§3.2线性代数

ⓘ

关键词：: 线性代数,矩阵
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.2
另请参阅：: 的注释第3章

§3.2（i）高斯消去

ⓘ

关键词：: 高斯消去,增强的,反向替换,因式分解,正向消除,矩阵,乘法器,三角分解
参考人：: §1.2（vi）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.2.i
另请参阅：: 的注释§3.2和第3章

解决系统问题

3.2.1		$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b},$
ⓘ 参考人： §3.2（iii）,§3.2（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（i）,§3.2和第3章

使用高斯消去法，其中 $\mathbf{A}$ 是非奇异的 $n\times n$ 矩阵和 $\mathbf{b}$ 是一个 $n\times 1$ 向量，我们从增广矩阵

3.2.2		$\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}&b_{n}\end{bmatrix}.$
ⓘ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（i）,§3.2和第3章

通过反复从后续行中减去每行的倍数，我们获得该形式的矩阵

3.2.3		$\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}&y_{1}\\ 0&u_{22}&\cdots&u_{2n}&y_{2}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&u_{nn}&y_{n}\end{bmatrix}.$
ⓘ 参考人： §3.2（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（i）,§3.2和第3章

在此还原过程中，我们存储乘法器 $\ell_{jk}$ 那个在每列中使用，以消除该列中的其他元素。这就产生了一下三角矩阵表单的

3.2.4		$\mathbf{L}=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\ \ell_{21}&1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \ell_{n1}&\cdots&\ell_{n,n-1}&1\end{bmatrix}.$
ⓘ 符号： $\ell_{jk}$ ：乘数参考人： §1.2（vi）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（i）,§3.2和第3章

如果我们用 $\mathbf{U}$ 上三角矩阵包括元素 $u_{jk}$ 英寸(3.2.3)，然后进行因子分解，或者三角分解,

3.2.5		$\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}.$
ⓘ 参考人： §3.2（i）,§3.2（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（i）,§3.2和第3章

使用 $\mathbf{y}=[y_{1},y_{2},\dots,y_{n}]^{\rm T}$ 溶液的过程可以然后被视为首先求解方程 $\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{b}$ 对于 $\mathbf{y}$ (向前地消除)，然后是 $\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 对于 $\mathbf{x}$ (反向替换).

有关更多详细信息，请参阅Golub和Van Loan(1996第87–100页）.

例子

ⓘ

关键词：: 高斯消去,乘法器,部分旋转,枢轴（或枢轴元素）
另请参阅：: 的注释§3.2（i）,§3.2和第3章

3.2.6		$\begin{bmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\\ 3&1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&5&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\ 0&-1&-5\\ 0&0&18\end{bmatrix}.$
ⓘ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（i）,§3.2（i）,§3.2和第3章

在解决中 $\mathbf{A}\mathbf{x}=[1,1,1]^{\rm T}$ ，我们通过转发获得消除 $\mathbf{y}=[1,-1,3]^{\rm T}$ 和通过回代 $\mathbf{x}=[\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{6}]^{\rm T}$ .

实际上，如果任何乘数 $\ell_{jk}$ 在量级与单位相比，则高斯消去是不稳定的。为了避免不稳定性在每个消除步骤中，行以这样的方式互换用作除数的元素的绝对值枢轴元件，不小于中其他可用元素的值它的列。然后 $\left|\ell_{jk}\right|\leq 1$ 在所有情况下。此修改是打电话部分旋转高斯消去.

有关旋转的详细信息，请参见Golub和Van Loan(1996第109-123页）.

迭代精化

ⓘ

关键词：: 高斯消去,迭代精化,剩余向量
另请参阅：: 的注释§3.2（i）,§3.2和第3章

当因子分解(3.2.5)可用计算的解决方案 $\mathbf{x}$ 可以用很少的额外计算来改进。由于舍入错误残差向量 $\mathbf{r}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}$ 通常为非零。我们解决系统问题 $\mathbf{A}\delta\mathbf{x}=\mathbf{r}$ 对于 $\delta\mathbf{x}$ ，利用现有的三角分解属于 $\mathbf{A}$ 以获得改进的解决方案 $\mathbf{x}+\delta\mathbf{x}$ .

