18正交多项式 Askey方案 18.21哈恩类：相互关系 18.23Hahn类：生成函数

§18.22Hahn类：递归关系和差异

ⓘ

永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.22
另请参见：: 的注释第18章

§18.22（i）中的重复关系 $n个$

ⓘ

关键词：: 哈恩类正交多项式,递归关系
笔记：: 对于(18.22.1)–(18.22.3)参见伊斯梅尔(2009（6.2.8）和（6.2.9））.对于表格18.22.1看见伊斯梅尔(2009（6.2.36）、（6.1.5）和（6.1.25））.(18.22.4)–(18.22.6)是一个极限情况属于安德鲁斯等。(1999, (3.8.2))，鉴于(18.26.6).对于(18.22.7)–(18.22.8)参见伊斯梅尔(2009, (5.9.1)).
永久链接：: 网址：http://dlmf.nist.gov/18.22.i
另请参见：: 的注释§18.22和第18章

哈恩

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（i）,§18.22和第18章

使用

18.22.1		$p_{n}(x)=Q_{n}\left(x;\alpha,\beta,N\right),$
ⓘ 符号： $Q_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\alpha},\NVar{\beta},\NVar{N}\right)$ ：哈恩多项式, $N个$ ：正整数, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

18.22.2		$-xp_{n}(x)=A_{n}p_{n+1}(x)-\left(A_{n}+C_{n}\right)p_{n}(x)+C_{n}p_{n-1}(x),$
ⓘ 符号： $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数, $x个$ ：实变量, $A_{n}$ ：系数和 $C_{n}$ ：系数参考人： §16.4（iii）,§18.21（ii）,§18.22（i）,表18.22.1 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/18.22.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

哪里

18.22.3	$\displaystyle A_{n}$	$\displaystyle=\frac{(n+\alpha+\beta+1)(n+\alpha+1)(N-n)}{(2n+\alpha+\beta+1)(2% n+\alpha+\beta+2)},$
18.22.3	$\displaystyle C_{n}$	$\displaystyle=\frac{n(n+\alpha+\beta+N+1)(n+\beta)}{(2n+\alpha+\beta)(2n+% \alpha+\beta+1)}.$
ⓘ 定义： $A_{n}$ ：系数（局部）和 $C_{n}$ ：系数（局部）符号： $N个$ ：正整数和 $n个$ ：非负整数参考人： §18.22（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E3 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

Krawtchouk、Meixner和Charlier

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（i）,§18.22和第18章

这些多项式满足(18.22.2)带有 $p_{n}(x)$ , $A_{n}$ ,和 $C_{n}$ 如表所示18.22.1.

表18.22.1：重复关系(18.22.2)对于Krawtchouk，Meixner和Charlier多项式。

$p_{n}(x)$	$A_{n}$	$C_{n}$
$K_{n}\left(x;p,N\right)$	$p(N-n)$	$n(1-p)$
$M_{n}\left(x;\beta,c\right)$	$\dfrac{c(n+\beta)}{1-c}$	$\dfrac{n}{1-c}$
$C_{n}\left(x;a\right)$	$一$	$n个$

ⓘ

定义：: $A_{n}$ ：系数（局部）和 $C_{n}$ ：系数（局部）
符号：: $C_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a}\right)$ ：Charlier多项式, $K_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{p},\NVar{N}\right)$ ：Krawtchouk多项式, $M_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\beta},\NVar{c}\right)$ ：Meixner多项式, $N个$ ：正整数, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量
参考人：: §18.21（ii）,§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22（ii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.22.T1
另请参见：: 的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

连续Hahn

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（i）,§18.22和第18章

使用

18.22.4		$q_{n}(x)=\ifrac{p_{n}\left(x;a,b,\overline{a},\overline{b}\right)}{p_{n}\left(% \mathrm{i}a;a,b,\overline{a},\overline{b}\right)},$
ⓘ 符号： $\overline{\NVar{z}}$ ：复共轭, $p_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a},\NVar{b},\NVar{\overline{a}},\NVar{% \overline{b}}\right)$ ：连续Hahn多项式, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

