介绍
调查“大”数字。 什么是大数字？ 以下示例可能会指导您的调查。 一家银行被抢劫了一百万疯子。 移动它们需要多长时间？ 它们的重量是多少？ 它们将占用多少空间？ 你需要多大的游泳池来容纳世界上所有的血液？ 是 10^{100} 非常大？ 有人写下的最大数字是什么（查看过去几年的吉尼斯世界纪录）？ 这个数字是怎么来的？ 电脑条形码（你在买的东西上看到的条形码）是如何工作的？ 这是编码理论在工作中的一个例子。 研究编码理论——有很多书的标题都是“编码理论简介”（这不是关于密码的）。 工具书类 : [ 镀锌1 ], [ 镀锌2 ]、和[ 镀锌3 ]. 通过观察一个数字的最后一位是否为0，很容易检查它是否可以被10整除。 你能找到多少其他的“可分性测试”？ 除以5或7或9？ 他们为什么工作？ 参考文献： [ 加尔1 ]. 现在大多数电脑都能以这种或那种方式处理声音。 他们将声音存储为数字序列。 很多数字。 比如说，每秒40000次。 当你玩这些数字时会发生什么？ 每个数字加10。 将每个数字乘以10。 除以10。 取绝对值。 取一个声音，将其与另一个声音相加（即将序列中对应的数字对相加）。 将它们相乘。 把他们分开。 取一个声音，并将其添加到自身的移位副本中。 按顺序排列数字。 把它们往后转。 每三个数字就扔掉一个。 取数字的正弦。 摆正它们。 对于每个数学运算，您可以在计算机扬声器上播放结果声音，并听到发生了什么变化。 一点点编程，你就会得到一些非常奇怪的效果。 然后尝试从某种信号处理理论来理解这一点。 你首先必须了解声音是如何存储的。 尽你所能找出斐波那契数列，0，1，1，2，3，5，8，…。 特别是，它们在自然界的什么地方出现？ 例如，看看松果上的螺旋-按照圆锥体的模式，一个螺旋向左，另一个向右。 圆锥体将被“平行四边形”覆盖，平行四边体两侧的种子数（总是？）将是两个相邻的斐波那契数。 例如5和8。 植物上的菠萝、花瓣和叶子也是如此。 什么是中庸？ 研究它在艺术、建筑、生物学和几何学中的表现，以及它与连分数、斐波那契数的关系。 你还能发现什么？ 尽你所能找出加泰罗尼亚数字1、1、2、5、14、42… 研究三角形数字。 如果这还不够，可以做正方形、五边形数、六边形数等。冒险进入第三维度甚至第四维度。 参考文献： [ C&G公司 ]. 建立模型来说明渐近结果，如斯特林公式或素数定理。 有一个众所周知的装置来说明二项式分布。 大理石从顶部掉落，遇到许多针，然后掉入细胞中，根据二项式分布分布。 通过改变销的位置，人们应该能够获得其他类型的分布（双峰、倾斜、近似矩形等）。 研究圆周率的历史和它的许多近似方法。 计算Pi的新位数–请参阅网站[ 圆周率 ]来了解这意味着什么。 使用蒙特卡罗方法查找面积或估计pi。 （不要使用随机数，而是将一堆小物体扔到所需区域，并将区域内物体的数量作为矩形框中总数的一部分进行计数）。 探索埃及分数。 特别考虑Erdös和Sierpinski的猜想：形式的每一个分数 \压裂{4}{n}或压裂{5}{n{，n\geq3 可以写在表格中 \压裂{1}{a}+\压裂{1{b}+\裂缝{1}}{c} ，其中 一 < b条 < c 、和 一 , b条 、和 c 是正整数。 看看你能发现什么。 参考文献： [ 炖 ], [ 标准普尔 ]. 看看不同的碱基在我们的文化中是如何使用的，以及它们在其他文化中是怎样使用的。 收集示例：时间、日期等。看看其他文化是如何书写他们的数字系统的。 演示如何使用玛雅基数20进行加法，也许可以与尝试使用罗马数字进行加法进行比较（甚至可能吗？）探索算盘的历史和用法。 参考文献： [ 贝克 ], [ Ifr公司 ]. 有几种方法可以用手指和手进行计数和计算。 其中一些方法仍在常用。 探索其中之一背后的数学。 参考文献： [ Ifr公司 ].