§3.2（ii）三对角矩阵的高斯消去

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关键词：: 高斯消去,矩阵,对角,三对角系统
参考人：: §3.6（iv）,§3.7（iii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.2.ii
另请参阅：: 的注释§3.2和第3章

三对角矩阵只有非零元素出现在主对角线和两条相邻对角线上。因此

3.2.7		$\mathbf{A}=\begin{bmatrix}b_{1}&c_{1}&&&0\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&a_{n-1}&b_{n-1}&c_{n-1}\\ 0&&&a_{n}&b_{n}\end{bmatrix}.$
ⓘ 参考人： §1.2（vi）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（ii）,§3.2和第3章

假设 $\mathbf{A}$ 可以按以下方式计算(3.2.5)，但是没有部分旋转。然后

3.2.8		$\mathbf{L}=\begin{bmatrix}1&0&&&0\\ \ell_{2}&1&0&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&\ell_{n-1}&1&0\\ 0&&&\ell_{n}&1\end{bmatrix},$
ⓘ 定义： $\ell_{jk}$ ：的元素 $\mathbf{L}$ （本地）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（ii）,§3.2和第3章

3.2.9		$\mathbf{U}=\begin{bmatrix}d_{1}&u_{1}&&&0\\ 0&d_{2}&u_{2}&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&0&d_{n-1}&u_{n-1}\\ 0&&&0&d_{n}\end{bmatrix},$
ⓘ 定义： $u_{j}$ ：元素（本地）符号： $d_{j}$ ：系数永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（ii）,§3.2和第3章

哪里 $u_{j}=c_{j}$ , $j=1,2,\dots,n-1$ , $d_{1}=b_{1}$ 、和

3.2.10		$\displaystyle\ell_{j}$	$\displaystyle=a_{j}/d_{j-1},$
		$\displaystyle d_{j}$	$\displaystyle=b_{j}-\ell_{j}c_{j-1}$ ,
	$j=2,\dots,n$ .
ⓘ 定义： $d_{j}$ ：系数（局部）符号： $\ell_{jk}$ ：的元素 $\mathbf{L}$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E10 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参阅：的注释§3.2（ii）,§3.2和第3章

正向消去求解 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{f}$ 然后成为 $y_{1}=f_{1}$ ,

3.2.11		$y_{j}=f_{j}-\ell_{j}y_{j-1},$
$j=2,\dots,n$ ,
ⓘ 符号： $\ell_{jk}$ ：的元素 $\mathbf{L}$ 和 $f_{i}$ ：元素永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（ii）,§3.2和第3章

后面的替换是 $x_{n}=y_{n}/d_{n}$ ，后面是

3.2.12		$x_{j}=(y_{j}-u_{j}x_{j+1})/d_{j},$
$j=n-1,\dots,1$ .
ⓘ 符号： $u_{j}$ ：个元素和 $d_{j}$ ：系数永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（ii）,§3.2和第3章

有关求解三对角系统的详细信息，请参见Golub和Van Loan(1996第152-160页）.

§3.2（iii）线性系统的条件

ⓘ

关键词：: 欧几里得的,后部,条件编号,条件编号,线性系统的调节,误差界限,线性代数,矩阵,规范,任意顺序,矩阵的,向量的,矢量
参考人：: §1.2（vi）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.2.iii
另请参阅：: 的注释§3.2和第3章

这个 $第页$ -向量的范数 $\mathbf{x}=[x_{1},\dots,x_{n}]^{\rm T}$ 已给出通过

3.2.13		$\displaystyle\\|\mathbf{x}\\|_{p}$	$\displaystyle=\left(\sum_{j=1}^{n}{\left\|x_{j}\right\|}^{p}\right)^{1/p},$
	$p=1,2,\dots$ ,
		$\displaystyle\\|\mathbf{x}\\|_{\infty}$	$\displaystyle=\max_{1\leq j\leq n}\left\|x_{j}\right\|.$
ⓘ 参考人： §3.2（iv）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E13 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参阅：的注释§3.2（iii）,§3.2和第3章

这个欧几里德范数是这样的吗 $p=2$ .

