在二十世纪，数学家养成了研究结构的习惯，他们通过观察将一个结构映射到另一个结构或映射到自身的函数来研究结构。最著名的可能是拓扑学，在拓扑学中，简单的物体是用橡皮泥做成的。如果一个玩具可以变形为另一个玩具，而不会断裂、撕裂、熔化或焊接，那么两个玩具对象（例如，茶杯和甜甜圈）是等效的：通过制作并扩大长在茶杯碗中的凹陷，将玩具甜甜圈转化为茶杯-从茶杯中制作甜甜圈需要反转过程。但是，如果不把孔焊接上，甜甜圈就不能变形成茶碟，而茶碟也不能变形成甜甜圈而不撕开一个洞。概念属一个橡皮泥对象有多少个洞，取决于可以将一个对象变形为另一个对象的变换。
我们以同样的方式研究群体，研究从一个群体到另一个群体的转化。假设我们有两组，G=(G公司，∘）和H=(H（H）, ∗); 一同态从G到H是函数f：G公司→H（H）使得对于任何g1，克2∈G公司，f（克1∘g2)=f（克1)*f（克2). 观察到如果e是G的恒等式，那么f（e）是H的恒等式，并且对于任何G∈G公司，f（克-1)=f（g）-1.
例如，让G是五边形的对称群，如2015年1月30日群论帖子.让Z2是具有以下乘法表的组（{0，1}，*）：
对于每个旋转第页∈G公司，设f(第页)=0，对于每个反射m∈G公司，设f(米) = 1. 因此，如果等距是直接的（即没有镜子），f输出0，如果是间接的，则输出1。这是同态的一个例子：回想一下，虽然两个直接等距的合成（或两个间接等距的构成：非平行镜上两个反射的合成是旋转）是直接的，而直接等距和间接等距是间接的。
从G到H的一种特殊同态决定了G在H中的副本G公司到H（H）是一对一（或内射的)如果，对于任何g1，克2∈G公司，如果g1≠g2则f（g1)≠f（g2). 例如，函数f1(x个) =x个三从实数到实数是一对一的，而函数f2(x个) =x个2不是（当f时-1≠12（-1）=f2(1)). 一对一同态称为嵌入（或单态). 例如，以整数mod 5，称之为Z5对于每个i∈{0,1,2,3,4}，设f（i）是五边形逆时针旋转72i度。那么f是Z的嵌入5到旋转组我们可以说f嵌入Z轴5在五边形的对称群中。
从G到H的另一种特殊同态将G映射到所有H上G公司到H（H）是到上面（或满腹经纶的)如果，对于任何h∈H（H），存在一个g∈G公司使f（g）=h。例如，函数f1（x） =tan x将实数映射到实数上，但函数f2（x） =sin x没有。on同态称为满态看前面的段落，我们将五边形的对称群映射到Z上2是一个满态，而我们嵌入的Z5而这一对称组却没有。
如果我们把这些概念放在一起，我们会得到：函数f来自G公司到H（H）是双射的如果是一对一的话。双射同态称为同构例如，来自Z的映射5五边形的旋转群上有一个同构，定义为f（i）=旋转72i度是一个同态。同构通常被视为群元素名称的重新标记。例如，Z5是一组整数和（非晶体学）点群5旋转72°的倍数不是一回事，一个由整数组成，另一个由旋转组成，但两者之间存在同构，所以我们称之为同构同构并且经常把他们当作同一个人来对待。
一种特殊的同构是从一个组到它自身的同构：这种同构称为自同构例如，如果我们通过将旋转72i度映射到旋转144i度，将五边形的旋转组映射到自身，则表示该组的自同构。
现在我们有了一些从组到组的函数，让我们简单地看一下属于较大组的组，就像五角大楼的旋转组是五角大楼对称组的一部分一样。如果群G的所有元素都是群H的元素，并且它们具有相同的二元运算符，我们就说G是一个子组H，H是一个超群有两种常用的指定子组的方法。在这两种情况下，我们都有一个H组和一组H元素X，我们希望H的子群由X“生成”。例如，给定五边形的对称群，由72°旋转生成的子群是五边形旋转群，而其中一个反射生成的子组是由该反射和标识组成的组。（任何两个反射生成的子组就是整个组。）我们所说的“生成者”是什么意思？
这是一个数学家的问题将问一下，这里有两个答案。首先，所有数学课文中的答案。设H是一个群。事实上（看看你能不能验证一下），H的子群的任何交集也是H的一个子群生成的子组X是包含X的所有元素的H的所有子群的交集；这个亚组通常表示为〈X〉。这个答案很好，很简洁，这就是为什么文本使用它，但它并没有告诉我们如何计算？X。
另一种方法是使用以下方法构造X生成的子组G公司0=X。对于任何非负整数n，给定G公司n个，让G公司n+1={g，g∘h-1：g，h∈G公司n个}. 我们得到了G公司0,G公司1,G公司2,G公司三, … . 如果H是有限的，这个序列最终将在n处停止，其中G公司n个=G公司n+1这是X生成的期望子群（的元素集）。如果H是无限的，则集合序列G公司n个可以永远保持增长，这是他们的联盟 G公司∞这是X生成的子组。
例如，给定五边形的对称群，让X是包含旋转72°的集，我们得到G公司0={腐烂72 °},G公司1={腐烂0 °，腐烂72 °，腐烂144 °}、和G公司2是五角大楼的旋转组。
作为一个例子，我们来看一种在晶体学中经常出现的子群。设G是集合或结构X上的一组双射函数。对于任意X∈X，设G（X）={G（X）：G∈G公司}：这是x被中的函数映射到的点集G公司例如，考虑无限二面体群（也称为下午)作用于数字行，由两种功能组成：
- 整数之间的反射。对于每个整数我，让参考我是函数Ref我(x个) = 2我–x个。这反映了整数上的数字行我.
