我们提供了一个概率和无穷小的观点，说明如何将主成分分析程序（PCA）推广到非线性流形值数据的分析中。从欧几里德PCA过程的概率PCA解释开始，我们展示了如何以不依赖于数据空间线性化的内在方式将PCA推广到流形。利用欧几里德半鞅的随机发展，通过将欧几里得随机过程映射到流形来构造潜在的概率模型。该结构使用协变张量的连接和束来允许主特征向量的全局传输，因此该模型是一个示例，说明了如何使用主纤维束来处理缺乏全局坐标系和方向的问题，而这些是流形值统计的特征。我们展示了曲率如何意味着欧几里德主子空间等价物的不可积性，以及随机流如何为显式构造此类子空间提供一种替代方法。我们描述了参数推断和主成分预测的估计过程，并给出了嵌入曲面上模型属性的示例。
