§18.9递归关系和导数

ⓘ

参考人：: 勘误表（V1.2.0）部分18.9
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.9
另请参见：: 的注释第18章

§18.9（i）重复关系

ⓘ

关键词：: 经典正交多项式，递归关系
笔记：: 对于(第18.9.1条), (18.9.2)参见塞格（Szeg）(1975, (4.5.1)).对于表格18.9.1，第2、9、10行，请参阅塞格（Szeg）(1975, (4.7.17), (5.1.10), (5.5.8))分别为；第3行和第4行是中初等三角恒等式的重写的视图(18.5.1), (18.5.2);第7行是特例 $\alpha=\beta=0$ 属于(第18.9.2条).
引用人：: §1.10（xi），§18.5（iv），其他勘误表（V1.0.7），勘误表（V1.2.0）剖面18.9
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.9.i
添加（根据1.2.0生效）：: 方程式(18.9.2_1), (18.9.2_2)和表18.9.2已添加。
添加（适用于1.0.7）：: 初始值 $p_{0}(x)$ 和 $p_{1}(x)$ 添加了一般递归关系就系数而言 $A_{0}$ 和 $B_{0}$ ，并且这些系数已明确为本小节中的雅可比多项式指定。
Christopher Gilbreth建议2013-06-24
另请参见：: 的注释§18.9和第18章

§的注释18.2（iv）将使用。

第一个表单

ⓘ

关键词：: 雅可比多项式，经典正交多项式，递归关系
添加（根据1.2.0生效）：: 增加了这一段。
另请参见：: 的注释§18.9（i），§18.9和第18章

第18.9.1条		$p_{n+1}(x)=(A_{n}x+B_{n})p_{n}(x)-C_{n}p_{n-1}(x),$
ⓘ 定义： $A_{n}$ ：系数（局部）， $B_{n}$ ：系数（局部）和 $C_{n}$ ：系数（局部）符号： $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii），表18.9.1，§18.9（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E1 编码： TeX公司，pMML公司，png公司另请参见：的注释§18.9（i），§18.9（i），§18.9和第18章

具有初始值 $p_{0}(x)=1$ 和 $p_{1}(x)=A_{0}x+B_{0}$ .

对于 $p_{n}(x)=P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(x\right)$ ，

第18.9.2条	$\displaystyle A_{n}$	$\displaystyle=\dfrac{(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2)}{2(n+1)(n+\alpha+% \beta+1)},$
	$\displaystyle B_{n}$	$\displaystyle=\dfrac{(\alpha^{2}-\beta^{2})(2n+\alpha+\beta+1)}{2(n+1)(n+% \alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta)},$
	$\displaystyle C_{n}$	$\displaystyle=\dfrac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+\alpha+\beta+2)}{(n+1)(n+\alpha+% \beta+1)(2n+\alpha+\beta)}.$
ⓘ 符号： $n个$ ：非负整数， $A_{n}$ ：系数， $B_{n}$ ：系数和 $C_{n}$ ：系数参考人： §18.30（i），§18.9（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E2 编码： TeX公司，TeX公司，TeX公司，pMML（百万微升），pMML（百万微升），pMML（百万微升），png公司，png公司，png公司另请参见：的注释§18.9（i），§18.9（i），§18.9和第18章

$A_{0}$ 和 $B_{0}$ 必须被理解 $\alpha+\beta=0$ 或 $-1$ 通过连续性 $\alpha$ 和 $\beta$ 也就是说， $A_{0}=\tfrac{1}{2}(\alpha+\beta)+1$ 和 $B_{0}=\tfrac{1}{2}(\alpha-\beta)$ .

其他经典OP见表18.9.1; 也进行比较§18.2（iv）.

表18.9.1：经典OP：递归关系(18.9.1).

