 \times 10^{- 10}$	$5.004180 \times 10^{- 11}$
10	$8.185452 \times 10^{- 11}$	$5.311367 \times 10^{- 10}$	$2.323225 \times 10^{- 11}$

表1

不同迭代的剩余误差。

我	$如果 (η)$	$θ (η)$	$ϕ (η)$
1	$7.867129 \times 10^{- 11}$	$3.191528 \times 10^{- 1}$	$2.535005 \times 10^{- 1}$
2	$3.159872 \times 10^{- 11}$	$7.612455 \times 10^{- 4}$	$1.025387 \times 10^{- 三}$
三	$8.640200 \times 10^{- 11}$	$4.233677 \times 10^{- 9}$	$4.432544 \times 10^{- 7}$
4	$8.753887 \times 10^{- 11}$	$9.773146 \times 10^{- 11}$	$2.045453 \times 10^{- 11}$
5	$9.731593 \times 10^{- 11}$	$2.188154 \times 10^{- 10}$	$6.840795 \times 10^{- 11}$
6	$1.182343 \times 10^{- 10}$	$7.860722 \times 10^{- 10}$	$2.582401 \times 10^{- 11}$
7	$7.753442 \times 10^{- 11}$	$3.279255 \times 10^{- 10}$	$5.194600 \times 10^{- 11}$
8	$5.161382 \times 10^{- 11}$	$3.652539 \times 10^{- 10}$	$4.351142 \times 10^{- 11}$
9	$3.808154 \times 10^{- 11}$	$3.276447 \times 10^{- 10}$	$5.004180 \times 10^{- 11}$
10	$8.185452 \times 10^{- 11}$	$5.311367 \times 10^{- 10}$	$2.323225 \times 10^{- 11}$

我	$如果 (η)$	$θ (η)$	$ϕ (η)$
1	$7.867129 \times 10^{- 11}$	$3.191528 \times 10^{- 1}$	$2.535005 \times 10^{- 1}$
2	$3.159872 \times 10^{- 11}$	$7.612455 \times 10^{- 4}$	$1.025387 \times 10^{- 三}$
三	$8.640200 \times 10^{- 11}$	$4.233677 \times 10^{- 9}$	$4.432544 \times 10^{- 7}$
4	$8.753887 \times 10^{- 11}$	$9.773146 \times 10^{- 11}$	$2.045453 \times 10^{- 11}$
5	$9.731593 \times 10^{- 11}$	$2.188154 \times 10^{- 10}$	$6.840795 \times 10^{- 11}$
6	$1.182343 \times 10^{- 10}$	$7.860722 \times 10^{- 10}$	$2.582401 \times 10^{- 11}$
7	$7.753442 \times 10^{- 11}$	$3.279255 \times 10^{- 10}$	$5.194600 \times 10^{- 11}$
8	$5.161382 \times 10^{- 11}$	$3.652539 \times 10^{- 10}$	$4.351142 \times 10^{- 11}$
9	$3.808154 \times 10^{- 11}$	$3.276447 \times 10^{- 10}$	$5.004180 \times 10^{- 11}$
10	$8.185452 \times 10^{- 11}$	$5.311367 \times 10^{- 10}$	$2.323225 \times 10^{- 11}$

图2

速度、温度和浓度剖面的残余误差。

发件人表1我们注意到，残差的最小值是在2次迭代后获得的 $如果 (η)$ 和4次迭代 $θ (η)$ 和 $ϕ (η)$ ⁠这表明SQLM是一种具有良好收敛速度的精确方法。为了更清楚地了解收敛速度，我们根据图2.

6结果讨论

本文研究了活化能对具有对流边界条件的二元化学反应纳米流体的影响。我们研究了热和化学参数对边界层中流体的速度、温度和浓度的影响。我们首先研究固体边界上的阻力、传热和传质是如何受到某些参数的影响的。我们通过改变感兴趣的参数来实现这一点，同时保持其余参数不变，并注意局部表面摩擦系数的变化(⁠ ${C类}_{如果}$ ⁠)，本地Nusselt(努)数字和当地Sherwood数字(Sh公司)。结果如所示表2.

