晶体学家利用群论来研究晶体的（整体）对称性。大多数时候，他们会查看一组“等轴测图”：如果R（右）d日是d日-维空间，然后是等距在R（右）d日是函数f：R（右）d日→R（右）d日这样，对于任何x个,年∈R（右）d日，|f(年)–f(x个)| = |年–x个|. 由于两个等距的合成是等距的，而等距的逆是等距的，而恒等式是等距的，因此等距R（右）d日组成一个小组。
我们想知道等距的公式，这是线性代数中的一个练习，对于每个等距fR（右）d日，有一个唯一的向量米和唯一的矩阵M（M）这样，对于每一个x个∈R（右）d日，f(x个) =米+M（M）x个（这样的函数称为仿射的). 没有任何限制米，但有以下限制M（M）.
回想一下基础属于R（右）d日是一组非零向量{b条1, …,b条d日}来自R（右）d日这样每个向量x个∈R（右）d日可能是独特地表示为以下各项的线性组合b条1, …,b条d日，即在表格中x个=a1b条1+…+ad日b条d日，其中1，…，ad日是实数。一个基础是正交的如果其中的向量相互垂直，即对于任何我,j，如果我≠j然后b条我⋅b条j= 0. 正交基是标准正交如果其中的每个向量都是范数1。
矩阵是正交的如果它的列形成正交基，或者等价地，它的行形成正交基。正交矩阵具有各种优良的性质。两个正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵：由于矩阵相乘是相联的，所以正交矩阵形成一组，通常称为正交群尺寸的d日此外，正交矩阵的行列式为1或-1，正交矩阵逆矩阵为其转置矩阵（矩阵的转置是矩阵通过主对角线反射的结果，因此我,j-转置词的词条是我,j-原始矩阵的输入：a我,jt吨=aj,我).
这里我们有一个仿射函数f(x个) =米+M（M）x个是等距的当且仅当M（M）是正交的。
有几种方法可以枚举所有类型的等角图R（右）三.耶鲁大学使用几何结构，而贾科瓦佐使用代数机器。让我们遵循Yale的列举，因为这让我们可以了解几何。：耶鲁所做的就是看固定点：回想一下函数f的不动点：R（右）d日→R（右）d日是一个向量x个这样f(x个) =x个.
我们需要一个概念。安仿射空间或仿射平面在里面R（右）三是点、线、平面或整个空间。线性代数中的一个练习是证明对于任何仿射函数R（右）d日到R（右）d日，其不动点集构成仿射空间。我们用这个事实来分类R（右）三但首先是主要字符（见下图）。
- 给定一个平面，穿过该平面的反射是等距的。
- 给定两个平面，如果它们平行，则两个反射的合成是平移；如果它们不平行，则构成是围绕相交线的旋转。
- 给定三个平面，如果它们都在某一点相交，这是一个旋转反射：围绕第一个平面与平面的交线旋转，然后在第三个平面上进行反射。如果前两个平行，这是一个滑动反射：通过平行镜子的平移和通过第三个镜子的反射。
- 给定四个平面，前两个平面在垂直于后两个平面的线上相交，这四个平面是平行的，这就是一个螺丝。
就这些了。我们通过计数来分类等角线固定点:第页是f的不动点(第页) =第页.
- 如果f有四个不动点，而不是全部在一个平面上，那么不动点集必须是整个空间，f是恒等式。
- 如果f有三个不动点，不是全部在一条线上，但f不是恒等式，则不动点集必须是平面。对于任何x个，如果年固定点平面上最靠近的点x个，线穿过x个和年垂直于该平面。因为f不是恒等式，f必须保持x个平面上的所有点，f(x个)必须是距离线上的点|年–x个|来自年但恰恰相反x个.为所有人重复x个，f必须是一个反射，固定点的平面必须是它的镜子。
- 如果f有两个不动点，并且不是一个反射或恒等式，那么它的不动点集就是一条线。选择一个点x个不要排队，让年=（f(x个) +x个)/2. 设P是包含f不动点的平面年，让r是穿过P的反射，那么r°f是固定P的等距，正如我们已经看到的，r°f就是一个反射，称之为h-1°h是两个反射的组合，因此平移时的旋转没有固定点。
- 如果f只有一个不动点第页，选择x个≠第页，并让年=（f(x个) +x个)/2，让P是通过的平面第页和年垂直于通过f的线(x个)和x个设r为穿过P的反射，则h=r°f为等距固定第页和x个，因此是恒等式、反射或旋转。所以f=r-1°h是反射、旋转或旋转反射；因为它只有一个固定点，所以它必须是一个旋转反射。
