§22.19物理应用程序

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引用人：: §22.1
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/22.19
另请参见：: 的注释第22章

§22.19（i）经典动力学：摆

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关键词：: 雅可比椭圆函数,振幅( $\operatorname{am}$ )功能,应用,钟摆,身体的
笔记：: 请参见劳登(1989第114-117页）.图22.19.1是由NIST生产。
参考人：: 分段勘误表（V1.0.8）9.6（三）,22.19（i）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/22.19.i
添加（适用于1.0.8）：: 描述如下22.19.2已扩展。
W.Reinhardt建议2014-04-22
另请参见：: 的注释§22.19和第22章

在适当的尺度下，牛顿摆的运动方程重力场中的质量被约束在垂直平面内移动与支点的固定距离为

22.19.1		$\frac{{\mathrm{d}}^{2}\theta(t)}{{\mathrm{d}t}^{2}}=-\sin\theta(t),$
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数和 $\theta(t)$ ：角位移参考人： §22.19（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.19（i）,§22.19和第22章

$\theta$ 是从稳定平衡点的角位移， $\theta=0$ .有界 $(-\pi\leq\theta\leq\pi)$ 振动解(22.19.1)传统上写的

22.19.2		$\sin\left(\tfrac{1}{2}\theta(t)\right)=\sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right)% \operatorname{sn}\left(t+K,\sin\left(\tfrac{1}{2}\alpha\right)\right),$
ⓘ 符号： $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $K\left(\NVar{k}\right)$ ：勒让德第一类完全椭圆积分, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $\theta(t)$ ：角位移和 $\alpha$ ：初始位移引用人： §22.19（i）,§22.19（i）,方程式的勘误表（V1.0.8）(22.19.2) 永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司勘误表（从1.0.8开始生效）：最初是函数的第一个参数 $\operatorname{sn}$ 给出的信息不正确作为 $t吨$ 。正确的参数是 $t+K$ . Svante Janson于2014年3月5日报道另请参见：的注释§22.19（i）,§22.19和第22章

对于初始角位移 $\alpha$ ，使用 $\ifrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0$ 在时间 $0$ ; 看见劳登(1989第114-117页）。期限为 $4K\left(\sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right)$ .周期性和对称性摆意味着每四个物体的运动间隔 $\theta\in(0,\pm\alpha)$ 和 $\theta\in(\pm\alpha,0)$ 具有相同的“季度周期” $K=K\left(\sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right)$ 因此，偏移量 $t+K$ 在里面22.19.2当运动开始时 $\theta(0)=\alpha$ ，而不是 $\theta(0)=0$ 如中所示22.19.3,如下所示。角度 $\alpha=\pi$ 是一个分隔线,分离振荡运动和无边界运动。用同样的初始条件下，如果重力符号反转，则新周期为 $4{K^{\prime}}\left(\sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right)$ ; 看见惠塔克(1964, §44).

或者，萨拉(1989)写入：

22.19.3		$\theta(t)=2\operatorname{am}\left(t\sqrt{E/2},\sqrt{2/E}\right),$
ⓘ 符号： $\operatorname{am}\left(\NVar{x},\NVar{k}\right)$ ：雅可比振幅函数, $\theta(t)$ ：角位移和 $E类$ ：能源参考人： §22.19（i）,§22.19（i）,方程式的勘误表（V1.0.8）(22.19.3) 永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司勘误表（有效期为1.0.8）：最初是函数的第一个参数 $\operatorname{am}$ 给出的信息不正确作为 $t吨$ 。正确的参数是 $t\sqrt{E/2}$ . Svante Janson于2014年3月5日报道另请参见：的注释§22.19（i）,§22.19和第22章

