§19.14一般椭圆积分的约化

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关键词：: 勒让德椭圆积分,一般椭圆积分,一般椭圆积分的约简,勒让德椭圆积分的简化
参考人：: §23.6（iv）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/19.14
另请参见：: 的注释第19章

§19.14（i）示例

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笔记：: 关于前三个积分，请参见卡泽纳夫(1969第286276页）.对于(19.14.4)使用(19.29.19)和(19.25.24).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/19.14.i
另请参见：: 的注释§19.14和第19章

在(19.14.1)——(19.14.3)被积函数和 $\cos\phi$ 假设为非负。其中的案例 $\cos\phi<0$ 可以通过应用(19.2.10).

19.14.1条	$\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{\,\mathrm{d}t}{\sqrt{t^{3}-1}}$	$\displaystyle=3^{-1/4}F\left(\phi,k\right),$
$\cos\phi=\dfrac{\sqrt{3}+1-x}{\sqrt{3}-1+x}$ , $k^{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$ .
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $F\left(\NVar{\phi},\NVar{k}\right)$ ：勒让德第一类不完全椭圆积分, $\int$ ：积分, $\phi$ ：实数或复杂参数和 $k个$ ：实模量或复模量参考人： §19.14（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,§19.14和第19章
19.14.2条	$\displaystyle\int_{x}^{1}\frac{\,\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^{3}}}$	$\displaystyle=3^{-1/4}F\left(\phi,k\right),$
$\cos\phi=\dfrac{\sqrt{3}-1+x}{\sqrt{3}+1-x}$ , $k^{2}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$ .
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $F\left(\NVar{\phi},\NVar{k}\right)$ ：勒让德第一类不完全椭圆积分, $\int$ ：积分, $\phi$ ：实数或复杂参数和 $k个$ ：实模量或复模量永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,§19.14和第19章
19.14.3	$\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{\,\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^{4}}}$	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sign}\left(x\right)}{2}F\left(\phi,k\right),$
$\cos\phi=\dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ , $k^{2}=\dfrac{1}{2}$ .
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $F\left(\NVar{\phi},\NVar{k}\right)$ ：第一类勒让德不完全椭圆积分, $\int$ ：积分, $\operatorname{sign}\NVar{x}$ ：的符号, $\phi$ ：实数或复杂参数和 $k个$ ：实模量或复模量参考人： §19.14（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,第19.14节和第19章

19.14.4		${\int_{y}^{x}\frac{\,\mathrm{d}t}{\sqrt{(a_{1}+b_{1}t^{2})(a_{2}+b_{2}t^{2})}}% =\frac{1}{\sqrt{\gamma-\alpha}}F\left(\phi,k\right)},$
$k^{2}=\ifrac{(\gamma-\beta)}{(\gamma-\alpha)}$ .
ⓘ 符号： $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $F\left(\NVar{\phi},\NVar{k}\right)$ ：勒让德第一类不完全椭圆积分, $\int$ ：积分, $\phi$ ：实数或复杂参数和 $k个$ ：实模量或复模量参考人： §19.14（i）,§19.14（i）,§19.14（i）,§19.15,§19.29（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,§19.14和第19章

在(19.14.4) $0\leq y<x$ ，每个二次多项式为正关于区间 $(y,x)$ 、和 $\alpha,\beta,\gamma$ 是的排列 $0,a_{1}b_{2},a_{2}b_{1}$ （假设并非全部为0）这样 $\alpha\leq\beta\leq\gamma$ 。更一般地说，在(19.14.4),

19.14.5条		${\sin}^{2}\phi=\frac{\gamma-\alpha}{U^{2}+\gamma},$
ⓘ 符号： $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数和 $\phi$ ：实数或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,§19.14和第19章

哪里

19.14.6		$(x^{2}-y^{2})U=x\sqrt{(a_{1}+b_{1}y^{2})(a_{2}+b_{2}y^{2})}+y\sqrt{(a_{1}+b_{1% }x^{2})(a_{2}+b_{2}x^{2})}.$
ⓘ 参考人： §19.14（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,§19.14和第19章

以下是四种重要的特殊情况(19.14.4)——(19.14.6),如下所示。如果 $y=0$ ，然后

19.14.7条		${\sin}^{2}\phi=\frac{(\gamma-\alpha)x^{2}}{a_{1}a_{2}+\gamma x^{2}}.$
ⓘ 符号： $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数和 $\phi$ ：实数或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,§19.14和第19章

如果 $x=\infty$ ，然后

19.14.8		${\sin}^{2}\phi=\frac{\gamma-\alpha}{b_{1}b_{2}y^{2}+\gamma}.$
ⓘ 符号： $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数和 $\phi$ ：实数或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,第19.14节和第19章

如果 $a_{1}+b_{1}y^{2}=0$ ，然后

19.14.9		${\sin}^{2}\phi=\frac{(\gamma-\alpha)(x^{2}-y^{2})}{\gamma(x^{2}-y^{2})-a_{1}(a% _{2}+b_{2}x^{2})}.$
ⓘ 符号： $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数和 $\phi$ ：实数或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,§19.14和第19章

如果 $a_{1}+b_{1}x^{2}=0$ ，然后

19.14.10年10月19日		${\sin}^{2}\phi=\frac{(\gamma-\alpha)(y^{2}-x^{2})}{\gamma(y^{2}-x^{2})-a_{1}(a% _{2}+b_{2}y^{2})}.$
ⓘ 符号： $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数和 $\phi$ ：实数或复杂参数参考人： §19.15,§19.29（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/19.14.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§19.14（i）,§19.14和第19章

（这四种情况包括12个积分阿布拉莫维茨和斯特根(1964第596页）.)

§19.14（ii）一般情况

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关键词：: 勒让德椭圆积分,一般椭圆积分,一般椭圆积分的约简,勒让德椭圆积分的约化
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/19.14.ii
另请参见：: 的注释§19.14和第19章

勒让德（1825-1832）证明了每个椭圆积分都可以表示根据中的三个积分(19.1.2)由补充代数函数、对数函数和三角函数。经典方法减少(19.2.3)勒让德积分有很多描述地方，尤其是埃尔德莱伊等。(1953年b, §13.5),阿布拉莫维茨和斯特根(1964，第17章）、和Labahn和Mutrie(1997, §3). The最后一篇参考文献清楚地总结了涉及线性的各个步骤分数变换、部分分数分解和递推关系。然后，它通过首先应用Hermite改进了经典方法减少到(19.2.3)不需要多重就可以得到被积函数极点和使用隐式全部分分数分解和隐式根通过代数扩展最小化计算。21人中的选择最终归约到勒让德范式的变换取决于涉及积分极限和立方或立方零点的不等式四次多项式。类似的注释适用于中给出的转换埃尔德莱伊等。(1953年b, §13.5)以及在明确削减中的选择在伯德和弗里德曼(1971)，其中一个限制为积分被假定为被积函数的分支点积分收敛。如果从间隔积分（例如，如果被积函数为 $(t(3-t)(4-t))^{-3/2}$ 和区间为[1,2]），则使用此假设的任何方法都不会成功。

19.13椭圆积分的积分 19.15对称性的优点

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