在某些时候，慈善机构会打电话给愿意提取二手物品在商店出售的家庭。 他们经常一次做一个特定的地理区域。 他们的问题是，一旦他们知道皮卡车在哪里，就要决定最有效的路线来收集。 了解他们是如何做到这一点的，并调查改进他们的程序。 关于扫雪机清理城市街道或垃圾收集，也可以提出类似的问题。 工具书类 ：欧几里德之旅，中国邮递员问题——图论的大多数书籍中都有相关信息，但其中一个特别有趣的是[ B和C ]. 应如何设置救护站，以便更好地满足社区的需求？ 各大医院如何安排手术室的使用？ 他们是否以尽可能最好的方式进行操作，以便每天完成最多数量的操作？ 上述参考可能会有所帮助。 NBA是如何制定篮球时间表的？ 考虑到比赛地点之间的距离、主队优势等因素，你会如何制定这样的时间表。？ 你能为当地的一场比赛制定一个好的时间表吗？ 参考文献： [ D、 L&W公司 ]. 工厂如何安排自行车的生产？ 哪些部分先放在一起？ 生产的每个阶段需要多少人工作？ 参考文献： [ 格拉 ]. 寻找解决旅行推销员问题的新策略。
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博弈论是什么？它在哪里应用？ -
研究游戏和获胜策略——也许探索一个不知道获胜策略的游戏。 分析减法游戏（类似尼姆的游戏，两个玩家交替地从堆中取出一些bean，这些数字限制在给定的减法集内）。 参考文献： [ 贝尔 ]，（本书包含数百种其他游戏，完整分析未知，例如蟾蜍和青蛙）[ 家伙 ]（特别注意最后一节，其中有很多问题），第1卷[ 加德3 ]. -
十只青蛙坐在原木上，一边是五只绿色的青蛙，另一边是五个棕色的青蛙，中间隔着一个空座位。 他们决定调换位置。 唯一允许的动作是跳过一只不同颜色的青蛙进入一个空白区域或跳入相邻的空间。 最小移动次数是多少？ 如果两边各有100只青蛙怎么办？ 根据你们关注的是青蛙的颜色、动作的类型还是空旷的空间，答案会揭示出有趣的模式。 证明它有效也很有趣——它可以导致递归。 还有一个简单的证明，当你开始的时候，它并不是很明显。 寻找并探索其他类似的问题——其中最著名的是河内塔。 -
试试“蒙蒂霍尔”效果。 三扇门中的一扇门后面有一个奖品。 你选了第一扇门，他告诉你奖品不在第二扇门后面，然后让你选择换到第三扇门还是留在第一扇门，你该怎么办？ 为什么要切换？ 制作一个展览并进行试验，以“证明”这是真的。找出转换的数学原因。 -
图是由点（称为顶点）和连接点对的线（称为边）组成的数学结构。 有很多游戏可以在图表上进行，在寻找获胜策略时需要用到很多数学知识。 查看网站[ 数学硕士 ]获取想法。 -
研究基于数学的纸牌戏法和魔术。 一些世界上最好的设计是由数学家/统计学家Persi Diaconis设计的。 参考文献： [ 阿尔布 ], [ 加德3 ]. -
所有形式的赌博都是基于概率的。 调查当你玩21点、轮盘赌等游戏时，赌场期望你赢多少钱。研究各种彩票并比较它们。 人们应该买彩票吗？ 为什么三个人在扑克中击败了两对？ 了解为什么不同类型的手按原样排列。 参考文献： [ 加尔1 ], [ Col（列） ].