- 如果f没有固定点，请选择任意一个第页让g作为翻译x个→x个+ (第页–f(第页)). 然后第页是h=g°f的一个不动点，我们有四个子集。
- 如果h有四个不动点，而不是全部在一条线上，那么h是恒等式，f=g-1°h是翻译。
- 如果h有一个不动点平面，但不是恒等式，则f=g-1°h是平移和反射的组合，是反射（如果三个反射镜都平行）或滑动反射。
- 如果h有一条不动点线但没有平面，则f=g-1°h是平移和旋转的组合，是旋转（如果两个镜子重合）或螺旋旋转。
- 如果h只有一个固定点第页，则f=g-1°h是平移和旋转反演的组合，是滑动反射、旋转反演或反射。
就这样。
还有一点。从矩阵到实数的一个更有用的函数是行列式.两个重要事实。首先，矩阵乘积的行列式是行列式的乘积。其次，当单位矩阵的行列式为1时，反射等距矩阵的行列式为-1。这意味着偶数个反射的合成矩阵（单位、旋转、平移和螺旋）为1，而奇数个反射（反射、旋转反射和滑动）的合成矩阵为-1；注意，当且仅当等距是直接运动时，矩阵为1，否则，如果是间接运动，矩阵为-1。
现在是一组等距线。一组等轴测是一组在合成和逆条件下闭合的等轴测。如果f(x个) =一+M（M）x个和g(x个) =b条+N个x个，则（g∘f）(x个) =b条+N个一+NM公司x个因此f-1(x个) = –M（M）-1一+ –M（M）-1x个.
首先，a点编组是一组等距线修复了一个公共点。最重要的点群是正交群，这是一组固定原点的所有等角线。
然后是成组的翻译。其中最受欢迎的是晶格群：英寸d日-维度空间，一个人有基础b条1, …,b条d日这样等距线x个→b条1+x个, …,x个→b条d日+x个生成等角线的子组（请参见2015年6月20日发布有关生成子组的详细信息). 一个重要的事实。设G是一组等距线，T是G中的平移组，那么T在G中是正规的（参见2015年6月20日发布有关正规子群的详细信息)：如果x个→一+M（M）x个（我们表示[一,M（M）])和x个→b条+x个（我们表示[b条,我])在G中，那么组成也是[一,M（M）] ∘ [b条,我] ∘ [一,M（M）]-1= [一+M（M）b条–M（M）-1一,我]，这是一个翻译，因此在T。
现在说说晶体学家为什么对这些东西感兴趣。在十九世纪，一些胆大的人认为当时政治上错误的固体是由原子构成的观点，于是他们继续研究开普勒他认为晶体可能由规则的原子阵列组成。（这种想法在政治上是不正确的，因为自1800年起，所有思想正确的人都知道原子理论是错误的即使它对化学记帐有用。）如果一个晶体是由相同的原子组成的，如果晶体是对称的，从每个原子看起来都一样，那么这说明了晶体的结构是什么？十九世纪的大部分时间里，人们才提炼出晶体的对称性概念，这一概念将具有以下标准。
作为一种简化，想象一个无限的晶体充满所有的空间。其原子排列将满足：
- 从晶体中的任何原子来看，晶体都是一样的。
- 任何两个原子之间的距离都是最小的。
- 对于空间中的任何平面，平面的两侧都有原子。
我们可以将其提炼为群论语言；从中召回2015年6月20日发布那个轨道一个点的第页组G下是集合G公司(第页)={克(第页)：g∈G公司}. 我们说G组等距线d日-空格是结晶学的如果：
- 对于某些（或任何-量词都可以）点第页，我们看轨道G公司(第页)如下…
- 对于任意两个不同的点g，有一个数ε>0(第页)，小时(第页) ∈G公司，|g(第页)–小时(第页)| > ε. 此属性称为一致离散性.
- 对于任何超平面（2空间中的线，3空间中的平面），有点G公司(第页)在超平面的两侧。
这个费奥多罗夫–Schoenflies公司–比伯巴赫定理声明：
- 群G是晶体d日-空间当且仅当其平移子群T由d日平移，G/T是有限的（参见2015年1月20日发布对于商组）。
- 对于任意两个晶体学群G和H，如果G同构于H，那么对于某些仿射函数f，H=f∘G∘f-1.
- 对于每个d日，上有有限多个晶体学群的同构类d日-空间。
这可能是最接近数学结晶学基本定理的东西——至少对于经典结晶学来说是这样的；使其覆盖准晶是当代数学结晶学的一大挑战。无论如何，最容易访问的帐户可能是R.L.E.Schwarzenberger的N个-维晶体学; 另请参见E.B.文伯格几何II：常曲率空间。还有其他参考文献，但它们将该定理嵌入了重型黎曼几何.