对于初始条件 $\theta(0)=0$ ，稳定平衡点 $E=0$ 、和 $\ifrac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2E}$ .在这里 $E=\frac{1}{2}(\ifrac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t})^{2}+1-\cos\theta(t)$ 是能量，这是运动的第一积分。这个公式给出了相同的有界和无界解公式(22.19.3)，用于 $k\geq 1$ 和 $k\leq 1$ 分别是。也， $\theta(t)$ 不限于主要范围 $-\pi\leq\theta\leq\pi$ .图22.19.1显示了解决方案的性质 $\theta(t)$ 第页，共页(22.19.3)通过绘图 $\operatorname{am}\left(x,k\right)$ 对于两者 $0\leq k\leq 1$ ，如图所示22.16.1、和 $k\geq 1$ ，在哪里是周期性的。

见随附文本 — 图22.19.1：雅可比振幅函数 $\operatorname{am}\left(x,k\right)$ 对于 $0\leq x\leq 10\pi$ 和 $k=0.5,0.9999,1.0001,2$ .什么时候？ $k<1$ , $\operatorname{am}\left(x,k\right)$ 单调递增表示摆的运动是无限的 $\theta$ ,对应于围绕支点的自由旋转；比较图22.16.1.作为 $k\to 1-$ ，高原被视为运动接近分隔线，其中 $\theta=n\pi$ , $n=\pm 1,\pm 2,\ldots$ ，此时运动是时间独立于 $k=1$ 这对应于摆处于不稳定平衡点的“倒置”。对于 $k>1$ ，运动是周期性的 $x个$ ，对应于有界振荡运动。放大

§22.19（ii）经典动力学：四次振子

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关键词：: 雅可比椭圆函数,四次振荡器
笔记：: 请参见劳登(1989第117-119页）.
参考人：: §23.21（i）,段落勘误表（V1.0.9）案例三： $V(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}\beta x^{4}$ （在§22.19（ii）)
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/22.19.ii
另请参见：: 的注释§22.19和第22章

一维经典运动由牛顿方程描述

22.19.4		$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x(t)}{{\mathrm{d}t}^{2}}=-\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{% d}x},$
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $V(x)$ ：势能, $x(t)$ ：坐标和 $t吨$ ：time（时间）永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E4 编码： TeX公司,pMML公司,png公司另请参见：的注释§22.19（ii）,§22.19和第22章

哪里 $V(x)$ 是势能，并且 $x(t)$ 是作为时间的函数 $t吨$ .潜力

22.19.5		$V(x)=\pm\tfrac{1}{2}x^{2}\pm\tfrac{1}{4}\beta x^{4}$
ⓘ 符号： $V(x)$ ：势能, $x(t)$ ：坐标和 $\beta$ ：实际正永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.19（ii）,§22.19和第22章

在经典力学中扮演原型角色(劳登(1989, §5.2))，量子力学(舒尔曼(1981，第29章）)和量子场论(波科尔斯基(1987，第203页）,帕里西(1988, §14.6)). 它纯虚时间的动力学与瞬子理论有关(Itzykson和Zuber(1980第572页）,Schäfer和Shuryak(1998))WKB理论，以及大阶摄动理论(本德和吴(1973),西蒙(1982)).

对于 $\beta$ 真实和积极，四种可能的符号组合中的三种引起有界振荡运动。我们考虑粒子的情况质量1，最初在位移时保持静止 $一$ 从原点开始，然后在时间发布 $t=0$ .随时间变化的后续位置， $x(t)$ ，对于这三种情况，给出的结果表示为 $一$ 和无量纲参数 $\eta=\frac{1}{2}\beta a^{2}$ .

