§32.13偏微分方程的约化

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关键词：: 卓越的潘列维,应用,偏微分方程,偏微分方程的约化
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.13
另请参阅：: 的注释第32章

§32.13（i）Korteweg–de Vries和修正的Korteweg–de V ries方程

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关键词：: KdV方程,Korteweg–de Vries方程,潘列维超越,应用,改良Korteweg–de Vries方程式,修正的Korteweg–de Vries方程
笔记：: 请参见Ablowitz和Segur(1977).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.13.i
另请参阅：: 的注释§32.13和第32章

这个改良Korteweg–de Vries（mKdV）方程

32.13.1		$v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0,$
ⓘ 符号： $v(x,t)$ ：解决方案永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§32.13（i）,§32.13和第32章

具有缩放减少

32.13.2	$\displaystyle z$	$\displaystyle=x(3t)^{-1/3},$
32.13.2	$\displaystyle v(x,t)$	$\displaystyle=(3t)^{-1/3}w(z),$
ⓘ 符号： $z（z）$ ：真实和 $v(x,t)$ ：解决方案永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13E2 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参阅：的注释§32.13（i）,§32.13和第32章

哪里 $w(z)$ 满足 $\mbox{P}_{\mbox{\scriptsize II}}$ 带有 $\alpha$ 积分常数。

这个Korteweg–德弗里斯（KdV）方程

32.13.3		$u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0,$
ⓘ 符号： $u(x,t)$ ：解决方案参考人： §32.13（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§32.13（i）,§32.13和第32章

具有缩放减少

32.13.4	$\displaystyle z$	$\displaystyle=x(3t)^{-1/3},$
32.13.4	$\displaystyle u(x,t)$	$\displaystyle=-(3t)^{-2/3}(w^{\prime}+w^{2}),$
ⓘ 符号： $z（z）$ ：真实和 $u(x,t)$ ：解决方案永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13.E4 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参阅：的注释§32.13（i）,§32.13和第32章

哪里 $w(z)$ 满足 $\mbox{P}_{\mbox{\scriptsize II}}$ .

方程式(32.13.3)也有相似性降低

32.13.5	$\displaystyle z$	$\displaystyle=x+3\lambda t^{2},$
32.13.5	$\displaystyle u(x,t)$	$\displaystyle=W(z)-\lambda t,$
ⓘ 符号： $z（z）$ ：真实和 $u(x,t)$ ：解决方案永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13E5 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参阅：的注释§32.13（i）,§32.13和第32章

哪里 $\lambda$ 是一个任意常数，并且 $W(z)$ 可以表达为的解决方案 $\mbox{P}_{\mbox{\scriptsize I}}$ 。请参阅Fokas和Ablowitz(1982)和P.J.公司。奥尔弗(1993年b，第194页）.

§32.13（ii）Sine-Gordon方程

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关键词：: 潘列维超越,应用,sine-Gordon方程
笔记：: 请参见Ablowitz和Segur(1977).
参考人：: §32.11（v）,参考勘误表（V1.0.1）,其他勘误表（V1.0.7）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.13.ii
修正（适用于1.0.7）：: 参考Wong和Zhang(2009年a)之前在本小节中的位置不正确，已移至§末尾32.11（v）.
修正案（1.0.1生效）：: 本小节末尾添加了两条参考文献。
另请参阅：: 的注释§32.13和第32章

这个西内·戈登方程式

32.13.6		$u_{xt}=\sin u,$
ⓘ 符号： $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数和 $u(x,t)$ ：解决方案永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§32.13（ii）,§32.13和第32章

具有缩放减少

32.13.7	$\displaystyle z$	$\displaystyle=xt,$
32.13.7	$\displaystyle u(x,t)$	$\displaystyle=v(z),$
ⓘ 符号： $z（z）$ ：真实, $u(x,t)$ ：解决方案和 $v(z)$ ：解决方案永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13E7 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参阅：的注释§32.13（ii）,§32.13和第32章

哪里 $v(z)$ 满足(32.2.10)带有 $\alpha=\tfrac{1}{2}$ 和 $\gamma=0$ .如果 $w=\exp\left(-iv\right)$ ，然后 $w(z)$ 满足 $\mbox{P}_{\mbox{\scriptsize III}}$ 带有 $\alpha=-\beta=\tfrac{1}{2}$ 和 $\gamma=\delta=0$ .

另请参见Wong和Zhang(2009年b).

§32.13（iii）Boussinesq方程

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关键词：: Boussinesq方程,潘列维超越,应用,偏微分方程
笔记：: 请参见Ablowitz和Segur(1977).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.13.iii
另请参阅：: 的注释§32.13和第32章

这个布西内方程式

32.13.8		$u_{tt}=u_{xx}-6(u^{2})_{xx}+u_{xxxx},$
ⓘ 符号： $u(x,t)$ ：解决方案永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§32.13（iii）,§32.13和第32章

有行波解

32.13.9	$\displaystyle z$	$\displaystyle=x-ct,$
32.13.9	$\displaystyle u(x,t)$	$\displaystyle=v(z),$
ⓘ 符号： $z（z）$ ：真实, $u(x,t)$ ：解决方案, $c（c）$ ：常量和 $v(z)$ ：解决方案永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.13.E9 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参阅：的注释§32.13（iii）,§32.13和第32章

哪里 $c（c）$ 是一个任意常数，并且 $v(z)$ 满足

32.13.10		$v^{\prime\prime}=6v^{2}+(c^{2}-1)v+Az+B,$
ⓘ 符号： $z（z）$ ：真实, $c（c）$ ：常量, $v(z)$ ：解决方案, $A类$ ：积分常数和 $B类$ ：积分常数永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/32.13.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§32.13（iii）,§32.13和第32章

具有 $A类$ 和 $B类$ 积分常数。取决于是否 $A=0$ 或 $A\neq 0$ , $v(z)$ 可用Weierstrass椭圆函数表示(§23.2)或解决方案 $\mbox{P}_{\mbox{\scriptsize I}}$ 分别是。

32.12复变量的渐近逼近 32.14组合数学

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§32.13偏微分方程的约化

目录

§32.13（i）Korteweg–de Vries和修正的Korteweg–de V ries方程

§32.13（ii）Sine-Gordon方程

§32.13（iii）Boussinesq方程