18.22.5		$(a+\mathrm{i}x)q_{n}(x)=\tilde{A}_{n}q_{n+1}(x)-\bigl{(}\tilde{A}_{n}+\tilde{C% }_{n}\bigr{)}q_{n}(x)+\tilde{C}_{n}q_{n-1}(x),$
ⓘ 符号： $\mathrm{i}$ ：虚单位, $n个$ ：非负整数, $x个$ ：实变量, $\tilde{A}_{n}$ ：系数和 $\tilde{C}_{n}$ ：系数永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

哪里

18.22.6	$\displaystyle\tilde{A}_{n}$	$\displaystyle=-\frac{(n+2\Re\left(a+b\right)-1)(n+a+\overline{a})(n+a+% \overline{b})}{(2n+2\Re\left(a+b\right)-1)(2n+2\Re\left(a+b\right))},$
18.22.6	$\displaystyle\tilde{C}_{n}$	$\displaystyle=\frac{n(n+b+\overline{a}-1)(n+b+\overline{b}-1)}{(2n+2\Re\left(a% +b\right)-2)(2n+2\Re\left(a+b\right)-1)}.$
ⓘ 定义： $\tilde{A}_{n}$ ：系数（局部）和 $\tilde{C}_{n}$ ：系数（局部）符号： $\overline{\NVar{z}}$ ：复共轭, $\Re$ ：实部和 $n个$ ：非负整数参考人： §18.22（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E6 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

梅克斯纳–Pollaczek

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（i）,§18.22和第18章

使用

18.22.7		$p_{n}(x)=P^{(\lambda)}_{n}\left(x;\phi\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\phi}\right)$ ：Meixner–Pollaczek多项式, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

18.22.8		$(n+1)p_{n+1}(x)=2\left(x\sin\phi+(n+\lambda)\cos\phi\right)p_{n}(x)-(n+2% \lambda-1)p_{n-1}(x).$
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（i）,§18.30（v）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（i）,§18.22（i）,§18.22和第18章

§18.22（ii）中的差分方程 $x个$

ⓘ

关键词：: 哈恩类正交多项式,变量上的差分方程
笔记：: 对于(18.22.9)–(18.22.11)参见伊斯梅尔(2009, (6.2.16)).对于表格18.22.2，第2行和第3行，请参见伊斯梅尔(2009, (6.2.38), (6.1.15));第4行来自表18.22.1、第4行和第三行中的标识(18.21.2).(18.22.13)–(18.22.15)是一个极限情况属于Koekoek公司等。(2010, (9.1.6))鉴于(18.26.6).Koekoek公司等。(2010, (9.1.6))是以下情况的极限情况阿斯基和威尔逊(1985, (5.7))鉴于Koekoek公司等。(2010, (14.1.21)).(18.22.16)–(18.22.17)跟随(18.22.14)鉴于(18.21.10).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.22.ii
另请参见：: 的注释§18.22和第18章

哈恩

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（ii）,§18.22和第18章

使用

18.22.9		$p_{n}(x)=Q_{n}\left(x;\alpha,\beta,N\right),$
ⓘ 符号： $Q_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\alpha},\NVar{\beta},\NVar{N}\right)$ ：哈恩多项式, $N个$ ：正整数, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（ii）永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/18.22.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

18.22.10		$A(x)p_{n}(x+1)-\left(A(x)+C(x)\right)p_{n}(x)+C(x)p_{n}(x-1)-n(n+\alpha+\beta+% 1)p_{n}(x)=0,$
ⓘ 符号： $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数, $x个$ ：实变量, $A(x)$ ：系数和 $C(x)$ ：系数参考人： §16.4（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

哪里

18.22.11	$\displaystyle A(x)$	$\displaystyle=(x+\alpha+1)(x-N),$
18.22.11	$\displaystyle C(x)$	$\displaystyle=x(x-\beta-N-1).$
ⓘ 定义： $A(x)$ ：系数（局部）和 $C(x)$ ：系数（局部）符号： $N个$ ：正整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E11 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

Krawtchouk、Meixner和Charlier

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（ii）,§18.22和第18章

18.22.12		$A(x)p_{n}(x+1)-\left(A(x)+C(x)\right)p_{n}(x)+C(x)p_{n}(x-1)+\lambda_{n}p_{n}(% x)=0.$
ⓘ 符号： $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数, $x个$ ：实变量, $C(x)$ ：系数, $\lambda_{n}$ ：系数和 $A(x)$ ：系数参考人： §18.22（ii）,表18.22.2 永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

对于 $A(x)$ , $C(x)$ ，以及 $\lambda_{n}$ 英寸(18.22.12)参见表18.22.2.