案例一： $V(x)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}\beta x^{4}$

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关键词：: 达芬方程,雅可比椭圆函数
另请参见：: 的注释§22.19（ii）,§22.19和第22章

这是一个示例达芬方程; 看见阿伯洛维茨和克拉克森(1991第150–152页）和劳登(1989第117-119页）。随后的时间演变总是随周期振荡 $4K\left(k\right)/\sqrt{1+2\eta}$ 和模量 $k=1/\sqrt{2+\eta^{-1}}$ :

22.19.6		$x(t)=a\operatorname{cn}\left(t\sqrt{1+2\eta},k\right).$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $k$ ：模量, $x(t)$ ：坐标, $t吨$ ：time（时间）, $一$ ：位移和 $\eta$ ：参数参考人：方程式的勘误表（V1.0.9）(22.19.6),方程式的勘误表（V1.0.9）(22.19.6), (22.19.7), (22.19.8),(22.19.9) 永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司勘误表（有效期为1.0.9）：最初是术语 $\sqrt{1+2\eta}$ 错误地给出为 $\sqrt{1+\eta}$ 在这个等式和上面的直线中。此外，为了提高清晰度，模量 $k$ 已在上面的行中定义。以前 $1/\sqrt{2+\eta^{-1}}$ 在方程式中明确给出。 Svante Janson于2014年4月28日报道另请参见：的注释§22.19（ii）,§22.19（ii）,§22.19和第22章

案例二： $V(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}\beta x^{4}$

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另请参见：: 的注释§22.19（ii）,§22.19和第22章

附近存在有界振荡运动 $x=0$ ，带句点 $4K\left(k\right)/\sqrt{1-\eta}$ 、和模量 $k=1/\sqrt{\eta^{-1}-1}$ ，对于初始位移 $|a|\leq\sqrt{1/\beta}$ .

22.19.7		$x(t)=a\operatorname{sn}\left(t\sqrt{1-\eta},k\right).$
ⓘ 符号： $\operatorname{sn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $k$ ：模量, $x(t)$ ：坐标, $t吨$ ：time（时间）, $一$ ：位移和 $\eta$ ：参数引用人：方程式的勘误表（V1.0.9）(22.19.6), (22.19.7), (22.19.8),(22.19.9) 永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司澄清（有效期为1.0.9）：为了增加清晰度，模量 $k$ 已在上面的行中定义。以前 $1/\sqrt{\eta^{-1}-1}$ 在方程式中明确给出。另请参见：的注释§22.19（ii）,§22.19（ii）,§22.19和第22章

作为 $a\to\sqrt{1/\beta}$ 从下到下，周期从 $a=\pm\sqrt{1/\beta}$ 是不稳定平衡点。

案例三： $V(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}\beta x^{4}$

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参考人：: 段落勘误表（V1.0.9）案例三： $V(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}\beta x^{4}$ （在§22.19（二）)
勘误表（有效期为1.0.9）：: 本段作了两处更正。首先，初始位移的正确范围 $一$ 是 $\sqrt{1/\beta}\leq|a|<\sqrt{2/\beta}$ .以前是 $\sqrt{1/\beta}\leq|a|\leq\sqrt{2/\beta}$ .其次，正确的振荡周期为 $2K\left(k\right)/\sqrt{\eta}$ .以前它被错误地指定为 $4K\left(k\right)/\sqrt{\eta}$ .
Svante Janson于2014年4月28日报道
勘误表（从1.0.9开始生效）：: 为了提高清晰度，模数 $k$ 已在上面的行中定义。以前 $1/\sqrt{2-\eta^{-1}}$ 在方程式中明确给出。
Svante Janson于2014年4月28日报道
另请参见：: 的注释§22.19（ii）,§22.19和第22章

可能有两种类型的振荡运动。对于初始位移 $\sqrt{1/\beta}\leq|a|<\sqrt{2/\beta}$ ，发生有界振荡两个稳定平衡点之一附近 $x=\pm\sqrt{1/\beta}$ .这种周期振荡 $2K\left(k\right)/\sqrt{\eta}$ ，具有模量 $k=1/\sqrt{2-\eta^{-1}}$ 由以下人员提供：

