§14.7整数次数和顺序

ⓘ

关键词：: 费雷斯函数,关联的Legendre函数,整数度和顺序
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/14.7
另请参见：: 的注释第14章

§14.7（i） $\mu=0$

ⓘ

关键词：: 费雷斯函数,勒让德多项式,关联的Legendre函数,与其他功能的关系
笔记：: 请参见奥尔弗(1997年b第174、181和188页）.
参考人：: §1.17（iii）,§14.5（ii）,§18.3
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/14.7.i网址
另请参见：: 的注释§14.7和第14章

对于 $n=0,1,2,\dots$ ,

14.7.1		$\mathsf{P}^{0}_{n}\left(x\right)=\mathsf{P}_{n}\left(x\right)=P^{0}_{n}\left(x% \right)=P_{n}\left(x\right),$
$x\in\mathbb{R}$ ,
ⓘ 符号： $\mathsf{P}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类费雷斯函数, $P^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)$ ：关联的第一类勒让德函数, $P_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：勒让德多项式, $\in$ ：的元素, $\mathbb{R}$ ：实线, $\mathsf{P}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)=\mathsf{P}^{0}_{\nu}\left(x\right)$ ：第一类费雷斯函数, $x个$ ：实变量和 $n个$ ：非负整数永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（i）,§14.7和第14章

哪里 $P_{n}\left(x\right)$ 是勒让德次数多项式 $n个$ 。对于的其他属性 $P_{n}\left(x\right)$ 参见第章18.

14.7.2		$\mathsf{Q}^{0}_{n}\left(x\right)=\mathsf{Q}_{n}\left(x\right)=\frac{1}{2}P_{n}% \left(x\right)\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)-W_{n-1}(x),$
ⓘ 符号： $\mathsf{Q}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类费雷斯函数, $P_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：勒让德多项式, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\mathsf{Q}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)=\mathsf{Q}^{0}_{\nu}\left(x\right)$ ：第二类费雷斯函数, $x个$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $W_{n-1}(x)$ ：数量 A&S参考： 8.6.19 永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（i）,§14.7和第14章

哪里 $W_{-1}(x)=0$ 、和用于 $n\geq 1$ ,

14.7.3		$W_{n-1}(x)=\sum_{s=0}^{n-1}\frac{(n+s)!(\psi\left(n+1\right)-\psi\left(s+1% \right))}{2^{s}(n-s)!(s!)^{2}}{(x-1)^{s}};$
ⓘ 符号： $\psi\left(\NVar{z}\right)$ ：psi（或digamma）功能, $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $x个$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $W_{n-1}(x)$ ：数量永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（i）,§14.7和第14章

等效地，

14.7.4		$W_{n-1}(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}P_{k-1}\left(x\right)P_{n-k}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $P_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：勒让德多项式, $x个$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $W_{n-1}(x)$ ：数量 A&S参考： 8.6.19 永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（i）,§14.7和第14章

14.7.5	$\displaystyle W_{0}(x)$	$\displaystyle=1,$
	$\displaystyle W_{1}(x)$	$\displaystyle=\tfrac{3}{2}x,$
	$\displaystyle W_{2}(x)$	$\displaystyle=\tfrac{5}{2}x^{2}-\tfrac{2}{3}.$
ⓘ 符号： $x个$ ：实变量和 $W_{n-1}(x)$ ：数量永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E5 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§14.7（i）,§14.7和第14章

接下来，

14.7.6		$Q^{0}_{n}\left(x\right)=Q_{n}\left(x\right)=n!\boldsymbol{Q}^{0}_{n}\left(x% \right)=n!\boldsymbol{Q}_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $Q^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)$ ：第二类关联的勒让德函数, $\boldsymbol{Q}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)$ ：Olver关联的Legendre函数, $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $Q_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)=Q^{0}_{\nu}\left(z\right)$ ：第二类勒让德函数, $\boldsymbol{Q}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)=\boldsymbol{Q}^{0}_{\nu}\left% (z\right)$ ：Olver关联的Legendre函数, $x个$ ：实变量和 $n个$ ：非负整数参考人： §14.21（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（i）,§14.7和第14章

哪里

14.7.7		$Q_{n}\left(x\right)=\frac{1}{2}P_{n}\left(x\right)\ln\left(\frac{x+1}{x-1}% \right)-W_{n-1}(x),$
$n=0,1,2,\dots$ .
ⓘ 符号： $P_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：勒让德多项式, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $Q_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)=Q^{0}_{\nu}\left(z\right)$ ：第二类勒让德函数, $x个$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $W_{n-1}(x)$ ：数量参考人： §14.21（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（i）,§14.7和第14章

