算法933：使用suitesparseQR可靠计算数值秩、零空间基、伪逆解和基本解

审核人：三正桥

秩是矩阵的主要特征之一。实际上，由于测量误差和/或噪声，秩并不明确。因此，确定矩阵的数值秩是一个重要问题。许多应用需要数值秩，例如，在图像处理中过滤噪声。基本上，确定数值秩的问题是将小奇异值与大奇异值分开，当小奇异值和大奇异值之间的差距可能不明显时，这可能很困难。有些软件包可以计算数值等级，例如SuiteSparseQR中的SPQR。本文基于SPQR，作者提出了一个包SPQR_RANK，它是SPQR的改进，它返回计算出的数值秩的正确性指标，并使用空空间的隐式稀疏表示来减少内存需求。它也是SPQR的扩展，因为它产生线性最小二乘解、矩阵数值零空间的正交基以及矩阵的完全正交分解（COD）。包中指标的关键是估计奇异值si和精确奇异值之间误差的界。包中使用的误差范围基于以下等式（第7:21页，等式（18））：正如作者所指出的，方程中的α是一些奇异值，不一定是包中使用的第i个奇异值。这种差异可能导致低估或高估。另一个差异出现在第7:8页，作者声称计算出的数值秩是A+E的精确数值秩，其中A是数据矩阵，误差E的大小是，其中是机器精度。在数值分析中，误差E（称为反向误差）取决于算法和有限精度算法。对于E的大小上限，需要进行反向误差分析。尽管如此，该软件包是一个实用的工具，而不是一个理论工作。论文中报告称，尽管存在差异，但该软件包仍运行良好。当小奇异值和大奇异值之间的差距不明显，并且包返回的上界和下界之间的差异很大时，用户应该谨慎。对于对于更精确的方法（如包中的奇异值分解（SVD）方法或SPQR_COD）来说太大的稀疏矩阵，此包非常有用。在线计算评论服务