22.19.8		$x(t)=a\operatorname{dn}\left(t\sqrt{\eta},k\right).$
ⓘ 符号： $\operatorname{dn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $k$ ：模量, $x(t)$ ：坐标, $t吨$ ：time（时间）, $一$ ：位移和 $\eta$ ：参数引用人：方程式的勘误表（V1.0.9）(22.19.6), (22.19.7), (22.19.8),(22.19.9) 永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§22.19（ii）,§22.19（ii）,§22.19和第22章

作为 $a\to\sqrt{2/\beta}$ 从下到下，周期从 $x=0$ 是一个不稳定平衡点。对于初始位移 $|a|\geq\sqrt{2/\beta}$ 运动延伸到整个范围 $-a\leq x\leq a$ :

22.19.9		$x(t)=a\operatorname{cn}\left(t\sqrt{2\eta-1},k\right),$
ⓘ 符号： $\operatorname{cn}\left(\NVar{z},\NVar{k}\right)$ ：雅可比椭圆函数, $k$ ：模量, $x(t)$ ：坐标, $t吨$ ：time（时间）, $一$ ：位移和 $\eta$ ：参数参考人：方程式的勘误表（V1.0.9）(22.19.6), (22.19.7), (22.19.8),(22.19.9) 永久链接： http://dlmf.nist.gov/22.19.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司澄清（有效期为1.0.9）：为了增加清晰度，模量 $k$ 已在下面的行中定义。以前 $1/\sqrt{2-\eta^{-1}}$ 在方程式中明确给出。另请参见：的注释§22.19（ii）,§22.19（ii）,§22.19和第22章

带有句点 $4K\left(k\right)/\sqrt{2\eta-1}$ 和模量 $k=1/\sqrt{2-\eta^{-1}}$ .作为 $\left|a\right|\to\sqrt{1/\beta}$ 从上面看，周期再次偏离。两个 $\operatorname{dn}$ 和 $\operatorname{cn}$ 解决方案方法 $a\operatorname{sech}t$ 作为 $a\to\sqrt{2/\beta}$ 来自适当的指示。

§22.19（iii）非线性常微分方程和偏微分方程

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关键词：: 雅可比椭圆函数,KdV方程,Korteweg–de Vries方程,薛定谔方程,非线性,非线性常微分方程,非线性偏微分方程,sine-Gordon方程,孤子
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/22.19.iii
另请参见：: 的注释§22.19和第22章

许多非线性常微分方程和偏微分方程的解可以用雅可比椭圆函数表示。这些包括与时间相关、与时间无关的非线性薛定谔方程（NLSE）(德拉津和约翰逊(1993，第2章）,阿伯洛维茨和克拉克森(1991第42、99页）)，的Korteweg–de Vries（KdV）方程(克鲁斯卡尔(1974),Li和Olver(2000))sine-Gordon方程等；看见Drazin和Johnson(1993，第2章）以获取概述。此类解决方案包括驻波或驻波、周期椭圆余弦波和单波在各种物理情况下发生的多政治，如水波，光脉冲、量子流体和电脉冲(长谷川(1989),卡尔等。(2000),Kivshar和Luther Davies(1998)、和博伊德(1998，附录D2.2）).

§22.19（iv）最上等的

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关键词：: 雅可比椭圆或超椭圆积分,超椭圆函数,最上等的
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/22.19.iv
另请参见：: 的注释§22.19和第22章

刚体在自由空间或围绕固定点的经典旋转可以用椭圆描述，或超椭圆，如果运动是可积的(奥丁(1999，第1章）). 超椭圆功能 $u(z)$ 是方程的解 $z=\int_{0}^{u}(f(x))^{-1/2}\,\mathrm{d}x$ ,哪里 $f(x)$ 是大于4的多项式。初步讨论此主题出现在劳登(1989, §5.7),格林希尔(1959第101-103页）、和惠塔克(1964，第六章）。更抽象的概述是奥丁(1999，第三章和第四章），并对椭圆和超椭圆情形的解析解出现在格鲁别夫(1960，第五章和第七章），原始超椭圆调查是由于科瓦列夫斯基(1889).