表2

不同参数对皮肤摩擦系数的影响(⁠ ${C类}_{如果}$ ⁠)，本地Nusselt编号(努)和当地Sherwood号码(Sh公司)和 ${v（v）}_{0} = 2, 希腊 = 1.5, 重新 = 1, Bi公司 = 100, Ec公司 = 0.2, γ = 1, n个 = 1, 公共关系 = 6.8$ ⁠.

一个	Sc公司	编号	编号	编号	E类	$λ$	$- {如果}^{'} (0)$	$- θ^{'} (0)$	$- ϕ^{'} (0)$
0	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	1.912449	9.865404	−2.739898
0.5	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	2.126137	9.941617	−2.759319
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	2.293911	10.037429	−2.785280
1	0.3	0.5	0.3	0.1	1	5	2.322190	10.238323	−2.987516
1	0	0.5	0.3	0.1	1	5	2.789233	10.291383	−3.400554
1	0.6	0.25	0.3	0.1	1	5	2.269238	10.052712	−2.790421
1	0.6	0	0.3	0.1	1	5	2.244563	10.067812	−2.795502
1	0.6	0.5	0.2	0.1	1	5	2.318582	10.021971	−4.170131
1	0.6	0.5	0.1	0.1	1	5	2.392579	9.974499	−8.292432
1	0.6	0.5	0.3	0.2	1	5	2.332045	9.108249	−4.947295
1	0.6	0.5	0.3	0.3	1	5	2.367588	8.191294	−6.501718
1	0.6	0.5	0.3	0.1	0.5	5	2.283544	9.900079	−2.607755
1	0.6	0.5	0.3	0.1	0	5	2.274071	9.751707	−2.413290
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	2.5	2.322548	10.342466	−3.182157
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	0	2.346528	10.524261	−3.413481

一个	Sc公司	编号	编号	编号	E类	$λ$	$- {如果}^{'} (0)$	$- θ^{'} (0)$	$- ϕ^{'} (0)$
0	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	1.912449	9.865404	−2.739898
0.5	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	2.126137	9.941617	−2.759319
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	2.293911	10.037429	−2.785280
1	0.3	0.5	0.3	0.1	1	5	2.322190	10.238323	−2.987516
1	0	0.5	0.3	0.1	1	5	2.789233	10.291383	−3.400554
1	0.6	0.25	0.3	0.1	1	5	2.269238	10.052712	−2.790421
1	0.6	0	0.3	0.1	1	5	2.244563	10.067812	−2.795502
1	0.6	0.5	0.2	0.1	1	5	2.318582	10.021971	−4.170131
1	0.6	0.5	0.1	0.1	1	5	2.392579	9.974499	−8.292432
1	0.6	0.5	0.3	0.2	1	5	2.332045	9.108249	−4.947295
1	0.6	0.5	0.3	0.3	1	5	2.367588	8.191294	−6.501718
1	0.6	0.5	0.3	0.1	0.5	5	2.283544	9.900079	−2.607755
1	0.6	0.5	0.3	0.1	0	5	2.274071	9.751707	−2.413290
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	2.5	2.322548	10.342466	−3.182157
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	0	2.346528	10.524261	−3.413481

表2

不同参数对表面摩擦系数的影响(⁠ ${C类}_{如果}$ ⁠)，本地Nusselt编号(努)和当地Sherwood号码(Sh公司)和 ${v（v）}_{0} = 2, 希腊 = 1.5, 重新 = 1, Bi公司 = 100, Ec公司 = 0.2, γ = 1, n个 = 1, 公共关系 = 6.8$ ⁠.

一个	Sc公司	编号	编号	编号	E类	$λ$	$- {如果}^{'} (0)$	$- θ^{'} (0)$	$- ϕ^{'} (0)$
0	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	1.912449	9.865404	−2.739898
0.5	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	2.126137	9.941617	−2.759319
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	2.293911	10.037429	−2.785280
1	0.3	0.5	0.3	0.1	1	5	2.322190	10.238323	−2.987516
1	0	0.5	0.3	0.1	1	5	2.789233	10.291383	−3.400554
1	0.6	0.25	0.3	0.1	1	5	2.269238	10.052712	−2.790421
1	0.6	0	0.3	0.1	1	5	2.244563	10.067812	−2.795502
1	0.6	0.5	0.2	0.1	1	5	2.318582	10.021971	−4.170131
1	0.6	0.5	0.1	0.1	1	5	2.392579	9.974499	−8.292432
1	0.6	0.5	0.3	0.2	1	5	2.332045	9.108249	−4.947295
1	0.6	0.5	0.3	0.3	1	5	2.367588	8.191294	−6.501718年
1	0.6	0.5	0.3	0.1	0.5	5	2.283544	9.900079	−2.607755
1	0.6	0.5	0.3	0.1	0	5	2.274071	9.751707	−2.413290
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	2.5	2.322548	10.342466	−3.182157
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	0	2.346528	10.524261	−3.413481