这个 $第页$ -矩阵的范数 $\mathbf{A}=[a_{jk}]$ 是

3.2.14		$\\|\mathbf{A}\\|_{p}=\max_{\mathbf{x}\neq\boldsymbol{{0}}}\frac{\\|\mathbf{A}% \mathbf{x}\\|_{p}}{\\|\mathbf{x}\\|_{p}}\,.$
ⓘ 参考人： §3.2（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（iii）,§3.2和第3章

案例 $p=1,2$ 、和 $\infty$ 是最重要的：

3.2.15	$\displaystyle\\|\mathbf{A}\\|_{1}$	$\displaystyle=\max_{1\leq k\leq n}\sum_{j=1}^{n}\left\|a_{jk}\right\|,$
	$\displaystyle\\|\mathbf{A}\\|_{\infty}$	$\displaystyle=\max_{1\leq j\leq n}\sum_{k=1}^{n}\left\|a_{jk}\right\|,$
	$\displaystyle\\|\mathbf{A}\\|_{2}$	$\displaystyle=\sqrt{\rho(\mathbf{A}\mathbf{A}^{\rm T})},$
ⓘ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E15 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参阅：的注释§3.2（iii）,§3.2和第3章

哪里 $\rho(\mathbf{A}\mathbf{A}^{\rm T})$ 是绝对值中最大的矩阵特征值的值 $\mathbf{A}\mathbf{A}^{\rm T}$ ; 看见§3.2（iv）（我们假设矩阵 $\mathbf{A}$ 是真实的；如果没有 $\mathbf{A}^{\rm T}$ 被替换为 $\mathbf{A}^{\rm H}$ ，转置的复共轭 $\mathbf{A}$ .)

解向量的灵敏度 $\mathbf{x}$ 英寸(3.2.1)至矩阵中的小扰动 $\mathbf{A}$ 和向量 $\mathbf{b}$ 是由条件编号

3.2.16		$\kappa(\mathbf{A})=\\|\mathbf{A}\\|_{p}\;\\|\mathbf{A}^{-1}\\|_{p},$
ⓘ 定义： $\kappa(\mathbf{A})$ ：条件编号（本地）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E16 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（iii）,§3.2和第3章

哪里 $\|\,\cdot\,\|_{p}$ 是矩阵范数之一。对于任何规范(3.2.14)我们有 $\kappa(\mathbf{A})\geq 1$ 。越大价值 $\kappa(\mathbf{A})$ ，系统的状况就越糟糕。

让 $\mathbf{x}^{*}$ 表示系统的计算解(3.2.1)，使用 $\mathbf{r}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}^{*}$ 再次表示残留物。然后我们有了后部错误界限

3.2.17		$\frac{\\|\mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}\\|_{p}}{\\|\mathbf{x}\\|_{p}}\leq\kappa(\mathbf% {A})\frac{\\|\mathbf{r}\\|_{p}}{\\|\mathbf{b}\\|_{p}}.$
ⓘ 符号： $\kappa(\mathbf{A})$ ：条件编号永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E17 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（iii）,§3.2和第3章

有关更多信息，请参阅布雷津斯基(1999)和特雷费琴和鲍(1997，第3章）.