$p_{n}(x)$	$A_{n}$	$B_{n}$	$C_{n}$
$C^{(\lambda)}_{n}\left(x\right)$	$\frac{2(n+\lambda)}{n+1}$	$0$	$\frac{n+2\lambda-1}{n+1}$
$T_{n}\left(x\right)$	$2-\delta_{n,0}$	$0$	$1$
$U_{n}\left(x\right)$	$2$	$0$	$1$
$T^{*}_{n}\left(x\right)$	$4-2\delta_{n,0}$	$-2+\delta_{n,0}$	$1$
$U^{*}_{n}\left(x\right)$	$4$	$-2$	$1$
$P_{n}\left(x\right)$	$\frac{2n+1}{n+1}$	$0$	$\frac{n}{n+1}$
$P^{*}_{n}\left(x\right)$	$\frac{4n+2}{n+1}$	$-\frac{2n+1}{n+1}$	$\frac{n}{n+1}$
$L^{(\alpha)}_{n}\left(x\right)$	$-\frac{1}{n+1}$	$\frac{2n+\alpha+1}{n+1}$	$\frac{n+\alpha}{n+1}$
$H_{n}\left(x\right)$	$2$	$0$	$2n$
$\mathit{He}_{n}\left(x\right)$	$1$	$0$	$n个$

ⓘ

符号：: $T_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类切比雪夫多项式， $U_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类切比雪夫多项式， $H_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式， $\mathit{He}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式， $\delta_{\NVar{j},\NVar{k}}$ ：克罗内克三角洲， $L^{(\NVar{\alpha})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：拉盖尔（或广义拉盖尔）多项式， $P_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：勒让德多项式， $T^{*}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类移位切比雪夫多项式， $U^{*}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类移位切比雪夫多项式， $P^{*}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：移位勒让德多项式， $C^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：超球面（或Gegenbauer）多项式， $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ ， $n个$ ：非负整数， $x个$ ：实变量， $A_{n}$ ：系数， $B_{n}$ ：系数和 $C_{n}$ ：系数
关键词：: 切比雪夫多项式，厄米特多项式，拉盖尔多项式，勒让德多项式，递归关系，特种球多项式
A&S参考：: 22.7.1, 22.7.3, 22.7.4, 22.7.5, 22.7.8, 22.7.9, 22.7.10, 22.7.11,22.7.12, 22.7.13, 22.7.14
参考人：: §18.21（ii），§18.9（i），§18.9（i），表的勘误表（V1.0.1）18.9.1
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.9.T1
勘误表（有效期为1.0.1）：: 系数 $A_{n}$ 对于 $C^{(\lambda)}_{n}\left(x\right)$ 在该表的第一行最初省略了括号，如下所示 $\frac{2n+\lambda}{n+1}$ 相反属于 $\frac{2(n+\lambda)}{n+1}$ .
Kendall Atkinson于2010年9月16日报道
另请参见：: 的注释§18.9（i），§18.9（i），§18.9和第18章

第二种形式

ⓘ

关键词：: 雅可比多项式，经典正交多项式，递归关系
添加（根据1.2.0生效）：: 增加了这一段。
另请参见：: 的注释§18.9（i），第18.9节和第18章

18.9.2_1		$xp_{n}(x)=a_{n}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+c_{n}p_{n-1}(x)$
ⓘ 符号： $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人：表18.9.2，§18.9（i），勘误表（V1.2.0）剖面18.9 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/18.9.E2_1 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（i），§18.9（i），§18.9和第18章

具有初始值 $p_{0}(x)=1$ 和 $p_{1}(x)=a_{0}^{-1}(x-b_{0})$ .

对于 $p_{n}(x)=P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(x\right)$ ，

18.9.2_2	$\displaystyle a_{n}$	$\displaystyle=\dfrac{2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)}{(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+% \beta+2)},$
	$\displaystyle b_{n}$	$\displaystyle=\dfrac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+2% )},$
	$\displaystyle c_{n}$	$\displaystyle=\dfrac{2(n+\alpha)(n+\beta)}{(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+1% )}.$
ⓘ 符号： $n个$ ：非负整数参考人： §18.9（i），勘误表（V1.2.0）剖面18.9 永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E2_2 编码： TeX公司，TeX公司，TeX公司，pMML（百万微升），pMML公司，pMML公司，png公司，png公司，png公司另请参见：的注释§18.9（i），§18.9（i），§18.9和第18章

$a_{0}$ 和 $b_{0}$ 必须被理解 $\alpha+\beta=0$ 或 $-1$ 通过连续性 $\alpha$ 和 $\beta$ 也就是说， $a_{0}=\ifrac{2}{(\alpha+\beta+2)}$ 和和 $b_{0}=\ifrac{(\beta-\alpha)}{(\alpha+\beta+2)}$ .