一个	Sc公司	编号	编号	编号	E类	$λ$	$- {如果}^{'} (0)$	$- θ^{'} (0)$	$- ϕ^{'} (0)$
0	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	1.912449	9.865404	−2.739898
0.5	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	2.126137	9.941617	−2.759319
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	5	2.293911	10.037429	−2.785280
1	0.3	0.5	0.3	0.1	1	5	2.322190	10.238323	−2.987516
1	0	0.5	0.3	0.1	1	5	2.789233	10.291383	−3.400554
1	0.6	0.25	0.3	0.1	1	5	2.269238	10.052712	−2.790421
1	0.6	0	0.3	0.1	1	5	2.244563	10.067812	−2.795502
1	0.6	0.5	0.2	0.1	1	5	2.318582	10.021971	−4.170131
1	0.6	0.5	0.1	0.1	1	5	2.392579	9.974499	−8.292432
1	0.6	0.5	0.3	0.2	1	5	2.332045	9.108249	−4.947295
1	0.6	0.5	0.3	0.3	1	5	2.367588	8.191294	−6.501718
1	0.6	0.5	0.3	0.1	0.5	5	2.283544	9.900079	−2.607755
1	0.6	0.5	0.3	0.1	0	5	2.274071	9.751707	−2.413290
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	2.5	2.322548	10.342466	−3.182157
1	0.6	0.5	0.3	0.1	1	0	2.346528	10.524261	−3.413481

在表3我们总结了模型中的参数值及其来源。

表3

模型中的参数及其值。

参数	符号	价值	来源
格拉肖夫数	希腊	(0.1, 5)	Makinde和Olanrewaju（2011）
雷诺数	重新	1	假设
浮力参数	编号	(0.3, 1.2)	Pal和Mondal（2011）
普朗特尔编号	公共关系	(6.8, 7.2)	Abbas等人（2016）
埃克特数	Ec公司	(0.1, 0.4)	Makanda等人（2013）
布朗运动参数	编号	0.5	Sithole等人（2018）
热电泳参数	编号	0.5	Sithole等人（2018）
施密特数	Sc公司	0.6	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a）
化学反应常数	$λ^{2}$	5	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a,2013年b）
温度相对参数	$γ$	(0, 5)	Awad等人（2014）
活化能	E类	1	Makinde和Olanrewaju（2011）,马勒奎（2013年a）、和Awad等人（2014）
比奥数	Bi公司	(0.1, 100)	Uddin等人（2012年）,RamReddy等人（2013）、和Kameswaran等人（2013）
吸入/注入参数	${v（v）}_{0}$	(−3, 3)	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a）
稳定性参数	一个	(0, 1)	马勒奎（2013年a）
常数指数	n个	(−1, 1)	马勒奎（2013年a）和Awad等人（2014）

参数	符号	价值	来源
格拉肖夫数	希腊	(0.1, 5)	Makinde和Olanrewaju（2011）
雷诺数	重新	1	假设
浮力参数	编号	(0.3, 1.2)	Pal和Mondal（2011）
普朗特尔编号	公共关系	（6.8、7.2）	Abbas等人（2016）
埃克特数	Ec公司	(0.1, 0.4)	Makanda等人（2013）
布朗运动参数	编号	0.5	Sithole等人（2018）
热电泳参数	编号	0.5	Sithole等人（2018）
施密特数	Sc公司	0.6	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a）
化学反应常数	$λ^{2}$	5	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a,2013年b）
温度相对参数	$γ$	(0, 5)	Awad等人（2014）
活化能	E类	1	Makinde和Olanrewaju（2011）,马勒奎（2013年a）、和Awad等人（2014）
比奥数	Bi公司	(0.1, 100)	Uddin等人（2012年）,RamReddy等人（2013）、和Kameswaran等人（2013）
吸入/注入参数	${v（v）}_{0}$	(−3, 3)	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a）
稳定性参数	一个	(0, 1)	马利克（2013a）
常数指数	n个	(−1, 1)	马勒奎（2013年a）和Awad等人（2014）

