16广义超几何函数与MeijerG公司-功能广义超几何函数 16.2定义和分析属性 16.4参数统一性

§16.3导数与邻接函数

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永久链接：: http://dlmf.nist.gov/16.3
另请参见：: 的注释第16章

§16.3（i）微分公式

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关键词：: 衍生物,广义超几何函数
笔记：: 请参见卢克(1975, §5.2.2)。对于(16.3.5)看见Fleury和Turbiner(1994).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/16.3.i
另请参见：: 的注释§16.3和第16章

16.3.1		$\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{{\mathrm{d}z}^{n}}{{}_{p}F_{q}}\left({a_{1},\dots,a_{p% }\atop b_{1},\dots,b_{q}};z\right)=\frac{{\left(\mathbf{a}\right)_{n}}}{{\left% (\mathbf{b}\right)_{n}}}{{}_{p}F_{q}}\left({a_{1}+n,\dots,a_{p}+n\atop b_{1}+n% ,\dots,b_{q}+n};z\right),$
ⓘ 符号： ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{a_{1},\dots,a_{p}};\NVar{b_{1},\dots,b_% {q}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{a_{1},\dots,a_{p}}\atop\NVar{b_{1},% \dots,b_{q}}};\NVar{z}\right)$ ：或者 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{\mathbf{a}};\NVar{\mathbf{b}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{\mathbf{a}}\atop\NVar{\mathbf{b}}};% \NVar{z}\right)$ 广义超几何函数, ${\left(\NVar{a}\right)_{\NVar{n}}}$ ：Pochhammer符号（或移位阶乘）, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x$ , $第页$ ：非负整数, $q个$ ：非负整数, $z（z）$ ：复杂变量, $a,a_{1},\ldots,a_{p}$ ：真实或复杂参数和 $b,b_{1},\ldots,b_{q}$ ：真实或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/16.3.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§16.3（i）,§16.3和第16章

16.3.2		$\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{{\mathrm{d}z}^{n}}\left(z^{\gamma}{{}_{p}F_{q}}\left({% a_{1},\dots,a_{p}\atop b_{1},\dots,b_{q}};z\right)\right)={\left(\gamma-n+1% \right)_{n}}z^{\gamma-n}{{}_{p+1}F_{q+1}}\left({\gamma+1,a_{1},\dots,a_{p}% \atop\gamma+1-n,b_{1},\dots,b_{q}};z\right),$
ⓘ 符号： ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{a_{1},\dots,a_{p}};\NVar{b_{1},\dots,b_% {q}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{a_{1},\dots,a_{p}}\atop\NVar{b_{1},% \dots,b_{q}}};\NVar{z}\right)$ ：或者 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{\mathbf{a}};\NVar{\mathbf{b}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{\mathbf{a}}\atop\NVar{\mathbf{b}}};% \NVar{z}\right)$ 广义超几何函数, ${\left(\NVar{a}\right)_{\NVar{n}}}$ ：Pochhammer符号（或移位阶乘）, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的衍生物 $（f）$ 关于 $x$ , $第页$ ：非负整数, $q个$ ：非负整数, $z（z）$ ：复杂变量, $a,a_{1},\ldots,a_{p}$ ：真实或复杂参数和 $b,b_{1},\ldots,b_{q}$ ：真实或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/16.3.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§16.3（i）,§16.3和第16章

16.3.3		$\left(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}z\right)^{n}\left(z^{\gamma-1}{{}_{p+1}F_% {q}}\left({\gamma,a_{1},\dots,a_{p}\atop b_{1},\dots,b_{q}};z\right)\right)={% \left(\gamma\right)_{n}}z^{\gamma+n-1}{{}_{p+1}F_{q}}\left({\gamma+n,a_{1},% \dots,a_{p}\atop b_{1},\dots,b_{q}};z\right),$
ⓘ 符号： ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{a_{1},\dots,a_{p}};\NVar{b_{1},\dots,b_% {q}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{a_{1},\dots,a_{p}}\atop\NVar{b_{1},% \dots,b_{q}}};\NVar{z}\right)$ ：或者 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{\mathbf{a}};\NVar{\mathbf{b}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{\mathbf{a}}\atop\NVar{\mathbf{b}}};% \NVar{z}\right)$ 广义超几何函数, ${\left(\NVar{a}\right)_{\NVar{n}}}$ ：Pochhammer符号（或移位阶乘）, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x$ , $第页$ ：非负整数, $q个$ ：非负整数, $z（z）$ ：复杂变量, $a,a_{1},\ldots,a_{p}$ ：真实或复杂参数和 $b,b_{1},\ldots,b_{q}$ ：真实或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/16.3.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§16.3（i）,§16.3和第16章