§14.7（ii）罗德里格斯型公式

ⓘ

关键词：: 费雷斯函数,罗德里格斯型公式,关联的Legendre函数
笔记：: 请参见奥尔弗(1997年b第174和181-182页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/14.7.ii
另请参见：: 的注释§14.7和第14章

对于 $m=0,1,2,\dots$ 、和 $n=0,1,2,\dots$ ,

14.7.8	$\displaystyle\mathsf{P}^{m}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}}{{% \mathrm{d}x}^{m}}\mathsf{P}_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $\mathsf{P}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类费雷斯函数, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\mathsf{P}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)=\mathsf{P}^{0}_{\nu}\left(x\right)$ ：第一类费雷斯函数, $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章
14.7.9	$\displaystyle\mathsf{Q}^{m}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}}{{% \mathrm{d}x}^{m}}\mathsf{Q}_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $\mathsf{Q}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类费雷斯函数, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\mathsf{Q}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)=\mathsf{Q}^{0}_{\nu}\left(x\right)$ ：第二类费雷斯函数, $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章

14.7.10		$\mathsf{P}^{m}_{n}\left(x\right)=(-1)^{m+n}\frac{\left(1-x^{2}\right)^{m/2}}{2% ^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^{m+n}}{{\mathrm{d}x}^{m+n}}\left(1-x^{2}\right)^{n}.$
ⓘ 符号： $\mathsf{P}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类费雷斯函数, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数参考人： §14.30（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章

14.7.11	$\displaystyle P^{m}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=\left(x^{2}-1\right)^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}}{{\mathrm{d}x}^% {m}}P_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $P^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)$ ：关联的第一类勒让德函数, $P_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：勒让德多项式, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数参考人： §14.21（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章
14.7.12	$\displaystyle Q^{m}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=\left(x^{2}-1\right)^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}}{{\mathrm{d}x}^% {m}}Q_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $Q^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)$ ：第二类关联的勒让德函数, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $Q_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)=Q^{0}_{\nu}\left(z\right)$ ：第二类勒让德函数, $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章
14.7.13	$\displaystyle P_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{{\mathrm{d}x}^{n}}\left% (x^{2}-1\right)^{n},$
ⓘ 符号： $P_{\NVar{n}}\left(\NVar{x}\right)$ ：勒让德多项式, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $x个$ ：实变量和 $n个$ ：非负整数永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章
14.7.14	$\displaystyle P^{m}_{n}\left(x\right)$	$\displaystyle=\frac{\left(x^{2}-1\right)^{m/2}}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^{m+% n}}{{\mathrm{d}x}^{m+n}}\left(x^{2}-1\right)^{n},$
ⓘ 符号： $P^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)$ ：关联的第一类勒让德函数, $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/14.7.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章
14.7.15	$\displaystyle P^{m}_{m}\left(x\right)$	$\displaystyle=\frac{(2m)!}{2^{m}m!}\left(x^{2}-1\right)^{m/2}.$
ⓘ 符号： $P^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)$ ：关联的第一类勒让德函数, $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $x个$ ：实变量和 $米$ ：非负整数永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E15 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章

什么时候？ $米$ 是均匀的，并且 $m\leq n$ , $\mathsf{P}^{m}_{n}\left(x\right)$ 和 $P^{m}_{n}\left(x\right)$ 是次数多项式 $n个$ 。此外，

14.7.16		$\mathsf{P}^{m}_{n}\left(x\right)=P^{m}_{n}\left(x\right)=0,$
$m>n$ .
ⓘ 符号： $\mathsf{P}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类费雷斯函数, $P^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)$ ：关联的第一类勒让德函数, $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数参考人： §14.18（ii）,§14.21（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E16 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（ii）,§14.7和第14章

§14.7（iii）反射公式

ⓘ

关键词：: 费雷斯函数,反射公式
笔记：: 这些结果可能来自(14.9.8)和(14.9.10).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/14.7.iii
另请参见：: 的注释§14.7和第14章

