§22.8加法定理

ⓘ

关键词：: 雅可比椭圆函数,加法定理
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/22.8
另请参见：: 的注释第22章

§22.8（i）两个参数之和

ⓘ

笔记：: 请参见劳登(1989，第33-36页）,沃克(1996第126–131页）,惠塔克和沃森(1927第494-498页）.
永久链接：: 网址：http://dlmf.nist.gov/22.8.i
另请参见：: 的注释§22.8和第22章

对于 $u,v\in\mathbb{C}$ ，和具有公共模量 $k个$ 抑制：

22.8.1	$\displaystyle\operatorname{sn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sn}u\operatorname{cn}v\operatorname{dn}v+% \operatorname{sn}v\operatorname{cn}u\operatorname{dn}u}{1-k^{2}{\operatorname{% sn}}^{2}u{\operatorname{sn}}^{2}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量 A&S参考： 16.17.1 参考人： §22.18（iv）永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.2	$\displaystyle\operatorname{cn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{cn}u\operatorname{cn}v-\operatorname{sn}u% \operatorname{dn}u\operatorname{sn}v\operatorname{dn}v}{1-k^{2}{\operatorname{% sn}}^{2}u{\operatorname{sn}}^{2}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量 A&S参考： 16.17.2 参考人： §22.6（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.3	$\displaystyle\operatorname{dn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{dn}u\operatorname{dn}v-k^{2}\operatorname{sn% }u\operatorname{cn}u\operatorname{sn}v\operatorname{cn}v}{1-k^{2}{% \operatorname{sn}}^{2}u{\operatorname{sn}}^{2}v}.$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量 A&S参考： 16.17.3 永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章

22.8.4		$\operatorname{cd}(u+v)=\frac{\operatorname{cd}u\operatorname{cd}v-{k^{\prime}}% ^{2}\operatorname{sd}u\operatorname{nd}u\operatorname{sd}v\operatorname{nd}v}{% 1+k^{2}{k^{\prime}}^{2}{\operatorname{sd}}^{2}u{\operatorname{sd}}^{2}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{nd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章

22.8.5	$\displaystyle\operatorname{sd}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sd}u\operatorname{cd}v\operatorname{nd}v+% \operatorname{sd}v\operatorname{cd}u\operatorname{nd}u}{1+k^{2}{k^{\prime}}^{2% }{\operatorname{sd}}^{2}u{\operatorname{sd}}^{2}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{nd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.6	$\displaystyle\operatorname{nd}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{nd}u\operatorname{nd}v+k^{2}\operatorname{sd% }u\operatorname{cd}u\operatorname{sd}v\operatorname{cd}v}{1+k^{2}{k^{\prime}}^% {2}{\operatorname{sd}}^{2}u{\operatorname{sd}}^{2}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{nd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sd}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.7	$\displaystyle\operatorname{dc}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{dc}u\operatorname{dc}v+{k^{\prime}}^{2}% \operatorname{sc}u\operatorname{nc}u\operatorname{sc}v\operatorname{nc}v}{1-{k% ^{\prime}}^{2}{\operatorname{sc}}^{2}u{\operatorname{sc}}^{2}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{dc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{nc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.8	$\displaystyle\operatorname{nc}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{nc}u\operatorname{nc}v+\operatorname{sc}u% \operatorname{dc}u\operatorname{sc}v\operatorname{dc}v}{1-{k^{\prime}}^{2}{% \operatorname{sc}}^{2}u{\operatorname{sc}}^{2}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{dc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{nc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.9	$\displaystyle\operatorname{sc}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sc}u\operatorname{dc}v\operatorname{nc}v+% \operatorname{sc}v\operatorname{dc}u\operatorname{nc}u}{1-{k^{\prime}}^{2}{% \operatorname{sc}}^{2}u{\operatorname{sc}}^{2}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{dc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{nc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sc}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.10	$\displaystyle\operatorname{ns}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{ns}u\operatorname{ds}v\operatorname{cs}v-% \operatorname{ns}v\operatorname{ds}u\operatorname{cs}u}{{\operatorname{cs}}^{2% }v-{\operatorname{cs}}^{2}u},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cs}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{ds}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{ns}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.11	$\displaystyle\operatorname{ds}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{ds}u\operatorname{cs}v\operatorname{ns}v-% \operatorname{ds}v\operatorname{cs}u\operatorname{ns}u}{{\operatorname{cs}}^{2% }v-{\operatorname{cs}}^{2}u},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cs}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{ds}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{ns}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章
22.8.12	$\displaystyle\operatorname{cs}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{cs}u\operatorname{ds}v\operatorname{ns}v-% \operatorname{cs}v\operatorname{ds}u\operatorname{ns}u}{{\operatorname{cs}}^{2% }v-{\operatorname{cs}}^{2}u}.$
ⓘ 符号： $\operatorname{cs}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{ds}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{ns}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（i）,§22.8和第22章

另请参见卡尔森(2004).