表18.22.2：差分方程(18.22.12)对于Krawtchouk，Meixner和Charlier多项式。

$p_{n}(x)$	$A(x)$	$C(x)$	$\lambda_{n}$
$K_{n}\left(x;p,N\right)$	$p(x-N)$	$(p-1)x$	$-n$
$M_{n}\left(x;\beta,c\right)$	$c(x+\beta)$	$x个$	$n(1-c)$
$C_{n}\left(x;a\right)$	$一$	$x个$	$n个$

ⓘ

定义：: $C(x)$ ：系数（局部）, $\lambda_{n}$ ：系数（局部）和 $A(x)$ ：系数（局部）
符号：: $C_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a}\right)$ ：Charlier多项式, $K_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{p},\NVar{N}\right)$ ：Krawtchouk多项式, $M_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\beta},\NVar{c}\right)$ ：Meixner多项式, $N个$ ：正整数, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量
参考人：: §18.22（ii）,§18.22（ii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.22.T2
另请参见：: 的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

连续Hahn

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（ii）,§18.22和第18章

使用

18.22.13		$p_{n}(x)=p_{n}\left(x;a,b,\overline{a},\overline{b}\right),$
ⓘ 符号： $\overline{\NVar{z}}$ ：复共轭, $p_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a},\NVar{b},\NVar{\overline{a}},\NVar{% \overline{b}}\right)$ ：连续Hahn多项式, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

18.22.14		$A(x)p_{n}(x+\mathrm{i})-\left(A(x)+C(x)\right)p_{n}(x)+C(x)p_{n}(x-\mathrm{i})% +n(n+2\Re\left(a+b\right)-1)p_{n}(x)=0,$
ⓘ 符号： $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\Re$ ：实部, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数, $x个$ ：实变量, $A(x)$ ：系数和 $C(x)$ ：系数参考人： §18.22（ii）,§18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

哪里

18.22.15	$\displaystyle A(x)$	$\displaystyle=(x+\mathrm{i}\overline{a})(x+\mathrm{i}\overline{b}),$
18.22.15	$\displaystyle C(x)$	$\displaystyle=(x-\mathrm{i}a)(x-\mathrm{i}b).$
ⓘ 定义： $A(x)$ ：系数（局部）和 $C(x)$ ：系数（局部）符号： $\overline{\NVar{z}}$ ：复共轭, $\mathrm{i}$ ：虚单位和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E15 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

梅克斯纳–Pollaczek

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（ii）,§18.22和第18章

使用

18.22.16		$p_{n}(x)=P^{(\lambda)}_{n}\left(x;\phi\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\phi}\right)$ ：Meixner–Pollaczek多项式, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E16 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

18.22.17		$A(x)p_{n}(x+\mathrm{i})-\left(A(x)+C(x)\right)p_{n}(x)+C(x)p_{n}(x-\mathrm{i})% +2n\sin\phi\,p_{n}(x)=0,$
ⓘ 符号： $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $n个$ ：非负整数, $x个$ ：实变量, $A(x)$ ：系数和 $C(x)$ ：系数参考人： §18.22（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E17 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

哪里

18.22.18	$\displaystyle A(x)$	$\displaystyle={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi}(x+\mathrm{i}\lambda),$
18.22.18	$\displaystyle C(x)$	$\displaystyle={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi}(x-\mathrm{i}\lambda).$
ⓘ 定义： $A(x)$ ：系数（局部）和 $C(x)$ ：系数（局部）符号： $\mathrm{e}$ ：自然对数的底, $\mathrm{i}$ ：虚单位和 $x个$ ：实变量永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E18 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§18.22（ii）,§18.22（ii）,§18.22和第18章