台球问题：如果你有一个没有摩擦的矩形桌子，并以一定角度发送台球 \θ ，它会回到原来的位置吗？ 使用Sketchpad（或Cabri）中的图表进行调查。 如果它不返回到同一点，它会通过表上的所有点吗？ 答案取决于表格的尺寸吗？ 制作一个草图，在其中可以更改桌子的尺寸和球的方向，并探索通过10次或20次反弹的路径。 圆形台球桌上会发生什么？ 制作动态几何图元草图。 平地和球体。 如果你住在平地（飞机）上，你能造一辆存在于飞机上并能工作的自行车吗？ 你能在球体上做同样的事吗？ 在平坦的空间中探索其他“机器”。 参考文献： [ 露水 ], [ Hin公司 ]. 在中对问题有很好的描述[ 加尔1 ], [ 加德2 ]. 球面几何有许多方面可以研究。 探索球体上三角形的同余。 其他有用的工具还有一个塑料球体，带有半球形的“头顶透明胶片”、大圆尺、指南针等。你也可以从工艺车间用塑料球体制作非常有效的模型，并为尺子切断塑料容器。 探索球体上的四边形及其对称性。 有没有一个族具有平行四边形的大部分特性？ 它们有什么对称性？ 哪两个属性（例如对角相等）足以证明所有其他属性？ 什么样的长度和角度等式足以证明两组四点（四边形或四边形……）是一致的？ （直接导致计算机辅助设计中未解决的研究问题。）有关更多参考，请联系 whiteley@mathstat.yorku.ca。 ) 建立模型，显示具有相同底面和高度的平行四边形具有相同的面积。 （有三维模拟吗？）这可以使用基于解剖的物理模型，对毕达哥拉斯定理进行纯粹的视觉证明。 圆的面积公式也可以这样表示，方法是建立毕达哥拉斯定理的一个演示，但要用“斜边上半圆的面积等于其他两边半圆面积之和”来表示 参考文献： [ 日本航空公司 ]. 研究规则固体（柏拉图固体和阿基米德固体）及其性质、几何形状和在自然界中的出现（例如病毒形状、富勒烯分子、晶体）。 构建模型。 参考文献： [ 加德2 ]，第2卷，共页[ 加德3 ], [ 日本航空公司 ]. 考虑使用相同大小的形状平铺平面。 什么是可能的，什么是不可能的？ 尤其可以看出，任何四边形状都可以平铺平面。 5面怎么样？ 在几何程序中绘制草图（Sketchpad、Cabri或使用Kali（可从几何中心免费获得，或爬行动物：Swarthmore数学论坛上提供的演示版本，可在网站上找到） 参考文献： [ G&S公司 ], [ 斯特伊 ]. 查看马丁·加德纳的书籍。 画出并列出各种曲线的任何有趣特性：渐屈线、渐开线、轮盘线、踏板曲线、贝壳线、顺索线、旋转线、焦散线、螺旋线、椭圆等 工具书类 : [ C&R公司 ]（也有很多其他想法）[ 锁定 ]. 制作一系列多面体，例如阿基米德立体，或Deltahedra（其面都是等边三角形），或等边分区面，或者，对于雄心勃勃的59个等角面体。 参考文献： [ 余额 ]（充满了很多想法）[ CDF&P公司 ], [ 文 ], [ S&W公司 ], [ 标准普尔（S&F） ]. 什么样的多面体形状是公平的“骰子”？ 物理性质是什么？ 几何特性是什么？ 单词“多面体”的词根是什么（为什么这个词适合用作骰子？）你能列出所有可能的形状吗？ 可以显示多少张脸？ 游戏中实际使用了哪些其他（非多面体）形状？ 晶体中出现什么多面体形状？ 列出全部。 为什么会出现这些？ 为什么没有其他形状出现？ 大的外部形状和内部“分子连接”之间的联系是什么？ 参考文献： [ 森 ] 莫理的三角形是什么？ 画一张与给定三角形ABC关联的18个Morley三角形的图片。 为每个三角形BHC、CHA、AHB再找出18个，其中H是ABC的正中心。 找出与9点圆和三角形（Simson或Wallace线的包络线）的关系。 调查指南针和直边结构——展示什么是可能的，讨论什么是不可能的。 例如，给定一段长度为一的线段，你能用直尺和指南针“构造”所有的部首吗？ 