18正交多项式 Askey方案 18.20Hahn类：显式表示 18.22Hahn类：递归关系和差异

§18.21哈恩类：相互关系

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关键词：: 哈恩类正交多项式,与其他正交多项式的相互关系
参考人：: 勘误表（V1.2.0）§18.21
永久链接：: 网址：http://dlmf.nist.gov/18.21
另请参见：: 的注释第18章

§18.21（i）二元性

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关键词：: 哈恩类正交多项式,Wilson类正交多项式,二元性
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.21.i
另请参见：: 的注释§18.21和第18章

哈恩与对偶哈恩的对偶性

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另请参见：: 的注释§18.21（i）,§18.21和第18章

18.21.1		$Q_{n}\left(x;\alpha,\beta,N\right)=R_{x}\left(n(n+\alpha+\beta+1);\alpha,\beta% ,N\right),$
$n,x=0,1,\dots,N$ .
ⓘ 符号： $Q_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\alpha},\NVar{\beta},\NVar{N}\right)$ ：哈恩多项式, $R_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\gamma},\NVar{\delta},\NVar{N}\right)$ ：对偶Hahn多项式, $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）,§18.26（i）,§18.38（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（i）,§18.21（i）,§18.21和第18章

对于对偶Hahn多项式 $R_{n}\left(x;\gamma,\delta,N\right)$ 看见§18.25.

自我二元性

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另请参见：: 的注释§18.21（i）,§18.21和第18章

18.21.2		$\displaystyle K_{n}\left(x;p,N\right)$	$\displaystyle=K_{x}\left(n;p,N\right),$
	$n,x=0,1,\dots,N$ .
		$\displaystyle M_{n}\left(x;\beta,c\right)$	$\displaystyle=M_{x}\left(n;\beta,c\right),$
	$n,x=0,1,2,\dots$ .
		$\displaystyle C_{n}\left(x;a\right)$	$\displaystyle=C_{x}\left(n;a\right),$
	$n,x=0,1,2,\dots$ .
ⓘ 符号： $C_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a}\right)$ ：Charlier多项式, $K_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{p},\NVar{N}\right)$ ：Krawtchouk多项式, $M_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\beta},\NVar{c}\right)$ ：Meixner多项式, $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）,§18.22（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E2 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§18.21（i）,§18.21（i）,§18.21和第18章

§18.21（ii）极限关系和特殊情况

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关键词：: 哈恩类正交多项式,极限关系,特殊情况
笔记：: 对于(18.21.3), (18.21.5),(18.21.7), (18.21.8)参见伊斯梅尔(2009，§6.2，（6.2.34）之后的未编号公式，以及（6.2.17），（6.1.19），(6.1.18)).对于(18.21.1)参见卡林和麦格雷戈(1961, (1.19)).中的三个身份(18.21.2)跟随(18.20.6), (18.20.7),(18.20.8).(18.21.4)以下为(18.20.5)和(18.20.7).(18.21.6)以下为(18.20.6)和(18.20.8).(18.21.9)以下为(18.22.2),表中的第4行18.22.1, (18.9.1)、和表中的第10行18.9.1.(18.21.10)以下为(18.20.9)和(18.20.10).对于(18.21.11)参见Koornwinder公司(1989, (2.6)).(18.21.12)以下为(18.20.10)和(18.5.12).对于图形18.21.1看见阿斯基和威尔逊(1985，第46页）,连同中的修正Askey公司(1985).
参考人：: §18.19,§18.21（ii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/18.21.ii
添加（与1.2.0一起生效）：: 方程式(18.21.13)已添加。
另请参见：: 的注释§18.21和第18章

哈恩 $\to$ 克劳楚克

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另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.3		$\lim_{t\to\infty}Q_{n}\left(x;pt,(1-p)t,N\right)=K_{n}\left(x;p,N\right).$
ⓘ 符号： $Q_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\alpha},\NVar{\beta},\NVar{N}\right)$ ：哈恩多项式, $K_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{p},\NVar{N}\right)$ ：Krawtchouk多项式, $N个$ ：正整数, $t吨$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

哈恩 $\to$ 梅克斯纳

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另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.4		$\lim_{N\to\infty}Q_{n}\left(x;\beta-1,N(c^{-1}-1),N\right)=M_{n}\left(x;\beta,% c\right).$
ⓘ 符号： $Q_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\alpha},\NVar{\beta},\NVar{N}\right)$ ：哈恩多项式, $M_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\beta},\NVar{c}\right)$ ：Meixner多项式, $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

哈恩 $\to$ 雅各比

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关键词：: 雅可比多项式,与其他正交多项式的相互关系
另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.5		$\lim_{N\to\infty}Q_{n}\left(Nx;\alpha,\beta,N\right)=\frac{P^{(\alpha,\beta)}_% {n}\left(1-2x\right)}{P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(1\right)}.$
ⓘ 符号： $Q_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\alpha},\NVar{\beta},\NVar{N}\right)$ ：哈恩多项式, $P^{(\NVar{\alpha},\NVar{\beta})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：雅可比多项式, $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

克劳楚克 $\to$ 沙利耶

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另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.6		$\lim_{N\to\infty}K_{n}\left(x;N^{-1}a,N\right)=C_{n}\left(x;a\right).$
ⓘ 符号： $C_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a}\right)$ ：Charlier多项式, $K_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{p},\NVar{N}\right)$ ：Krawtchouk多项式, $N个$ ：正整数, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