§22.8（ii）两个参数之和的替代形式

ⓘ

笔记：: 请参见劳登(1989，第33-36页，第43页）,惠塔克和沃森(1927第494-498页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/22.8.ii
另请参见：: 的注释§22.8和第22章

对于 $u,v\in\mathbb{C}$ ，和具有公共模量 $k个$ 抑制：

22.8.13	$\displaystyle\operatorname{sn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{{\operatorname{sn}}^{2}u-{\operatorname{sn}}^{2}v}{% \operatorname{sn}u\operatorname{cn}v\operatorname{dn}v-\operatorname{sn}v% \operatorname{cn}u\operatorname{dn}u},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（ii）,§22.8和第22章
22.8.14	$\displaystyle\operatorname{sn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sn}u\operatorname{cn}u\operatorname{dn}v+% \operatorname{sn}v\operatorname{cn}v\operatorname{dn}u}{\operatorname{cn}u% \operatorname{cn}v+\operatorname{sn}u\operatorname{dn}u\operatorname{sn}v% \operatorname{dn}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（ii）,§22.8和第22章
22.8.15	$\displaystyle\operatorname{cn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sn}u\operatorname{cn}u\operatorname{dn}v-% \operatorname{sn}v\operatorname{cn}v\operatorname{dn}u}{\operatorname{sn}u% \operatorname{cn}v\operatorname{dn}v-\operatorname{sn}v\operatorname{cn}u% \operatorname{dn}u},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E15 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（ii）,§22.8和第22章

22.8.16	$\displaystyle\operatorname{cn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{1-{\operatorname{sn}}^{2}u-{\operatorname{sn}}^{2}v+k^{2}{% \operatorname{sn}}^{2}u{\operatorname{sn}}^{2}v}{\operatorname{cn}u% \operatorname{cn}v+\operatorname{sn}u\operatorname{dn}u\operatorname{sn}v% \operatorname{dn}v},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E16 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（ii）,§22.8和第22章
22.8.17	$\displaystyle\operatorname{dn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sn}u\operatorname{cn}v\operatorname{dn}u-% \operatorname{sn}v\operatorname{cn}u\operatorname{dn}v}{\operatorname{sn}u% \operatorname{cn}v\operatorname{dn}v-\operatorname{sn}v\operatorname{cn}u% \operatorname{dn}u},$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E17 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（ii）,§22.8和第22章
22.8.18	$\displaystyle\operatorname{dn}(u+v)$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{cn}u\operatorname{dn}u\operatorname{cn}v% \operatorname{dn}v+{k^{\prime}}^{2}\operatorname{sn}u\operatorname{sn}v}{% \operatorname{cn}u\operatorname{cn}v+\operatorname{sn}u\operatorname{dn}u% \operatorname{sn}v\operatorname{dn}v}.$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $u个$ ：复杂, $v（v）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E18 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（ii）,§22.8和第22章

另请参见卡尔森(2004).

§22.8（iii）论点之间的特殊关系

ⓘ

关键词：: 雅可比椭圆函数,加法定理,多孔多边形构造,Poncelet的多孔多边形构造,变量的特殊值
笔记：: 请参见惠塔克和沃森(1927第530页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/22.8.iii
另请参见：: 的注释§22.8和第22章

在下列方程式中，公共模量 $k个$ 再次被抑制。

让

22.8.19		$z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=0.$
ⓘ 符号： $z（z）$ ：复杂永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E19 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

然后

22.8.20		$\begin{vmatrix}\operatorname{sn}z_{1}&\operatorname{cn}z_{1}&\operatorname{dn}% z_{1}&1\\ \operatorname{sn}z_{2}&\operatorname{cn}z_{2}&\operatorname{dn}z_{2}&1\\ \operatorname{sn}z_{3}&\operatorname{cn}z_{3}&\operatorname{dn}z_{3}&1\\ \operatorname{sn}z_{4}&\operatorname{cn}z_{4}&\operatorname{dn}z_{4}&1\end{% vmatrix}=0,$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\det$ ：行列式, $z（z）$ ：复杂和 $k个$ ：模量参考人： §22.8（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E20 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