其他经典OP见表18.9.2.

表18.9.2：经典OP：递归关系(18.9.2_1).

$p_{n}(x)$	$a_{n}$	$b_{n}$	$c_{n}$
$C^{(\lambda)}_{n}\left(x\right)$	$\frac{n+1}{2(n+\lambda)}$	$0$	$\frac{n+2\lambda-1}{2(n+\lambda)}$
$T_{n}\left(x\right)$	$\frac{1}{2}(1+\delta_{n,0})$	$0$	$\frac{1}{2}$
$U_{n}\left(x\right)$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$
$V_{n}\left(x\right)$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}\delta_{n,0}$	$\frac{1}{2}$
$W_{n}\left(x\right)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\delta_{n,0}$	$\frac{1}{2}$
$P_{n}\left(x\right)$	$\frac{n+1}{2n+1}$	$0$	$\frac{n}{2n+1}$
$L^{(\alpha)}_{n}\left(x\right)$	$-n-1$	$2n+\alpha+1$	$-n-\alpha$
$H_{n}\left(x\right)$	$\frac{1}{2}$	$0$	$n个$

ⓘ

符号：: $T_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类切比雪夫多项式， $W_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第四类切比雪夫多项式， $U_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类切比雪夫多项式， $V_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第三类切比雪夫多项式， $H_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式， $\delta_{\NVar{j},\NVar{k}}$ ：克罗内克三角洲， $L^{(\NVar{\alpha})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：拉盖尔（或广义拉盖尔）多项式， $P_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：勒让德多项式， $C^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：超球面（或Gegenbauer）多项式， $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量
关键词：: 切比雪夫多项式，厄米特多项式，拉盖尔多项式，勒让德多项式，递归关系，特种球多项式
引用人：: §18.9（i），§18.9（i），勘误表（V1.2.0）剖面18.9
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.9.T2
添加（根据1.2.0生效）：: 此表已添加。
另请参见：: 的注释§18.9（i），§18.9（i），§18.9和第18章

对于经典OP的monic版本系数 $b_{n}$ 和 $c_{n}$ （此处写为 $\alpha_{n}$ 和 $\beta_{n}$ ，分别）见§3.5（六）.它们意味着复发经典OP的正交型系数，再次参见§3.5（六）.

§18.9（ii）参数与度的连续关系

ⓘ

关键词：: 经典正交多项式，相邻关系
笔记：: 对于(18.9.3)–(18.9.5)参见雷恩维尔(1960, §138, (17), (16), (14)).对于(18.9.6)参见塞格（Szeg）(1975, (4.5.4)).对于(18.9.7)参见塞格（Szeg）(1975, (4.7.29)).对于(18.9.8)替代(18.7.15)或(2016年7月18日); 得到的公式是雷恩维尔(1960, §138, (11)).(18.9.9)–(18.9.12)是重写的基于的初等三角恒等式(18.5.1)–(18.5.4).对于(18.9.13)参见塞格（Szeg）(1975，（5.1.13））.对于(18.9.14)参见塞格（Szeg）(1975, (5.1.14)).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.9.ii
另请参见：: 的注释§18.9和第18章

雅各比

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.9（ii），第18.9节和第18章

18.9.3		$P^{(\alpha,\beta-1)}_{n}\left(x\right)-P^{(\alpha-1,\beta)}_{n}\left(x\right)=% P^{(\alpha,\beta)}_{n-1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.7.20 参考人： §18.9（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E3 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章

18.9.4		$(1-x)P^{(\alpha+1,\beta)}_{n}\left(x\right)+(1+x)P^{(\alpha,\beta+1)}_{n}\left% (x\right)=2P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.7.17 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/18.9.E4 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章

18.9.5		$(2n+\alpha+\beta+1)P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(x\right)=(n+\alpha+\beta+1)P^{(% \alpha,\beta+1)}_{n}\left(x\right)+(n+\alpha)P^{(\alpha,\beta+1)}_{n-1}\left(x% \right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.7.19 参考人： §18.9（ii），§18.9（ii），§18.9（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E5 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章

18.9.6		$(n+\tfrac{1}{2}\alpha+\tfrac{1}{2}\beta+1)(1+x)P^{(\alpha,\beta+1)}_{n}\left(x% \right)=(n+1)P^{(\alpha,\beta)}_{n+1}\left(x\right)+(n+\beta+1)P^{(\alpha,% \beta)}_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.7.16 参考人： §18.9（ii），§18.9（ii），§18.9（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E6 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章

和一对类似的(18.9.5)和(18.9.6)对称性；比较表中的第二行18.6.1.