研究使用折纸（折纸）的构造。 你能造出所有用尺子和指南针造出的图形吗？ 你能造出更多的图形吗？ 参考资料可以在《数学月刊》、《数学杂志》的文章中找到。 摆线曲线是由滚动车轮边缘上的一个点所绘制的曲线。 研究其同时和同时特征及其历史。 构建模型。 假设所有的汽车都有方轮。 你会如何设计这条路，让你一直都能畅通无阻？ 其他车轮形状如何？ 参考文献： [ 摇摆 ]. 用整数边和角度之间的简单线性关系找到尽可能多的三角形。 三角形是直角的特殊情况呢？ 万花筒基本上是两个角度为的镜子 \压裂{\pi}{3} 或 \压裂{\pi}{4} 彼此之间。 当物体放置在镜子之间时，它会被反射6或8次（取决于角度）。 构建一个。 研究它的历史和对称的数学。 在动态几何程序（Cabri或Geometers Sketchpad）中制作万花筒模型。 演示为什么只有某些角度有效 参考文献： [ 余额 ], [ 霍德 ]. 你可以通过将一个二维或三维物体分割成许多几何碎片来制作一个七巧板，这样原始物体就可以用多种方法重建。 Burr拼图是有缺口的棍子的联锁组合。 例如，有些Burr拼图完成后看起来像球体或桶。 请参见[ Cof公司 ]了解如何构建自己的系统。 构建刚性和非刚性几何结构。 探索它们。 刚性结构在哪里使用？ 查找不寻常的应用程序。 这可能包括四边形各边的中点形成平行四边形这一事实的说明（即使四边形不是平面的）。 在三维空间里有相似的东西吗？ 是否有刚性但不包含三角形的平面框架（刚性杆和柔性接头）？ 所有三角形球体都是刚性的（由棍子和接头或铰链塑料件“Polydron”制成）。 用顶点数表示三角形球体中条形数的公式是什么？ 这个公式与3空间中的其他刚性框架有什么关系？ 考虑一个由棒材和接头组成的正方形组成的平面“网格”（比如4个正方形乘4个正方）。 哪个方块的对角线会使它变硬？ 最小数量是多少？ 你能给出一个决定哪些对角线有效的方法吗？ [有一个与此问题相关的COMAP模块。]如果网格由一个梯形和它在半圈后的图像交替组成，那么相同的方法有效吗？ [这是一个尚未彻底解决的研究问题！ whiteley@mathstat.yorku.ca ] 美术馆的问题：看管美术馆所有绘画所需的最少警卫人数是多少？ 警卫被安置在特定的位置，并且必须对墙上的每个点都有直接的视线。 工具书类 : [ 塔克 ], [ 摇摆 ]. 抛物线反射器话筒用于体育赛事中，当您想在嘈杂的区域听到一个人的声音时。 调查这一点，解释正在发生的事情背后的数学原理。
一个国际食品集团由20对夫妇组成，他们一年四次见面吃饭。 每一次，四对情侣在五所房子中的每一所相遇。 小组成员相处得很好； 尽管如此，当一些夫妇不止一次见面时，这一年总有一些不满！ 有没有可能安排四个晚上，让两对情侣见面不超过一次？ 有很多这样的问题。 它们被称为组合设计。 调查其他人。 如果规则是没有两个有共同边界的国家可以有相同的颜色，那么为任何地图上色所需的最少颜色是多少。 是谁发现的？ 为什么证据有趣？ 如果火星也被划分为不同的区域，这样这些区域就被地球上不同的国家所拥有了。 它们也是按同样的规则着色的，但那里的地区必须按它们所属国家的颜色着色。现在需要多少种颜色？ 参考文献： [ 小屋 ], [ 余额 ], [ A&H公司 ]. 发现所有17种“不同”的壁纸。 （想想壁纸上的图案是如何重复的。）这与埃舍尔的作品有什么关系？ 了解此问题的历史。 参考文献： [ Shep公司 ], [ 考克斯 ], [ C&C公司 ]. 调查自我回避的随机行走及其自然发生的位置。 参考文献： [ 斯拉夫语 ]. 调查秘密代码（密码）的创建。 找出它们在哪里使用（今天！）以及如何使用。 看看他们的历史。 用素数建立你自己的。 参考文献： [ F&K公司 ], [ 余额 ]. 