第6.20节近似值

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§6.20（i）初等函数逼近

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黑斯廷斯(1955)给出了几个极小极大多项式和有理数近似值 $E_{1}\left(x\right)+\ln x$ , $xe^{x}E_{1}\left(x\right)$ 、和辅助功能 $\mathrm{f}\left(x\right)$ 和 $\mathrm{g}\left(x\right)$ 。这些都包括在内在里面阿布拉莫维茨和斯特根(1964，第5章）.
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科迪和撒切尔(1968)为以下项提供了极大极小有理逼近 $E_{1}\left(x\right)$ ，精度高达20S。
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科迪和撒切尔(1969)为以下项提供了极大极小有理逼近 $\operatorname{Ei}\left(x\right)$ ，精度高达20S。
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麦克劳德(1996年b)为正弦和余弦积分与辅助函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ ，精度高达20S。

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克伦肖(1962)给出了以下项的切比雪夫系数 $-E_{1}\left(x\right)-\ln|x|$ 对于 $-4\leq x\leq 4$ 和 $e^{x}E_{1}\left(x\right)$ 对于 $x\geq 4$ （20D）。
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卢克和温普(1963)封面 $\operatorname{Ei}\left(x\right)$ 对于 $x\leq-4$ （20D），以及 $\operatorname{Si}\left(x\right)$ 和 $\operatorname{Ci}\left(x\right)$ 对于 $x\geq 4$ （20D）。
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卢克(1969年b第41-42页）给出了切比雪夫展开式 $\operatorname{Ein}\left(ax\right)$ , $\operatorname{Si}\left(ax\right)$ 、和 $\operatorname{Cin}\left(ax\right)$ 对于 $-1\leq x\leq 1$ , $a\in\mathbb{C}$ 系数以贝塞尔级数表示功能。
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卢克(1969年b第321-322页）封面 $\operatorname{Ein}\left(x\right)$ 和 $-\operatorname{Ein}\left(-x\right)$ 对于 $0\leq x\leq 8$ （给出了切比雪夫系数至20D）； $E_{1}\left(x\right)$ 对于 $x\geq 5$ （20D），以及 $\operatorname{Ei}\left(x\right)$ 对于 $x\geq 8$ （15D）。第325–327页给出了正弦和余弦积分的系数。
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卢克(1969年b，第25页）给出了接近无穷大的切比雪夫展开式合流超几何 $U型$ -功能（§13.2（i）)来自切比雪夫展开接近无穷大 $E_{1}\left(z\right)$ , $\mathrm{f}\left(z\right)$ ,和 $\mathrm{g}\left(z\right)$ 然后使用(6.11.2)和(6.11.3). Luke还包括一个递归方案，用于计算展开式中的系数 $U型$ 功能。如果 $|\operatorname{ph}z|<\pi$ 该方案可用于反向。

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卢克(1969亿，第402、410和415–421页）给出主对角线Padé近似 $\operatorname{Ein}\left(z\right)$ , $\operatorname{Si}\left(z\right)$ , $\operatorname{Cin}\left(z\right)$ （在原点附近有效），以及 $E_{1}\left(z\right)$ （适用于大型 $|z|$ ); 近似对于以下选项给出了错误 $z（z）$ -值。
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卢克(1969年b第411-414页）给出有理逼近 $\operatorname{Ein}\left(z\right)$ .