§3.2（iv）特征值和特征向量

ⓘ

关键词：: 特征,特征多项式,特征值,特征向量,左边,矩阵,多重性,无缺陷的,归一化的,多项式,正确的
笔记：: 请参见Young和Gregory(1988第741-743页）.
参考人：: §1.2（vi）,项目（d）,§3.2（iii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.2.iv
另请参阅：: 的注释§3.2和第3章

如果 $\mathbf{A}$ 是一个 $n\times n$ 矩阵，然后是实数或复数 $\lambda$ 被称为特征值属于 $\mathbf{A}$ ，和一个非零向量 $\mathbf{x}$ 对应的(正确的)特征向量，如果

3.2.18		$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}.$
ⓘ 符号： $\lambda$ ：特征值永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E18 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（iv）,§3.2和第3章

非零向量 $\mathbf{y}$ 称为左特征向量属于 $\mathbf{A}$ 对应于特征值 $\lambda$ 如果 $\mathbf{y}^{\rm T}\mathbf{A}=\lambda\mathbf{y}^{\rm T}$ 或者，同等地， $\mathbf{A}^{\rm T}\mathbf{y}=\lambda\mathbf{y}$ .A类归一化的特征向量具有欧氏范数1；比较(3.2.13)带有 $p=2$ .

多项式

3.2.19		$p_{n}(\lambda)=\det[\lambda\mathbf{I}-\mathbf{A}]$
ⓘ 符号： $\det$ ：行列式和 $\lambda$ ：特征值永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E19 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（iv）,§3.2和第3章

被称为特征多项式属于 $\mathbf{A}$ 及其零是的特征值 $\mathbf{A}$ . The多重性特征值的是其作为特征多项式零点的多重性(§3.8（i）). 到多重特征值 $米$ ，在那里符合 $米$ 线性无关的特征向量提供了 $\mathbf{A}$ 是无缺陷的也就是说， $\mathbf{A}$ 有一整套 $n个$ 线性地独立的特征向量。

§3.2（v）特征值条件

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关键词：: 条件编号,条件作用,特征值,线性代数,矩阵
笔记：: 请参见威尔金森(1988，第2章，§§8-10）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.2.v
另请参阅：: 的注释§3.2和第3章

如果 $\mathbf{A}$ 无缺陷且 $\lambda$ 是的简单零 $p_{n}(\lambda)$ ，然后是 $\lambda$ 到中的小扰动矩阵 $\mathbf{A}$ 由条件编号

3.2.20		$\kappa(\lambda)=\frac{1}{\left\|\mathbf{y}^{\rm T}\mathbf{x}\right\|},$
ⓘ 符号： $\kappa(\mathbf{A})$ ：条件编号和 $\lambda$ ：特征值永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E20 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（v）,§3.2和第3章

哪里 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 是标准化的左右的特征向量 $\mathbf{A}$ 对应于特征值 $\lambda$ .因为 $\left|\mathbf{y}^{\rm T}\mathbf{x}\right|=\left|\cos\theta\right|$ ，其中 $\theta$ 是之间的角度 $\mathbf{y}^{\rm T}$ 和 $\mathbf{x}$ 我们总是这样 $\kappa(\lambda)\geq 1$ .何时 $\mathbf{A}$ 是对称矩阵，左边和右特征向量重合，产生 $\kappa(\lambda)=1$ 、和计算其特征值是一个条件良好的问题。

§3.2（vi）对称矩阵的Lanczos三对角化

ⓘ

关键词：: 对称矩阵的Lanczos三对角化,Lanczos载体,矩阵,对称的,三对角化
笔记：: 请参见威尔金森(1988第394–395和423页）.
参考人：: §29.20（i）,§29.20（ii）,§3.5（vi）,§3.5（vi）,§3.7（iv）,§30.16（i）,分段勘误表（V1.1.0）3.2（vi）,分段勘误表（V1.1.3）3.2（vi）
永久链接：: 网址：http://dlmf.nist.gov/3.2.vi
添加（1.1.3生效）：: 下面添加了一段(3.2.23)处理案件属于 $\mathbf{S}$ -正交性。
澄清（自1.1.0起生效）：: 本小节的介绍性材料已经过改进，更加明确，即有人指出 $\mathbf{A}$ 是一个 $n\times n$ 对称矩阵， $\alpha_{1}=\mathbf{v}_{1}^{\rm T}\mathbf{A}\mathbf{v}_{1}$ 和 $\beta_{1}=0$ ;(3.2.21)已更新，以便 $\mathbf{v}_{j}^{\rm T}\mathbf{v}_{k}=\delta_{j,k}$ , $j,k=1,2,\ldots,n$ ;并且在小节末尾添加了一段关于Lanczos该方法与§3.5（v）.
另请参阅：: 的注释§3.2和第3章