用多米诺骨牌覆盖棋盘很容易，这样就不会有两个多米诺骨板重叠，棋盘上的方块也不会被揭开。 如果从棋盘上去掉一个方块怎么办？ （不可能–为什么？）如果两个相邻的角被移除怎么办？ 如果去掉两个对角怎么办？ （可能还是不可能？）如果去掉任何两个方块怎么办？ 使用多米诺骨牌以外的形状怎么样（例如3 1次<br/>1 连接在一起的方块）？ 不同尺寸的棋盘呢？ 参考文献： [ 戈尔 ]. 请参见以下问题。 多边形是将一定数量的等长正方形连接在一起形成的形状。 两个正方形可以做成多少个不同的正方形？ 从3开始，从4开始，从5开始？ 研究多项式的形状。 玩“选择”Pentomino游戏。 参考文献： [ 戈尔 ]，第1卷，共页[ 加德3 ], [ 加德5 ]. 查找显示此内容的图片 1+2+\cdots+n=<br/>\frac｛n（n+1）｝｛2｝ ; 那个 1^2+2^2+\cdots+n^2=<br/>\frac{n（n+1）（2n+1）}{6} ; 还有那个 1^3+2^3+\cdots+n^3=（1+2+<br/>\cdots+n）^2 你还能找到多少其他方法来证明这些身份？ 他们中有谁是“最好的”吗？ 工具书类 : [ 标准普尔 ]或无文字证明，数学杂志的常规特辑。
建立一个真实的太阳系模型，但要小心，因为它不能被限制在展览的范围内。举例说明你将如何在你的城市中定位它。 甚至可以这样做！！ 纳皮尔的骨头是什么？你能用它做什么？ 了解如何构建Koch或“雪花”曲线。 使用计算机根据简单的方程（如Julia集和Mandelbrot集）绘制分形。 参考文献： [ 宠物 ]，请参阅[ 刘 ]例如程序。 什么是分形维数？ 通过查看显示线、面积、实体或科赫曲线（当您将刻度加倍时）发生的情况的示例进行调查。 马丁·加德纳[ 加德6 ]将悖论定义为“任何与常识和直觉相悖的结果，都会引发立即的惊讶情绪。”悖论有不同的类型。 找出所有这些例子，并了解它们的不同之处。 结。 当你在一张纸上打个结，然后小心地把它弄平时，会发生什么？ 什么时候看起来像结的东西才是真正的结？ 看看画结的方法。 工具书类 : [ 斯特伊 ], [ F&S公司 ]. 也可以查看网站[ KnotPlot打结器 ], [ 数学狂人 ]和[ 数学硕士 ]. 结的另一个来源是凯尔特人的石雕和装饰。 调查凯尔特人的结，了解如何从数学上研究这些精心设计。 参考文献： [ 克罗地亚 ], [ M（M） ]. 通过制作弹出式贺卡了解折纸结构。 参考文献： [ 查 ]. 有没有走出二维迷宫的算法？ 三维的呢？ 看看迷宫的历史（有些是非同寻常的）。 你会如何找到迷失在迷宫（二维或三维）中并随机游荡的人？ 你需要多少人才能找到他们？ 探索Penrose瓷砖，并发现其有趣的原因。 参考文献：[ 宠物 ]，大多数关于平铺飞机的书。 调查施泰纳问题——其中一个应用程序涉及电话交换机的位置，以将成本降至最低。 使用PID（比例积分微分）控制器和示波器演示不同功能的集成和区分。 构造一个双摆，并用它来研究混沌。 什么是皮克定理和欧拉定理？ 单独调查他们，或尝试发现他们之间的关系。 参考文献： [ D&R公司 ] 冰棍编织：使用扁平的长棍，飞机上“上下编织”的图案是稳定的（而不是分开飞行）。 用四根棍子找一个图案。 它是独一无二的吗？ 当你（在飞机上）扭转其中一根棍子时，稳定性会发生变化吗？ 找到几个有六根木棍的图案，它们的稳定性取决于交叉位置的特定“几何形状”（即，如果在平面上扭曲其中一根木棍，图案就会变得不稳定）。 你能给出一个识别“良好几何位置”的规则吗。 这里平衡着什么样的“力”和“平衡”？ 对于“好”的武器，你能给出什么一般规则？ [部分信息来源： whiteley@mathstat.yorku.ca。 ]
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