- 整数翻译。对于每个整数我，让T我是函数T我(x个) =x个+我.
假设我们有一个实数x个我们用无限二面体群来移动它。如果x个在中间的一个橙色圆点上我和我+某些整数为1/2我,x个将以1为增量向左和向右平移到类似于图中橙色点的位置（蓝色镜子位于整数处）。
同时，镜子会反射x个到介于之间的实数j个–1/2和j个对于某个整数j个，因此变成了一个绿点。在这张图片中，橙色圆点是x个通过翻译，而绿点是x个通过反射和翻译的构图。
如果我们从x个介于我–1/2和我，我们会得到相同的图片，只是现在绿点将是x个在平移下，而橙色圆点将是反射+平移下的图像。不管怎样，绿色和橙色的圆点一起构成了x个.
但如果x个是整数，或者如果x个=我+某些整数为1/2我，那么事情就有点不同了。如果x个是一个整数，平移和反射将其映射到其他整数x个就是整数。或者如果x个=我+1/2，然后是平移和反射贴图x个到其他中间点，以及x个是{j个+1/2:j整数}。
镜子和其他地标出现在结晶学中，所以有一点需要注意。设G是作用于X上的群，并假设G公司那张地图x个本身就是身份。然后我们说G自由行动在x个例如，对于所有人x个除了整数和中间点我+ 1/2,我整数，无限二面体群自由作用x个另一方面，假设G公司地图x个对自身而言。例如，在无限二面体群中，整数的反射我地图我对自身而言。这个稳定器属于x个（我们可以表示Stab（G，x个))是映射的G的子群x个对自身而言。
一种重要的子群来自同态。让f：G公司→H（H）是从G到H的同态内核f的子群kerf={g∈G公司：f（g）=eH（H）}，其中eH（H）是H。Kerf的恒等式是G的一个子群，它有一个重要的性质。调用G的子组N正常的如果，对于每个g∈G公司每个n∈N个，克-1∈N个这是一种特殊的情况，但我们稍后将看到，这是一个有用的情况。
假设N是G的子群。对于任意G∈G公司，的左陪集N乘以g是g∘的集合N个={g∘n:n∈N个}而在右陪集N乘以g是集合N个g={n∘g：n∈N个}. 左陪集构成G公司，和右陪集一样，N是G的正规子群当且仅当左陪集形成G的相同分区G公司正确的陪集是这样的。原因是N在G中是正常的当且仅当G∘N个∘克-1={克-1：n∈N个} =N个，使g∘的两边相乘N个∘g-1=N个通过g–在每一个的右侧–产生g∘N个=N个∘克。
例如，考虑点编组400万，由四个穿过原点的镜子组成。的四个旋转400万（将恒等式计算为零度旋转）形成一个子组4.和4是的正规子群400万：如果第页是旋转（90°的倍数）R（右）在里面400万:
- 如果R（右）是一个旋转，然后R（右）∘第页∘R（右）=第页是一个旋转，并且
- 如果R（右）那是一种反射R（右）∘第页∘R（右）=第页是一个旋转。
另一方面，考虑壁纸组第4页单位正方形是一个单位单元，因此所有点的旋转中心都为90°(我,j个),我,j个整数。稳定器刺(第4页，（0，0））不正常。为了看到这一点，让我们第页是关于（1，0）的90°旋转，我们声称第页°刺(第4页, (0, 0)) °第页-1≠刺(第4页, (0, 0)). 让R（右）是围绕（0，0）旋转90°，它足以表明第页°R（右）°第页-1∉刺(第4页, (0,0)). 如果是，那么第页°R（右）°第页-1（0，0）将为（0，O）；事实上，第页°R（右）°第页-1(0, 0) =第页°R（右）(1, 1) =第页(-1, 1) = (0, -2).
回到同态，子群是正规的当且仅当它是同态的核。首先，给定同态f的一个核：G公司→H（H），称之为kerf，对于任何g∈G公司，克/克/克-1=kerf。要看到这一点，取任意k∈kerf，观察f（g°kerf°g-1)=f（g）*f（k）*f（g）-1)=f（g）*f（g-1)（因为f（k）是H中的恒等式）=f（g）*f（g-1，这是H中的同一性。
其次，给定G的正规子群N，设G/N是G中N的左陪集集：G/N={G∘N个：g∈g}。如果N是正态的，则G/N是一个带有二进制运算符°的组，如下所示：（G°N个)°（小时°N个)=（克°(N个°h））°N个)=（g°（h°N个)) °N个)=（g°h）°(N个°N个)=（g°h）°N个作为N个°N个={n1°n个2：n个1，个2∈N个} =N个.作为N个是G/N的标识，以及N个是的元素集G公司f映射到N个,N个=k f。
G/N称为商群我们将看到，点群是空间群的商群。