16.3.4		$\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{{\mathrm{d}z}^{n}}\left(z^{\gamma-1}{{}_{p}F_{q+1}}% \left({a_{1},\dots,a_{p}\atop\gamma,b_{1},\dots,b_{q}};z\right)\right)={\left(% \gamma-n\right)_{n}}z^{\gamma-n-1}{{}_{p}F_{q+1}}\left({a_{1},\dots,a_{p}\atop% \gamma-n,b_{1},\dots,b_{q}};z\right).$
ⓘ 符号： ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{a_{1},\dots,a_{p}};\NVar{b_{1},\dots,b_% {q}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{a_{1},\dots,a_{p}}\atop\NVar{b_{1},% \dots,b_{q}}};\NVar{z}\right)$ ：或者 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{\mathbf{a}};\NVar{\mathbf{b}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{\mathbf{a}}\atop\NVar{\mathbf{b}}};% \NVar{z}\right)$ 广义超几何函数, ${\left(\NVar{a}\right)_{\NVar{n}}}$ ：Pochhammer符号（或移位阶乘）, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x$ , $第页$ ：非负整数, $q个$ ：非负整数, $z（z）$ ：复杂变量, $a,a_{1},\ldots,a_{p}$ ：真实或复杂参数和 $b,b_{1},\ldots,b_{q}$ ：真实或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/16.3.E4 编码： TeX公司,pMML公司,png公司另请参见：的注释§16.3（i）,§16.3和第16章

这些标识的其他版本可以借助于操作员身份

16.3.5		$\left(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}z\right)^{n}=z^{n}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}% {{\mathrm{d}z}^{n}}z^{n},$
$n=1,2,\dots$ .
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x$ 和 $z（z）$ ：复杂变量参考人： §16.3（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/16.3.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§16.3（i）,§16.3和第16章

§16.3（ii）相邻函数

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关键词：: 连续函数,广义超几何函数
笔记：: 请参见雷恩维尔(1960, §48).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/16.3.ii
另请参见：: 的注释§16.3和第16章

两个广义超几何函数 ${{}_{p}F_{q}}\left(\mathbf{a};\mathbf{b};z\right)$ 是（通用）相邻的如果它们具有相同的值对 $第页$ 和 $q个$ 、和相应的参数因整数而异。如果 $p\leq q+1$ ，然后是任何 $q+2$ 不同的连续函数是线性相关的。示例由提供以下递归关系：

16.3.6		$z{{}_{0}F_{1}}\left(-;b+1;z\right)+b(b-1){{}_{0}F_{1}}\left(-;b;z\right)-b(b-1% ){{}_{0}F_{1}}\left(-;b-1;z\right)=0,$
ⓘ 符号： ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{a_{1},\dots,a_{p}};\NVar{b_{1},\dots,b_% {q}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{a_{1},\dots,a_{p}}\atop\NVar{b_{1},% \dots,b_{q}}};\NVar{z}\right)$ ：或者 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{\mathbf{a}};\NVar{\mathbf{b}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{\mathbf{a}}\atop\NVar{\mathbf{b}}};% \NVar{z}\right)$ 广义超几何函数, $z（z）$ ：复杂变量和 $b,b_{1},\ldots,b_{q}$ ：真实或复杂参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/16.3.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§16.3（ii）,§16.3和第16章

16.3.7		${{}_{3}F_{2}}\left({a_{1}+2,a_{2},a_{3}\atop b_{1},b_{2}};z\right)a_{1}(a_{1}+% 1)(1-z)+{{}_{3}F_{2}}\left({a_{1}+1,a_{2},a_{3}\atop b_{1},b_{2}};z\right)a_{1% }\left(b_{1}+b_{2}-3a_{1}-2+z(2a_{1}-a_{2}-a_{3}+1)\right)+{{}_{3}F_{2}}\left(% {a_{1},a_{2},a_{3}\atop b_{1},b_{2}};z\right)\left((2a_{1}-b_{1})(2a_{1}-b_{2}% )+a_{1}-a_{1}^{2}-z(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})\right)-{{}_{3}F_{2}}\left({a_{1}% -1,a_{2},a_{3}\atop b_{1},b_{2}};z\right)(a_{1}-b_{1})(a_{1}-b_{2})=0.$
ⓘ 符号： ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{a_{1},\dots,a_{p}};\NVar{b_{1},\dots,b_% {q}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{a_{1},\dots,a_{p}}\atop\NVar{b_{1},% \dots,b_{q}}};\NVar{z}\right)$ ：或者 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{\mathbf{a}};\NVar{\mathbf{b}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{\mathbf{a}}\atop\NVar{\mathbf{b}}};% \NVar{z}\right)$ 广义超几何函数, $z（z）$ ：复杂变量, $a,a_{1},\ldots,a_{p}$ ：真实或复杂参数和 $b,b_{1},\ldots,b_{q}$ ：真实或复杂参数参考人： §16.4（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/16.3.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§16.3（ii）,§16.3和第16章

更多示例参见§§13.3（i）,15.5（ii）、和以下参考文献：雷恩维尔(1960, §48),Wimp公司(1968)、和卢克(1975, §5.13).

16.2定义和分析属性 16.4参数统一性

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§16.3导数与邻接函数

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§16.3（i）微分公式

§16.3（ii）相邻函数