14.7.17	$\displaystyle\mathsf{P}^{m}_{n}\left(-x\right)$	$\displaystyle=(-1)^{n-m}\mathsf{P}^{m}_{n}\left(x\right),$
ⓘ 符号： $\mathsf{P}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第一类费雷尔函数, $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数参考人： §14.18（iii）,§14.30（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E17 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（iii）,§14.7和第14章
14.7.18	$\displaystyle\mathsf{Q}^{\pm m}_{n}\left(-x\right)$	$\displaystyle=(-1)^{n-m-1}\mathsf{Q}^{\pm m}_{n}\left(x\right).$
ⓘ 符号： $\mathsf{Q}^{\NVar{\mu}}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)$ ：第二类费雷斯函数, $x个$ ：实变量, $米$ ：非负整数和 $n个$ ：非负整数永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E18 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（iii）,§14.7和第14章

§14.7（iv）正在生成函数

ⓘ

关键词：: 费雷斯函数,关联的Legendre函数,生成函数,整数度和顺序
笔记：: 请参见埃尔德莱伊等。(1953a年第154页）和奥尔弗(1997年b第51和185页）.
参考人：: §2.10（iv）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/14.7.iv
另请参见：: 的注释§14.7和第14章

什么时候？ $-1<x<1$ 和 $|h|<1$ ,

14.7.19		$\sum_{n=0}^{\infty}\mathsf{P}_{n}\left(x\right)h^{n}=\left(1-2xh+h^{2}\right)^% {-1/2},$
ⓘ 符号： $\mathsf{P}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)=\mathsf{P}^{0}_{\nu}\left(x\right)$ ：第一类费雷斯函数, $x个$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $小时$ ：变量参考人： §14.21（iii）,§14.7（iv）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E19 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（iv）,§14.7和第14章

14.7.20		$\sum_{n=0}^{\infty}\mathsf{Q}_{n}\left(x\right)h^{n}=\frac{1}{\left(1-2xh+h^{2% }\right)^{1/2}}\*\ln\left(\frac{x-h+\left(1-2xh+h^{2}\right)^{1/2}}{\left(1-x^% {2}\right)^{1/2}}\right).$
ⓘ 符号： $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\mathsf{Q}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)=\mathsf{Q}^{0}_{\nu}\left(x\right)$ ：第二类费雷尔函数, $x个$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $小时$ ：变量永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E20 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（iv）,§14.7和第14章

什么时候？ $-1<x<1$ 和 $|h|>1$ ,

14.7.21		$\sum_{n=0}^{\infty}\mathsf{P}_{n}\left(x\right)h^{-n-1}=\left(1-2xh+h^{2}% \right)^{-1/2}.$
ⓘ 符号： $\mathsf{P}_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{x}\right)=\mathsf{P}^{0}_{\nu}\left(x\right)$ ：第一类费雷斯函数, $x个$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $小时$ ：变量参考人： §14.21（iii）,§14.7（iv）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E21 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（iv）,§14.7和第14章

什么时候？ $x>1$ , (14.7.19)应用于 $|h|<x-\left(x^{2}-1\right)^{1/2}$ 同样，在相同条件下

14.7.22		$\sum_{n=0}^{\infty}Q_{n}\left(x\right)h^{n}=\frac{1}{\left(1-2xh+h^{2}\right)^% {1/2}}\*\ln\left(\frac{x-h+\left(1-2xh+h^{2}\right)^{1/2}}{\left(x^{2}-1\right% )^{1/2}}\right).$
ⓘ 符号： $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $Q_{\NVar{\nu}}\left(\NVar{z}\right)=Q^{0}_{\nu}\left(z\right)$ ：第二类勒让德函数, $x个$ ：实变量, $n个$ ：非负整数和 $小时$ ：变量参考人： §14.21（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/14.7.E22 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§14.7（iv）,§14.7和第14章

最后，当 $x>1$ , (14.7.21)应用于 $|h|>x+\left(x^{2}-1\right)^{1/2}$ .

有关其他生成函数，请参见马格纳斯等。(1966第232-233页）和雷恩维尔(1960，第163–165页、第168页、第170–171页、第184页）.

14.6整数顺序 14.8奇点行为

网站隐私无障碍隐私计划版权漏洞披露无恐惧法案政策《信息自由法》环境政策科学诚信信息质量标准商业.gov 科学.gov 美国.gov

§14.7整数次数和顺序

目录

§14.7（i）μ=0

§14.7（ii）罗德里格斯型公式

§14.7（iii）反射公式

§14.7（iv）正在生成函数

§14.7（i） $\mu=0$