让 $\mathbf{A}$ 成为 $n\times n$ 对称矩阵。定义Lanczos载体 $\mathbf{v}_{j}$ 和系数 $\alpha_{j}$ 和 $\beta_{j}$ 通过 $\mathbf{v}_{0}=\boldsymbol{{0}}$ ，标准化向量 $\mathbf{v}_{1}$ （可能是随机选择的）， $\alpha_{1}=\mathbf{v}_{1}^{\rm T}\mathbf{A}\mathbf{v}_{1}$ , $\beta_{1}=0$ 、和用于 $j=1,2,\ldots,n-1$ 通过递归方案

3.2.21	$\displaystyle\mathbf{u}$	$\displaystyle=\mathbf{A}\mathbf{v}_{j}-\alpha_{j}\mathbf{v}_{j}-\beta_{j}% \mathbf{v}_{j-1},$
	$\displaystyle\beta_{j+1}$	$\displaystyle=\left\\|\mathbf{u}\right\\|_{2},$
	$\displaystyle\mathbf{v}_{j+1}$	$\displaystyle=\mathbf{u}/\beta_{j+1},$
	$\displaystyle\alpha_{j+1}$	$\displaystyle=\mathbf{v}_{j+1}^{\rm T}\mathbf{A}\mathbf{v}_{j+1}.$
ⓘ 符号： $\alpha_{j}$ ：矩阵和 $\beta_{j}$ ：矩阵参考人： §3.2（vi）,§3.2（vi）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E21 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司,png公司修改（自1.1.0起生效）：该等式已被修改，以使用户更清楚地了解递归方案。另请参阅：的注释§3.2（vi）,§3.2和第3章

然后 $\mathbf{v}_{j}^{\rm T}\mathbf{v}_{k}=\delta_{j,k}$ , $j,k=1,2,\ldots,n$ .三对角矩阵

3.2.22		$\mathbf{B}=\begin{bmatrix}\alpha_{1}&\beta_{2}&&&0\\ \beta_{2}&\alpha_{2}&\beta_{3}&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&\beta_{n-1}&\alpha_{n-1}&\beta_{n}\\ 0&&&\beta_{n}&\alpha_{n}\end{bmatrix}$
ⓘ 符号： $\alpha_{j}$ ：矩阵和 $\beta_{j}$ ：矩阵参考人： §3.2（vi）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E22 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（vi）,§3.2和第3章

具有与相同的特征值 $\mathbf{A}$ 其特征多项式可以是从递归中获得

3.2.23		$p_{k+1}(\lambda)=(\lambda-\alpha_{k+1})p_{k}(\lambda)-\beta_{k+1}^{2}p_{k-1}(% \lambda),$
$k=0,1,\dots,n-1$ ,
ⓘ 定义： $p_{k}(\lambda)$ ：特征多项式（局部）符号： $\alpha_{j}$ ：矩阵, $\beta_{j}$ ：矩阵和 $\lambda$ ：特征值参考人： §3.2（vi）,§3.2（vi）,分段勘误表（V1.1.3）3.2（vi）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E23 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§3.2（vi）,§3.2和第3章

具有 $p_{-1}(\lambda)=0$ , $p_{0}(\lambda)=1$ .

在正交条件被替换为 $\mathbf{S}$ -正交性，即， $\mathbf{v}_{j}^{\rm T}\mathbf{S}\mathbf{v}_{k}=\delta_{j,k}$ , $j,k=1,2,\ldots,n$ ,关于某些正定矩阵 $\mathbf{S}$ 带有Cholesky分解 $\mathbf{S}=\mathbf{L}^{\rm T}\mathbf{L}$ ,然后细节更改如下。从开始 $\mathbf{v}_{0}=\boldsymbol{{0}}$ ，矢量 $\mathbf{v}_{1}$ 这样的话 $\mathbf{v}_{1}^{\rm T}\mathbf{S}\mathbf{v}_{1}=1$ , $\alpha_{1}=\mathbf{v}_{1}^{\rm T}\mathbf{A}\mathbf{v}_{1}$ , $\beta_{1}=0$ .然后针对 $j=1,2,\dots,n-1$