和

22.8.21		${k^{\prime}}^{2}-{k^{\prime}}^{2}k^{2}\operatorname{sn}z_{1}\operatorname{sn}z% _{2}\operatorname{sn}z_{3}\operatorname{sn}z_{4}+k^{2}\operatorname{cn}z_{1}% \operatorname{cn}z_{2}\operatorname{cn}z_{3}\operatorname{cn}z_{4}-% \operatorname{dn}z_{1}\operatorname{dn}z_{2}\operatorname{dn}z_{3}% \operatorname{dn}z_{4}=0.$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $z（z）$ ：复杂, $k个$ ：模量和 $k^{\prime}$ ：互补模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E21 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

几何解释(22.8.20)类似于(23.10.5)在中给出惠塔克和沃森(1927第530页）.

接下来，让我们

22.8.22		$z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=2K\left(k\right).$
ⓘ 符号： $K\left(\NVar{k}\right)$ ：勒让德第一类完全椭圆积分, $z（z）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E22 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

然后

22.8.23		$\begin{vmatrix}\operatorname{sn}z_{1}\operatorname{cn}z_{1}&\operatorname{cn}z% _{1}\operatorname{dn}z_{1}&\operatorname{cn}z_{1}&\operatorname{dn}z_{1}\\ \operatorname{sn}z_{2}\operatorname{cn}z_{2}&\operatorname{cn}z_{2}% \operatorname{dn}z_{2}&\operatorname{cn}z_{2}&\operatorname{dn}z_{2}\\ \operatorname{sn}z_{3}\operatorname{cn}z_{3}&\operatorname{cn}z_{3}% \operatorname{dn}z_{3}&\operatorname{cn}z_{3}&\operatorname{dn}z_{3}\\ \operatorname{sn}z_{4}\operatorname{cn}z_{4}&\operatorname{cn}z_{4}% \operatorname{dn}z_{4}&\operatorname{cn}z_{4}&\operatorname{dn}z_{4}\end{% vmatrix}=0.$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $\det$ ：行列式, $z（z）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E23 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

有关这些标识和相关标识，请参见科普森(1935第415-416页）.

如果 $z_{j}$ 的是的理性倍数 $K\left(k\right)$ 然后进一步建立关系。例如，如果

22.8.24		$z_{1}-z_{2}=z_{2}-z_{3}=\tfrac{2}{3}K\left(k\right),$
ⓘ 符号： $K\left(\NVar{k}\right)$ ：勒让德第一类完全椭圆积分, $z（z）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E24 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

然后

22.8.25		$\frac{(\operatorname{dn}z_{2}+\operatorname{dn}z_{3})(\operatorname{dn}z_{3}+% \operatorname{dn}z_{1})(\operatorname{dn}z_{1}+\operatorname{dn}z_{2})}{% \operatorname{dn}z_{1}+\operatorname{dn}z_{2}+\operatorname{dn}z_{3}}$
ⓘ 符号： $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $z（z）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E25 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

独立于 $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ 类似地，如果

22.8.26		$z_{1}-z_{2}=z_{2}-z_{3}=z_{3}-z_{4}=\tfrac{1}{2}K\left(k\right),$
ⓘ 符号： $K\left(\NVar{k}\right)$ ：勒让德第一类完全椭圆积分, $z（z）$ ：复杂和 $k个$ ：模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E26 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

然后

22.8.27		$\operatorname{dn}z_{1}\operatorname{dn}z_{3}=\operatorname{dn}z_{2}% \operatorname{dn}z_{4}=k^{\prime}.$
ⓘ 符号： $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $z（z）$ ：复杂, $k个$ ：模量和 $k^{\prime}$ ：互补模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.8.E27 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.8（iii）,§22.8和第22章

格林希尔(1959第121-130页）从以下方面审查这些结果几何的多孔多边形Poncelet的结构。概括§22.9.

22.7Landen变换 22.9循环标识

网站隐私无障碍隐私计划版权漏洞披露无恐惧法案政策《信息自由法》环境政策科学诚信信息质量标准商业.gov 科学.gov 美国.gov

§22.8加法定理

目录

§22.8（i）两个参数之和

§22.8（ii）两个参数之和的替代形式

§22.8（iii）论点之间的特殊关系