超声波

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.9（ii），§18.9和第18章

18.9.7	$\displaystyle(n+\lambda)C^{(\lambda)}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=\lambda\left(C^{(\lambda+1)}_{n}\left(x\right)-C^{(\lambda+1)}_{% n-2}\left(x\right)\right),$
ⓘ 符号： $C^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：超球面（或Gegenbauer）多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.9（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E7 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章
18.9.8	$\displaystyle 4\lambda(n+\lambda+1)(1-x^{2})C^{(\lambda+1)}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=-(n+1)(n+2)C^{(\lambda)}_{n+2}\left(x\right)+(n+2\lambda)(n+2% \lambda+1)C^{(\lambda)}_{n}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $C^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：超球面（或Gegenbauer）多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.9（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E8 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），第18.9节和第18章

切比雪夫

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.9（ii），§18.9和第18章

18.9.9	$\displaystyle T_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=\tfrac{1}{2}\left(U_{n}\left(x\right)-U_{n-2}\left(x\right)% \right),$
ⓘ 符号： $T_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类切比雪夫多项式， $U_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类切比雪夫多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.5.8 参考人： §18.7（i），§18.9（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E9 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章
18.9.10	$\displaystyle(1-x^{2})U_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=-\tfrac{1}{2}\left(T_{n+2}\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)% \right),$
ⓘ 符号： $T_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类切比雪夫多项式， $U_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类切比雪夫多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E10 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章

18.9.11	$\displaystyle V_{n}\left(x\right)+V_{n-1}\left(x\right)$	$\displaystyle=2T_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $T_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类切比雪夫多项式， $W_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第四类切比雪夫多项式， $V_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第三类切比雪夫多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.9（ii），§18.9（ii），表的勘误表（V1.0.28）18.3.1 永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E11 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司修正（有效期为1.0.28）： DLMF现在采用切比雪夫多项式的定义第三种和第四种 $V_{n}\left(x\right)$ ， $W_{n}\left(x\right)$ 在中使用梅森和汉斯克(2003).因此 $V_{n}\left(x\right)$ ， $W_{n}\left(x\right)$ ，互换后，我们更换了左侧 $W_{n}\left(x\right)+W_{n-1}\left(x\right)$ 具有 $V_{n}\left(x\right)+V_{n-1}\left(x\right)$ .有关更多详细信息，请参阅勘误表. 另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章
18.9.12	$\displaystyle T_{n+1}\left(x\right)+T_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=(1+x)V_{n}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $T_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类切比雪夫多项式， $W_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第四类切比雪夫多项式， $V_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第三类切比雪夫多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.7（i），§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9（ii），表的勘误表（V1.0.28）18.3.1 永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E12 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司修正（有效期为1.0.28）： DLMF现在采用切比雪夫多项式的定义第三种和第四种 $V_{n}\left(x\right)$ ， $W_{n}\left(x\right)$ 在中使用梅森和汉斯克(2003).因此 $V_{n}\left(x\right)$ ， $W_{n}\left(x\right)$ ，互换后，在右侧我们更换了 $(1+x)W_{n}\left(x\right)$ 具有 $(1+x)V_{n}\left(x\right)$ .有关更多详细信息，请参阅勘误表. 另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章

标识类似于(18.9.11)和(18.9.12)涉及 $W_{n}\left(x\right)$ 和 $T_{n}\left(x\right)$ 可以使用表中的第4行和第7行获得18.6.1.