梅克斯纳 $\to$ 沙利耶

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另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.7		$\lim_{\beta\to\infty}M_{n}\left(x;\beta,a(a+\beta)^{-1}\right)=C_{n}\left(x;a% \right).$
ⓘ 符号： $C_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a}\right)$ ：Charlier多项式, $M_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\beta},\NVar{c}\right)$ ：Meixner多项式, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）,§18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

梅克斯纳 $\to$ 拉盖尔

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关键词：: 拉盖尔多项式,与其他正交多项式的相互关系
另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.8		$\lim_{c\to 1}M_{n}\left((1-c)^{-1}x;\alpha+1,c\right)=\frac{L^{(\alpha)}_{n}% \left(x\right)}{L^{(\alpha)}_{n}\left(0\right)}.$
ⓘ 符号： $L^{(\NVar{\alpha})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：拉盖尔（或广义拉盖尔）多项式, $M_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\beta},\NVar{c}\right)$ ：Meixner多项式, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

沙利耶 $\to$ 埃尔米特

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关键词：: 埃尔米特多项式,与其他正交多项式的相互关系
另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.9		$\lim_{a\to\infty}(2a)^{\frac{1}{2}n}C_{n}\left((2a)^{\frac{1}{2}}x+a;a\right)=% (-1)^{n}H_{n}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $C_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a}\right)$ ：Charlier多项式, $H_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

连续Hahn $\to$ 梅克斯纳–Pollaczek

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另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.10		$\lim_{t\to\infty}t^{-n}p_{n}\left(x-t;\lambda+it,-t\tan\phi,\lambda-it,-t\tan% \phi\right)=\frac{(-1)^{n}}{(\cos\phi)^{n}}P^{(\lambda)}_{n}\left(x;\phi\right).$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\phi}\right)$ ：Meixner–Pollaczek多项式, $p_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a},\NVar{b},\NVar{\overline{a}},\NVar{% \overline{b}}\right)$ ：连续Hahn多项式, $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\tan\NVar{z}$ ：切线函数, $t吨$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）,§18.22（ii）,§18.22（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.11		$p_{n}\left(x;a,a+\tfrac{1}{2},a,a+\tfrac{1}{2}\right)=2^{-2n}{\left(4a+n\right% )_{n}}P^{(2a)}_{n}\left(2x;\tfrac{1}{2}\pi\right).$
ⓘ 符号： $P^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\phi}\right)$ ：Meixner–Pollaczek多项式, ${\left(\NVar{a}\right)_{\NVar{n}}}$ ：Pochhammer符号（或移位阶乘）, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $p_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{a},\NVar{b},\NVar{\overline{a}},\NVar{% \overline{b}}\right)$ ：连续Hahn多项式, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

梅克斯纳–Pollaczek $\to$ 拉盖尔

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关键词：: 拉盖尔多项式,与其他正交多项式的相互关系
另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.12		$\lim_{\phi\to 0}P^{(\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2})}_{n}\left(-(2\phi)^{-1}x;% \phi\right)=L^{(\alpha)}_{n}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $L^{(\NVar{\alpha})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：拉盖尔（或广义拉盖尔）多项式, $P^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\phi}\right)$ ：Meixner–Pollaczek多项式, $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）,§18.24,§18.30（v）永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

梅克斯纳–Pollaczek $\to$ 埃尔米特

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添加（与1.2.0一起生效）：: 这一段也是(18.21.13)已添加。
另请参见：: 的注释§18.21（ii）,§18.21和第18章

18.21.13		$n!\lim_{\lambda\to\infty}\lambda^{-n/2}P^{(\lambda)}_{n}\left(x{\lambda}^{1/2}% ;\pi/2\right)=H_{n}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $H_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：Hermite多项式, $P^{(\NVar{\lambda})}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x};\NVar{\phi}\right)$ ：Meixner–Pollaczek多项式, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $n个$ ：非负整数和 $x个$ ：实变量参考人： §18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.30（v）,勘误表（V1.2.0）§18.21 永久链接： http://dlmf.nist.gov/18.21.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司添加（根据1.2.0生效）：添加了此等式。另请参见：的注释§18.21（ii）,§18.21（ii）,§18.21和第18章

§§中限制的图形表示18.7（iii）,18.21（ii）、和18.26（ii）由Askey公司方案如图所示18.21.1.

见随附文本 — 图18.21.1：Askey方案。Hermite的自由实数参数为零多项式。方案中每上升一行增加一个，以Wilson和Racah的四个自由实数参数达到顶点多项式。（这是按照惯例，真实和想象对于连续Hahn多项式。）放大

18.20Hahn类：显式表示 18.22Hahn类：递归关系和差异

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§18.21哈恩类：相互关系

目录

§18.21（i）二元性

哈恩与对偶哈恩的对偶性

自我二元性

§18.21（ii）极限关系和特殊情况

哈恩→克劳楚克

哈恩→梅克斯纳

哈恩→雅各比

克劳楚克→沙利耶

梅克斯纳→沙利耶

梅克斯纳→拉盖尔

沙利耶→埃尔米特

连续Hahn→梅克斯纳–Pollaczek

梅克斯纳–Pollaczek→拉盖尔

梅克斯纳–Pollaczek→埃尔米特

哈恩 $\to$ 克劳楚克

哈恩 $\to$ 梅克斯纳

哈恩 $\to$ 雅各比

克劳楚克 $\to$ 沙利耶

梅克斯纳 $\to$ 沙利耶

梅克斯纳 $\to$ 拉盖尔

沙利耶 $\to$ 埃尔米特

连续Hahn $\to$ 梅克斯纳–Pollaczek

梅克斯纳–Pollaczek $\to$ 拉盖尔

梅克斯纳–Pollaczek $\to$ 埃尔米特