§18.22（iii） $x个$ -差异

ⓘ

关键词：: 哈恩类正交多项式,差异
笔记：: 对于(18.22.19)–(18.22.25)参见伊斯梅尔(2009, (6.2.5), (6.2.13), (6.2.39), (6.2.40), (6.1.13),§6.1，未编号公式（6.1.15），同样（6.1.23））.(18.22.26)以下为(18.22.24)和(18.21.7).(18.22.27)以下为(18.20.9).(18.22.28)以下为(18.22.14)和(18.22.27).(18.22.29)以下为(18.20.10).(18.22.30)以下为(18.22.28)鉴于(18.21.10).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.22.iii
另请参见：: 的注释§18.22和第18章

哈恩

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.19	$\displaystyle\Delta_{x}Q_{n}\left(x;\alpha,\beta,N\right)$	$\displaystyle=-\frac{n(n+\alpha+\beta+1)}{(\alpha+1)N}Q_{n-1}\left(x;\alpha+1,% \beta+1,N-1\right),$
ⓘ 符号： $Q_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\alpha},\NVar{\beta},\NVar{N}\right)$ ：哈恩多项式, $\Delta$ ：前向差分运算符, $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §16.4（iii）,§18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E19 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章
18.22.20	$\displaystyle\nabla_{x}\left(\frac{{\left(\alpha+1\right)_{x}}{\left(\beta+1% \right)_{N-x}}}{x!\;(N-x)!}Q_{n}\left(x;\alpha,\beta,N\right)\right)$	$\displaystyle=\frac{N+1}{\beta}\frac{{\left(\alpha\right)_{x}}{\left(\beta% \right)_{N+1-x}}}{x!\;(N+1-x)!}\*Q_{n+1}\left(x;\alpha-1,\beta-1,N+1\right).$
ⓘ 符号： $Q_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\alpha},\NVar{\beta},\NVar{N}\right)$ ：哈恩多项式, ${\left(\NVar{a}\right)_{\NVar{n}}}$ ：Pochhammer符号（或移位阶乘）, $\nabla_{\NVar{x}}$ ：向后差异, $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §16.4（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E20 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

克劳楚克

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.21	$\displaystyle\Delta_{x}K_{n}\left(x;p,N\right)$	$\displaystyle=-\frac{n}{pN}K_{n-1}\left(x;p,N-1\right),$
ⓘ 符号： $K_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{p},\NVar{N}\right)$ ：Krawtchouk多项式, $\Delta$ ：前向差分运算符, $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E21 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章
18.22.22	$\displaystyle\nabla_{x}\left(\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{N}{x}p^{x}(1-p)^{N-x}K_{n% }\left(x;p,N\right)\right)$	$\displaystyle=\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{N+1}{x}p^{x}{(1-p)^{N-x}}K_{n+1}\left(x;% p,N+1\right).$
ⓘ 符号： $K_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{p},\NVar{N}\right)$ ：Krawtchouk多项式, $\nabla_{\NVar{x}}$ ：向后差异, $\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\NVar{m}}{\NVar{n}}$ ：二项式系数, $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E22 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

梅克斯纳

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.23		$\Delta_{x}M_{n}\left(x;\beta,c\right)=-\frac{n(1-c)}{\beta c}M_{n-1}\left(x;% \beta+1,c\right),$
ⓘ 符号： $M_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\beta},\NVar{c}\right)$ ：Meixner多项式, $\Delta$ ：前向差分运算符, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E23 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.24		$\nabla_{x}\left(\frac{{\left(\beta\right)_{x}}c^{x}}{x!}M_{n}\left(x;\beta,c% \right)\right)=\frac{{\left(\beta-1\right)_{x}}c^{x}}{x!}M_{n+1}\left(x;\beta-% 1,c\right).$
ⓘ 符号： $M_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\beta},\NVar{c}\right)$ ：Meixner多项式, ${\left(\NVar{a}\right)_{\NVar{n}}}$ ：Pochhammer符号（或移位阶乘）, $\nabla_{\NVar{x}}$ ：向后差异, $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E24 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