拉盖尔

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.9（ii），§18.9和第18章

18.9.13	$\displaystyle L^{(\alpha)}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=L^{(\alpha+1)}_{n}\left(x\right)-L^{(\alpha+1)}_{n-1}\left(x% \right),$
ⓘ 符号： $L^{(\NVar{\alpha})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：拉盖尔（或广义拉盖尔）多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.7.30 参考人： §18.17（i），§18.9（ii），§18.9（ii）永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/18.9.E13 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章
18.9.14	$\displaystyle xL^{(\alpha+1)}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=-(n+1)L^{(\alpha)}_{n+1}\left(x\right)+(n+\alpha+1)L^{(\alpha)}_% {n}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $L^{(\NVar{\alpha})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：拉盖尔（或广义拉盖尔）多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.7.31 参考人： §18.9（ii），§18.9（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E14 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（ii），§18.9（ii），§18.9和第18章

公式(18.9.5), (18.9.11),(18.9.13)是的特殊情况(18.2.16).公式(18.9.6), (18.9.12),(2014年9月18日)是的特殊情况(18.2.17).

§18.9（iii）衍生品

ⓘ

关键词：: 经典正交多项式，降度和升度，衍生产品，微分公式
笔记：: 对于(18.9.15)参见塞格（Szeg）(1975, (4.21.7)).(18.9.16)是(18.5.5)和表18.5.1，第2行。对于(18.9.17)和(18.9.18)参见Koornwinder公司(2006, §4).对于(18.9.19)参见塞格（Szeg）(1975, (4.7.14)).(2020年9月18日)是(18.5.5)和表18.5.1，第3行。(18.9.21)和(18.9.22)是重写的初等三角微分公式。对于(18.9.23)参见塞格（Szeg）(1975，（5.1.14））.(18.9.24)是…的直接推论(18.5.5)和表18.5.1，第9行。对于(18.9.25)参见塞格（Szeg）(1975, (5.5.10)).(18.9.26)是…的直接推论(18.5.5)和表18.5.1，第10行。
参考人：: 第2项。，勘误表（V1.2.0）剖面18.9
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.9.ii
另请参见：: 的注释§18.9和第18章

雅各比

ⓘ

关键词：: 雅可比多项式，衍生产品，结构关系
另请参见：: 的注释§18.9（iii），§18.9和第18章

18.9.15		$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(x\right)=\tfrac{1}{2% }(n+\alpha+\beta+1)P^{(\alpha+1,\beta+1)}_{n-1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实数变量参考人： §18.17（i），§18.9（iii），§18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E15 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

2016年9月18日		$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left((1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}P^{(\alpha,% \beta)}_{n}\left(x\right)\right)=-2(n+1)(1-x)^{\alpha-1}(1+x)^{\beta-1}P^{(% \alpha-1,\beta-1)}_{n+1}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.17（i），§18.9（iii），§18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E16 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

进一步 $n个$ -关于两个不同雅可比多项式的th导数公式可以从§15.5（i）通过替换(18.5.7).

公式(18.9.15)度降低，而度升高参数。公式(18.9.16)是提高学位，当它下降时参数。以下三个公式更改次数但保留参数，请参见(18.2.42)–(18.2.44年)对于类似公式用于更一般的OP。

18.9.17		$(2n+\alpha+\beta)(1-x^{2})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P^{(\alpha,\beta)}_{n}% \left(x\right)=n\left(\alpha-\beta-(2n+\alpha+\beta)x\right)P^{(\alpha,\beta)}% _{n}\left(x\right)+2(n+\alpha)(n+\beta)P^{(\alpha,\beta)}_{n-1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.11.1条引用人： §18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E17 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

18.9.18		$(2n+\alpha+\beta+2)(1-x^{2})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P^{(\alpha,\beta)}_{% n}\left(x\right)=(n+\alpha+\beta+1)\left(\alpha-\beta+(2n+\alpha+\beta+2)x% \right)P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(x\right)-2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)P^{(\alpha% ,\beta)}_{n+1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E18 编码： TeX公司，pMML公司，png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

和结构关系

18.9.18_5		$(1-x^{2})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(x\right)=-% \frac{2n(n+1)(n+\alpha+\beta+1)}{(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2)}P^{(% \alpha,\beta)}_{n+1}\left(x\right)+\frac{2n(n+\alpha+\beta+1)(\alpha-\beta)}{(% 2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+2)}P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(x\right)+\frac% {2(n+\alpha)(n+\beta)(n+\alpha+\beta+1)}{(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+1)}% P^{(\alpha,\beta)}_{n-1}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量证明： Koornwinder公司(2007年b, (3.7))（已证明）参考人：勘误表（V1.2.0）剖面18.9 永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E18_5 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

