A类分度面是由10次多项式方程定义的。这个Barth decic公司，由绘制阿卜杜拉齐兹·奈特·默祖克，是目前已知数量最多的普通双点：也就是说，它看起来像由定义的三维空间中圆锥体原点的点

$$x^2+y^2=z^2$$

它有345个普通的双点，而最著名的分度曲面的上限是360，除了这种奇点外，它是光滑的。

Barth decic由四个变量（w，x，y，z）中的10次齐次多项式方程定义：

$$开始{数组}{c}8（x^2–\Phi^4y^2）（y^2–\ Phi^4 z^2）\\
+（3+5\Phi）w^2\left（x^2+y^2+z^2–w^2\\right）^2\ left（x ^2+y ^2+z ^2–（2-\Phi$$

哪里

$$\Phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

是黄金比例。该等式确定了具有复数维2的子集（S\subset\mathbb{C}^4）。注意，如果\（w，x，y，z\in\mathbb{C}^4\）是一个解，那么任何倍数\（（cw，cx，cy，cz）\也是一个解。我们可以这样投射\（S\），将任何解决方案视为与该解决方案的任何倍数“相同”。结果是代数簇\（X\）在复射影空间\（\mathbb{C}\mathrm{P}^3\）。这种变体具有复杂的维度2，因此称为复杂曲面为了得到一个普通的实二维曲面，我们可以取它与\（\mathbb{C}\mathrm{P}^3）中的\（\mathbb{R}\mathr m{P{^3）的副本的交集。

坐在（mathbb{R}\mathrm{P}^3）里面，我们又有许多普通三维空间的副本。上面的图片显示了其中一个副本中的巴特·德克部分。具体来说，这包括上述方程的实际解，其中\（w=1\）。

但我们也有“无穷远点”。如果你沿着\（mathbb{R}^3）中两个相反方向中的任何一个前进，你将在无穷远处接近其中一个点。无穷远处的点构成射影平面，即，\（\mathbb{R}\mathrm{P}^2\）的副本。具体地说，这些无穷远点是\（mathbb{R}\mathrm{P}^2）中的点，它们来自\（x，y，z，w）\ in\mathbb}R}^4）和\（w=0）。

巴思分局有345个普通的双分。然而，其中45个点位于无穷远处，因此它们在上图或下图中不可见：

我们可以通过稍微旋转\（\mathbb{R}\mathrm{P}^3\）来观察无穷远处的双点。如果我们对生成的曲面进行切片以更好地看到它，则会得到如下图片：

我们也可以将（mathbb{R}^3）压缩成一个球，这样无穷远处的点就位于这个球的表面上。更准确地说，这个球的表面是一个2球，一个\（\mathbb{R} P（P）^2），所以这个2球体中的任何对反点对应于无穷远处的同一点。

这给出了以下对巴特判决的看法：

你可以直观地看到，压缩后的巴思分贝在10个大圆内与2个球体相遇。为了从数学上看到这一点，我们可以取Barth decic的方程，并设置（w=0）：

$$开始{数组}{c}（x^2–\Phi^4y^2）（y^2–\ Phi^4 z^2）$$

这包括10个线性函数：

$$（x–\Phi^2 y）（x+\Phi|2 y）$$

每一个都在$\mathbb{R}^3$中定义了一个平面，它与单位2-球体的交点是10个大圆中的一个。这10个大圆与穿过正十二面体对角的直线正交：

你可以在十二面体的每个面上看到5个双点，在每个边的中点看到1个，总共\（5\乘以12+30=90\）。然而，球体上的反足点在无穷远处算为同一点，因此我们在无穷远处得到了总共的（90/2=45）个双点。

有关更多相关图片，请参见：

•Abdelaziz Nait Merzouk，Barth decic和十二面体.

值得比较的是巴思六分仪：

•巴思六分仪.

二十面体的旋转和反射对称组{A} _5个times\mathbb{Z}/2）充当了巴思六分仪和巴思分度仪的对称性。Barth在这里介绍了这些表面：

•Wolf Barth，两个具有多个节点的投影曲面，承认二十面体的对称性，代数几何杂志 5(1994), 173–186.

普通的双倍积分也称为节点1984年，宫崎骏证明了只有有理双点的$\mathbb{C}\mathrm{P}^3$中的十进制曲面最多可以有360个这样的点：

•Y.Miyaoka，给定数值不变量曲面上商奇异的最大数目,数学。安。 268(1984), 159–171.

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