§16.23数学应用

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§16.23（i）微分方程

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经典力学和数学物理中的各种问题导致Picard–Fuchs方程。这些方程通常可以根据广义超几何函数与广义单值函数超几何函数在描述解决方案。例如，请参见，伯格伦德等。(1994).

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以下随机图中发生了实质性转换 $n个$ 顶点，当边数变为近似值 $\frac{1}{2}n$ .英寸詹森等。(1993)讨论了稀疏分布的极限分布这些图的连通分量，以及三个图的渐近性 ${{}_{2}F_{2}}$ 函数用于计算超额。

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Bieberbach猜想指出，如果 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 是一个单位圆盘到任意复域的保角映射，然后 $|a_{n}|\leq n|a_{1}|$ .在这个猜想的证明中德布兰奇(1985)使用不等式

16.23.1		${{}_{3}F_{2}}\left({-n,n+\alpha+2,\frac{1}{2}(\alpha+1)\atop\alpha+1,\frac{1}{% 2}(\alpha+3)};x\right)>0,$
ⓘ 符号： ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{a_{1},\dots,a_{p}};\NVar{b_{1},\dots,b_% {q}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{a_{1},\dots,a_{p}}\atop\NVar{b_{1},% \dots,b_{q}}};\NVar{z}\right)$ ：或者 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left(\NVar{\mathbf{a}};\NVar{\mathbf{b}};\NVar{z}\right)$ 或 ${{}_{\NVar{p}}F_{\NVar{q}}}\left({\NVar{\mathbf{a}}\atop\NVar{\mathbf{b}}};% \NVar{z}\right)$ 广义超几何函数永久链接： http://dlmf.nist.gov/16.23.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§16.23（iii）,§16.23和第16章

什么时候 $0\leq x<1$ , $\alpha>-2$ 、和 $n=0,1,2,\dots$ .这方面的证据不等式如下所示Askey和Gasper(1976)。另请参阅卡萨里诺夫(1988).

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许多组合恒等式，尤其是涉及二项式和相关恒等式的恒等式系数是超几何恒等式的特殊情况。在佩特科夫舍克等。(1996)给出了这些的自动证明工具身份。