超球面

ⓘ

关键词：: 衍生产品，特种球多项式
另请参见：: 的注释§18.9（iii），§18.9和第18章

2019年9月18日		$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}C^{(\lambda)}_{n}\left(x\right)=2\lambda C^{(% \lambda+1)}_{n-1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $C^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：超球面（或Gegenbauer）多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实数变量参考人： §1.10（xi），§18.17（i），§18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E19 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

2020年9月18日		$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left((1-x^{2})^{\lambda-\frac{1}{2}}C^{(\lambda% )}_{n}\left(x\right)\right)=-\frac{(n+1)(n+2\lambda-1)}{2(\lambda-1)}{(1-x^{2}% )^{\lambda-\frac{3}{2}}}C^{(\lambda-1)}_{n+1}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $C^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：超球面（或Gegenbauer）多项式， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E20 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

另请参见中的微分公式（埃尔德莱伊等。，1953年b, §10.9(15))).

切比雪夫

ⓘ

关键词：: 切比雪夫多项式，衍生产品
另请参见：: 的注释§18.9（iii），§18.9和第18章

18.9.21		$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}T_{n}\left(x\right)=nU_{n-1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $T_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类切比雪夫多项式， $U_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类切比雪夫多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E21 编码： TeX公司，pMML公司，png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

18.9.22		$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left((1-x^{2})^{\frac{1}{2}}U_{n}\left(x\right)% \right)=-(n+1){(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}}T_{n+1}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $T_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类切比雪夫多项式， $U_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类切比雪夫多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E22 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

拉盖尔

ⓘ

关键词：: 拉盖尔多项式，衍生产品
另请参见：: 的注释§18.9（iii），§18.9和第18章

18.9.23	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}L^{(\alpha)}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=-L^{(\alpha+1)}_{n-1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $L^{(\NVar{\alpha})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：拉盖尔（或广义拉盖尔）多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.17（i），§18.39（ii），§18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E23 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章
18.9.24	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\mathrm{e}}^{-x}x^{\alpha}L^% {(\alpha)}_{n}\left(x\right)\right)$	$\displaystyle=(n+1){\mathrm{e}}^{-x}x^{\alpha-1}L^{(\alpha-1)}_{n+1}\left(x% \right).$
ⓘ 符号： $L^{(\NVar{\alpha})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：拉盖尔（或广义拉盖尔）多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $\mathrm{e}$ ：自然对数的底， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E24 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

进一步 $n个$ -两种不同拉盖尔多项式的导数公式可以从§13.3（ii）通过替换(13.6.19).

埃尔米特

ⓘ

关键词：: 厄米特多项式，经典正交多项式，衍生产品
另请参见：: 的注释§18.9（iii），§18.9和第18章

18.9.25	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}H_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=2nH_{n-1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $H_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.8.7 参考人： §18.17（i），§18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E25 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），第18.9节和第18章
18.9.26	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\mathrm{e}}^{-x^{2}}H_{n}% \left(x\right)\right)$	$\displaystyle=-{\mathrm{e}}^{-x^{2}}H_{n+1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $H_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $\mathrm{e}$ ：自然对数的底， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.17（i），§18.9（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E26 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

18.9.27	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathit{He}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=n\mathit{He}_{n-1}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $\mathit{He}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量 A&S参考： 22.8.7 永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E27 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章
2008年8月18日	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}x^{% 2}}\mathit{He}_{n}\left(x\right)\right)$	$\displaystyle=-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}x^{2}}\mathit{He}_{n+1}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $\mathit{He}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式， $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ ， $\mathrm{e}$ ：自然对数的底， $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.17（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.9.E28 编码： TeX公司，pMML（百万微升），png公司另请参见：的注释§18.9（iii），§18.9（iii），§18.9和第18章

18.8微分方程 18.10积分表示法

网站隐私无障碍隐私计划版权漏洞披露无恐惧法案政策《信息自由法》环境政策科学诚信信息质量标准商业.gov 科学.gov 美国.gov

§18.9递归关系和导数

目录

§18.9（i）重复关系

第一个表单

第二种形式

§18.9（ii）参数与度的连续关系

雅各比

超声波

切比雪夫

拉盖尔

§18.9（iii）衍生品

雅各比

超球面

切比雪夫

拉盖尔

埃尔米特