3.2.24	$\displaystyle\mathbf{u}$	$\displaystyle=\left(\mathbf{A}-\alpha_{j}\mathbf{S}\right)\mathbf{v}_{j}-\beta% _{j}\mathbf{S}\mathbf{v}_{j-1},$
	$\displaystyle\beta_{j+1}$	$\displaystyle=\left\\|\left(\mathbf{L}^{-1}\right)^{\rm T}\mathbf{u}\right\\|_{2},$
	$\displaystyle\mathbf{v}_{j+1}$	$\displaystyle=\ifrac{\mathbf{L}^{-1}\left(\mathbf{L}^{-1}\right)^{\rm T}% \mathbf{u}}{\beta_{j+1}},$
	$\displaystyle\alpha_{j+1}$	$\displaystyle=\mathbf{v}_{j+1}^{\rm T}\mathbf{A}\mathbf{v}_{j+1}.$
ⓘ 定义： $\alpha_{j}$ ：矩阵（局部）和 $\beta_{j}$ ：矩阵（局部）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E24 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司,png公司另请参阅：的注释§3.2（vi）,§3.2和第3章

有关更多详细信息，请参阅关等。(2007).

有关数字信息，请参见斯图尔特(2001第347-368页）.

Lanczos方法与§3.5（v）.当矩阵 $\mathbf{A}$ 被标量替换 $x个$ ，第一行中的递归关系第页，共页(3.2.21)带有 $\mathbf{u}=\beta_{j+1}\mathbf{v}_{j+1}$ 与中的类似(3.5.30_5). 此外(3.2.23)和(3.5.30)是类似，以及矩阵 $\mathbf{B}$ 英寸(3.2.22)和雅各比矩阵 $\mathbf{J}_{n}$ 英寸(3.5.31).

§3.2（vii）特征值计算

ⓘ

关键词：: 计算,特征值,线性代数,矩阵
参考人：: §1.2（vi）,§30.16（i）
永久链接：: 网址：http://dlmf.nist.gov/3.2.vii
另请参阅：: 的注释§3.2和第3章

计算特征值有许多方法；看见Golub和Van Loan(1996，第7、8章）,特雷费坦和鲍(1997，第5章）、和威尔金森(1988，第8、9章）.

3.1算术和误差度量 3.3插值

网站隐私无障碍隐私计划版权漏洞披露无恐惧法案政策《信息自由法》环境政策科学诚信信息质量标准商业.gov 科学.gov 美国.gov

3.2.13		$\displaystyle\\|\mathbf{x}\\|_{p}$	$\displaystyle=\left(\sum_{j=1}^{n}{\left\|x_{j}\right\|}^{p}\right)^{1/p},$
	$p=1,2,\dots$ ,
		$\displaystyle\\|\mathbf{x}\\|_{\infty}$	$\displaystyle=\max_{1\leq j\leq n}\left\|x_{j}\right\|.$
ⓘ 参考人： §3.2（iv）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E13 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参阅：的注释§3.2（iii）,§3.2和第3章

3.2.15	$\displaystyle\\|\mathbf{A}\\|_{1}$	$\displaystyle=\max_{1\leq k\leq n}\sum_{j=1}^{n}\left\|a_{jk}\right\|,$
	$\displaystyle\\|\mathbf{A}\\|_{\infty}$	$\displaystyle=\max_{1\leq j\leq n}\sum_{k=1}^{n}\left\|a_{jk}\right\|,$
	$\displaystyle\\|\mathbf{A}\\|_{2}$	$\displaystyle=\sqrt{\rho(\mathbf{A}\mathbf{A}^{\rm T})},$
ⓘ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.2.E15 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参阅：的注释§3.2（iii）,§3.2和第3章