Cayley的节点立方曲面–Abdelaziz Nait Merzouk

A类立方曲面由三次多项式方程定义。A类节点表面唯一的奇点是普通双点：也就是说，它看起来像由定义的三维空间中圆锥体原点的点

$$x^2+y^2=z^2$$

凯利节面，由绘制阿卜杜拉齐兹·奈特·默祖克，是具有尽可能多的普通双点的立方曲面，即4个。事实上，每个有4个普通双点的立方体都与这个同构。

Cayley的节点立方曲面（切割版）–Abdelaziz Nait Merzouk

凯利的节点立方曲面由这个方程描述

$$wxy+wxz+wyz+xyz=0$$

该等式确定了具有复数维2的子集（S\subset\mathbb{C}^4）。注意，如果\（w，x，y，z\in\mathbb{C}^4\）是一个解，那么任何倍数\（（cw，cx，cy，cz）\也是一个解。我们可以这样投射\（S\），将任何解决方案视为与该解决方案的任何倍数“相同”。结果是代数簇\（X\）在复射影空间\（\mathbb{C}\mathrm{P}^3\）。这种变体具有复杂的维度2，因此称为复杂曲面为了得到一个普通的实二维曲面，我们可以取它与\（\mathbb{C}\mathrm{P}^3）中的\（\mathbb{R}\mathr m{P{^3）的副本的交集。

坐在（mathbb{R}\mathrm{P}^3）里面，我们又有许多普通三维空间的副本。上面的图片显示了凯利节块立方体表面的一部分，位于其中一个副本中。

Cayley节点立方中的简单双点出现在三个坐标（w，x，y，z）为零的地方。超平面\（w+x+y+z=1\）确定\（\mathbb｛C｝^3\）内部\（\mathbb｛C｝\mathrm｛P｝^3\）的副本，并且将所有四个坐标设为实坐标会得到\（\mathbb｛R｝^3\）的副本，其中这些双点位于正四面体的顶点。实际上，凯利节点立方的对称群是{S} _4个\)四面体的对称群。

谜题1。凯利节面上有9条线。这些线中的6条包含上述四面体的边缘。其他三行是什么？

这里讨论了Cayley节点立方曲面的一些有趣性质：

•布鲁斯·亨特，不错的模块化品种,实验数学 9(2000), 613–622.

特别地，他解释了它是球的商和某些阿贝尔四倍的模空间的紧化。

谜题2。表明在变量改变后，Cayley的节点立方曲面也可以用方程描述

$$w^3+x^3+y^3+z^3=（w+x+y+z）^3$$

Abdelaziz Nait Merzouk创建了上述图片并将其提供给用户在谷歌上+在a下Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0未导出许可证。

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