表3

模型中的参数及其值。

参数	符号	价值	来源
格拉肖夫数	希腊	(0.1, 5)	Makinde和Olanrewaju（2011）
雷诺数	重新	1	假设
浮力参数	编号	(0.3, 1.2)	Pal和Mondal（2011）
普朗特尔编号	公共关系	(6.8, 7.2)	Abbas等人（2016）
埃克特数	Ec公司	（0.1、0.4）	Makanda等人（2013）
布朗运动参数	编号	0.5	Sithole等人（2018）
热电泳参数	编号	0.5	Sithole等人（2018）
施密特数	Sc公司	0.6	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a）
化学反应常数	$λ^{2}$	5	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a,2013年b）
温度相对参数	$γ$	(0, 5)	Awad等人（2014）
活化能	E类	1	Makinde和Olanrewaju（2011）,马勒奎（2013年a）、和Awad等人（2014）
比奥数	Bi公司	(0.1, 100)	Uddin等人（2012年）,RamReddy等人（2013）、和Kameswaran等人（2013）
吸入/注入参数	${v（v）}_{0}$	(−3, 3)	Makinde和Olanrewaju（2011）和马利克（2013a）
稳定性参数	一个	(0, 1)	马勒奎（2013年a）
常数指数	n个	(−1, 1)	马勒奎（2013年a）和Awad等人（2014）

参数	符号	价值	来源
格拉肖夫数	希腊	(0.1, 5)	Makinde和Olanrewaju（2011）
雷诺数	重新	1	假设
浮力参数	编号	(0.3, 1.2)	Pal和Mondal（2011）
普朗特尔编号	公共关系	(6.8, 7.2)	Abbas等人（2016）
埃克特数	Ec公司	(0.1, 0.4)	Makanda等人（2013）
布朗运动参数	编号	0.5	Sithole等人（2018）
热电泳参数	编号	0.5	Sithole等人（2018）
施密特数	Sc公司	0.6	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a）
化学反应常数	$λ^{2}$	5	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a,2013年b）
温度相对参数	$γ$	(0, 5)	Awad等人（2014）
活化能	E类	1	Makinde和Olanrewaju（2011）,马勒奎（2013年a）、和Awad等人（2014）
比奥数	Bi公司	(0.1, 100)	Uddin等人（2012年）,RamReddy等人（2013）、和Kameswaran等人（2013）
吸入/注入参数	${v（v）}_{0}$	(−3, 3)	Makinde和Olanrewaju（2011）和马勒奎（2013年a）
稳定性参数	一个	(0, 1)	马勒奎（2013年a）
常数指数	n个	（−1，1）	马勒奎（2013年a）和Awad等人（2014）

非稳态参数一个在中进行调查图3通过绘制不同参数值的速度、温度和浓度剖面图。将非定常参数从稳定值0增加，导致边界层中的速度、温度和浓度降低。当流体从层流过渡到湍流时，速度、传热和传质都会降低。当前研究的结果与(马勒奎，2013年a)。浓度分布中的超调量可以归因于其他因素，而不是非稳定参数。通过比较不同非稳态参数值的曲线，分析了非稳态参数的影响。

图3

非稳定参数的影响一个.