沙利耶

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.25	$\displaystyle\Delta_{x}C_{n}\left(x;a\right)$	$\displaystyle=-\frac{n}{a}C_{n-1}\left(x;a\right),$
ⓘ 符号： $C_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a}\right)$ ：Charlier多项式, $\Delta$ ：前向差分运算符, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E25 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章
18.22.26	$\displaystyle\nabla_{x}\left(\frac{a^{x}}{x!}C_{n}\left(x;a\right)\right)$	$\displaystyle=\frac{a^{x}}{x!}C_{n+1}\left(x;a\right).$
ⓘ 符号： $C_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a}\right)$ ：Charlier多项式, $\nabla_{\NVar{x}}$ ：向后差异, $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E26 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

连续Hahn

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.27		$\delta_{x}\left(p_{n}\left(x;a,b,\overline{a},\overline{b}\right)\right)=(n+2% \Re\left(a+b\right)-1)\*p_{n-1}\left(x;a+\tfrac{1}{2},b+\tfrac{1}{2},\overline% {a}+\tfrac{1}{2},\overline{b}+\tfrac{1}{2}\right),$
ⓘ 符号： $\delta_{\NVar{x}}$ ：中央差异, $\overline{\NVar{z}}$ ：复共轭, $p_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a},\NVar{b},\NVar{\overline{a}},\NVar{% \overline{b}}\right)$ ：连续Hahn多项式, $\Re$ ：实部, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E27 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.28		$\delta_{x}\left(w(x;a+\tfrac{1}{2},b+\tfrac{1}{2},\overline{a}+\tfrac{1}{2},% \overline{b}+\tfrac{1}{2})p_{n}(x;a+\tfrac{1}{2},b+\tfrac{1}{2},\overline{a}+% \tfrac{1}{2},\overline{b}+\tfrac{1}{2})\right)=-(n+1)w(x;a,b,\overline{a},% \overline{b})p_{n+1}(x;a,b,\overline{a},\overline{b}).$
ⓘ 符号： $\delta_{\NVar{x}}$ ：中央差异, $\overline{\NVar{z}}$ ：复共轭, $p_{n}(x)$ ：次数多项式 $n个$ , $w(x)$ ：权重函数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.20（i）,§18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E28 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

梅克斯纳–Pollaczek

ⓘ

另请参见：: 的注释§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.29		$\delta_{x}\left(P^{(\lambda)}_{n}\left(x;\phi\right)\right)=2\sin\phi P^{(% \lambda+\frac{1}{2})}_{n-1}\left(x;\phi\right),$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\phi}\right)$ ：Meixner–Pollaczek多项式, $\delta_{\NVar{x}}$ ：中央差异, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E29 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.22.30		$\delta_{x}\left(w^{(\lambda+\frac{1}{2})}(x;\phi)P^{(\lambda+\frac{1}{2})}_{n}% \left(x;\phi\right)\right)=-(n+1)w^{(\lambda)}(x;\phi)P^{(\lambda)}_{n+1}\left% (x;\phi\right).$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\phi}\right)$ ：Meixner–Pollaczek多项式, $\delta_{\NVar{x}}$ ：中央差异, $w(x)$ ：权重函数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.20（i）,§18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.22.E30 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.22（iii）,§18.22（iii）,§18.22和第18章

18.21哈恩类：相互关系 18.23Hahn类：生成函数

网站隐私无障碍隐私计划版权漏洞披露无恐惧法案政策《信息自由法》环境政策科学诚信信息质量标准商业.gov 科学.gov 美国.gov

§18.22Hahn类：递归关系和差异

目录

§18.22（i）中的重复关系n个

哈恩

Krawtchouk、Meixner和Charlier

连续Hahn

梅克斯纳–Pollaczek

§18.22（ii）中的差分方程x个

哈恩

Krawtchouk、Meixner和Charlier

连续Hahn

梅克斯纳–Pollaczek

§18.22（iii）x个-差异

哈恩

克劳楚克

梅克斯纳

沙利耶

连续Hahn

梅克斯纳–Pollaczek

§18.22（i）中的重复关系 $n个$

§18.22（ii）中的差分方程 $x个$

§18.22（iii） $x个$ -差异