显示所有既可4-色又不可3-色的图的语言是coNP-hard

Question

正如标题所述，我需要证明所有既可4-色又不可3-色的图的语言都是coNP-hard。

我不是在寻找一个解决方案，但一个线索或什么东西可以帮助我培养对coNP问题的直觉，这将非常有用。

我试着减少$\上划线{\text{3-Col}}$问题和失败，我也尝试减少类似的$\上划线{\text{3-Col}}\cup\text{2-Col}$（因为我证明了它是一个NP完全问题的补充）但没有得到任何结果，因为。在这两种情况下，我只是无法确保给定一个非3色图，我会输出一个4色图。

我们一如既往地感谢您的时间和帮助。

Answer 1

让我们用以下事实来扭转这个问题L美元$是$\text{NP}$-严厉的执法官$\上划线{L}$是$\text｛coNP｝$-很难。你想表现出来$$\text{3-Col}\cup\上划线{\text{4-Col}}\text{是NP-hard}$$要做到这一点，我们应该挖掘一些证据$\text{3-列}$是$\text｛NP｝$-很难。这个通常的证明这是从$\text{3-SAT}$每个3CNF配方奶粉美元\斐$构造图形G美元$这样的话$$\phi\in\text{SAT}\iff G\in\text{3-Col}$$我想让你仔细看看减价情况。如果我们能证明G美元$是总是4色，然后我们就完成了；仔细做好展示的案例$$\phi\in\text{SAT}\iff G\in\text{3-Col}\cup\上划线{\text{4-Col}}$$