我们注意到速度和温度不受大多数参数的影响，因此我们将重点放在与活化能和化学反应相关的参数上。不同参数对浓度分布的影响曲线如所示图4.活化能参数增加E类和热泳参数编号导致边界层化学物质浓度增加。热泳参数的观察结果与预期结果不一致。热电泳导致粒子从较热的区域净运动到较冷的区域。这在去除气流中的小颗粒和确定废气弹丸方面有应用。来自的结果马尔瓦迪和甘吉（2014）结果表明，纳米颗粒在冷壁上的浓度较高（纳米颗粒堆积），在绝热壁附近的浓度较低（纳米颗粒耗尽）。通过以下方法获得了类似的结果马尔瓦迪和甘吉（2014）who表明，微通道核心的纳米粒子浓度高于加热壁附近的浓度。在这项研究中，结果与预期结果相反，即浓度随着边界层中热泳参数值的增加而增加。这一观察可归因于热泳参数和活化能的混杂效应。热泳参数的增加与温度的增加有关图5这也与活化能增加有关，从而增加化学反应速度，导致边界层中的高浓度。类似的结果可以在Mabood、Khan和Ismail（2015）然而，增加常数指数n个，布朗运动参数编号和化学反应常数 $λ$ 导致边界层内化学物质的减少。这些结果与预期结果一致。布朗运动参数增加了分子的“犹豫不决”的随机运动。增加布朗运动会增加分子进出边界层和自由流的运动。由于自由流与边界层相比相对较大，一些进入自由流的分子可能不会“返回”到边界层，从而导致边界层中分子浓度的净下降。Brownian的类似结果由穆斯塔法、汗、哈亚特和阿尔塞迪（2017）和Mabood等人（2015）.

图4

不同参数的浓度曲线。

图5

埃克特数和热泳的温度曲线。

通过观察埃克特数变化时温度分布的变化来分析粘性耗散Ec公司在里面图5增加埃克特数会增加流体的温度，导致热边界层变厚，这与流体摩擦效应产生的热量一致。这些观察结果与文献中发现的一致，例如(Mahdy&Chamkha，2010年;Yazdi、Abdullah、Hashim和Sopian，2011年)。我们还观察到温度和热泳力之间的正相关性。提高流体温度将导致热泳参数增加。

我们分析了Biot数对温度和浓度的影响图6结果表明，增加比奥数将导致边界层温度和浓度的增加。因为我们考虑的是无限长的板，这意味着长度刻度足够长，以至于比奥数超过一。这意味着表面提供的热阻小于实心板内提供的热容。固体内部的温度梯度不再可以忽略，我们不能再假设固体内部温度恒定。这是因为板被加热以保持恒定的温度，但它在表面上不断被它所接触的流体冷却。热能从固体到流体的传递导致流体热能的增加，从而由于化学反应的增加而导致流体温度和化学物质浓度的增加。本研究中关于Biot数对浓度的影响的结果与以下结果一致Makinde和Aziz（2011年）他们表明，浓度随着比奥数的增加而增加。

图6

Biot数对温度和浓度分布的影响分析。

图7试图分析化学反应常数 $λ$ 通过在步长0.1中取0到1的值。结果表明，化学反应常数使边界层浓度呈非线性下降。Pal和Mondal（2012）对于这个参数也得出了类似的结论。对不同的布朗运动值进行了分析编号和热泳编号通过固定一个参数的值并分三步改变另一个参数（0.1、0.2和0.3）。当两者都编号和编号值为0.3，当两个参数的值均为0.1时最高。对于固定值编号（0.3）和变化编号浓度随着以下值的增加而增加编号这与之前关于热泳对浓度影响的观察结果一致。浓度随着编号和的固定值编号(0.1). 这也与之前对布朗运动对浓度的影响所做的观察一致。

图7

化学反应参数的影响分析(⁠ $λ$ ⁠)不同Nb和Nt值的浓度。

图8试图分析布朗运动参数和热泳参数不同值时，改变埃克特数对温度的影响。增加热泳参数会增加温度，而布朗运动对温度没有影响。这一观察结果与我们之前的观察结果一致，热泳力指向较低温度的方向，这将导致该区域的温度升高，而布朗运动是一个随机过程，与任何两个区域的温差无关，因此它不会影响温度。

图8

具有不同Nt和Nb的Eckert数的温度曲线。

7结论

在本文中，我们考虑了活化能、布朗运动和热泳作用对具有对流边界条件的二元化学非定常纳米流体的影响。采用适当的相似变换将控制非线性偏微分方程化简为二阶非线性常微分方程，并用谱拟线性化方法求解。进行了以下观察。

非定常参数一方面降低了流体的速度和温度，另一方面增加了边界层中化学物质的浓度。
活化能和热泳参数增加了边界层中化学物质的浓度，而布朗运动和化学反应常数降低了同一区域中化学物质浓度。
发现Eckert和热泳参数会增加流体的温度。

确认

这项工作得到了克劳德·莱昂基金会博士后奖学金和南非夸祖鲁-纳塔尔大学的支持。

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