高维参数算子方程的Petrov-Galerkin压缩传感近似

@第{Rauhut2014CompressiveSP条，title={高维参数算子方程的压缩传感Petrov-Galerkin近似}，author={Holger Rauhut和Christoph Schwab}，日志={Math.Comput.}，年份={2014}，体积={86}，页数={661-700}，url={https://api.semanticscholar.org/CorpusID:32745262}}
我们分析了基于压缩传感的采样技术在一类高维无参数线性算子解的泛函精度评估中的收敛性…
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参数PDE的压缩传感Petrov-Galerkin近似

与Monte-Carlo方法相比，CSPG近似减少了PDE解的数量，同时与维数自适应配置或Galerkin方法不同，它同样是非侵入的，并且是“令人尴尬的并行”。

高维参数偏微分方程的多级压缩传感Petrov-Galerkin离散

证明了在一定的假设条件下，新算法的功与精度的关系在最细离散化水平上渐近等于相应标称问题的一个PG解，直到一个常数。

参数化函数逼近的加权块压缩传感

将压缩感知的结果推广到恢复Hilbert空间值向量，结果表明，在参数算子的一些加权均匀椭圆度假设下，完全解可以近似到指定的精度内。

通过压缩感知重构高维Hilbert值函数

提出了一种新的稀疏多项式逼近高维Hilbert值函数的方法，并将其应用于具有确定性和随机输入的参数化偏微分方程。

参数和随机PDES的多级近似

提出了一种新的计算策略，用于在参数空间中定位各向异性Smolyak插值的嵌套索引集序列，实现了最佳的[公式：见正文]-项基准收敛速度。

高维函数多项式逼近的压缩传感方法

研究表明，光滑的多元函数在正交多项式基中具有展开式，这些正交多项式基不仅近似稀疏，而且具有由所谓的低集定义的特定类型的结构化稀疏性，并且在很大程度上缓解了维数灾难——高维近似的祸害。

低集上高维函数的压缩感知多项式逼近

本文提出并分析了一种用于高维复值函数多项式逼近的压缩感知方法，并提出了一种具有精确权重选择的加权最小化方法，以及一种新的迭代硬阈值方法，用于施加向下闭合偏好。

稀疏谐波变换：一类新的多变量学习函数的子线性时间算法

这些结果有望为上述类型UQ应用的次线性时间求解技术的新研究提供一个起点，最终能够扩展到比当前计算上可行的更高维的问题。

高维参数偏微分方程解的稀疏重构技术

这项工作通过引入一种新的基于能量范数的基追踪去噪重新公式，证明了离散具有任意参数依赖性的椭圆偏微分方程所产生的SG系统的求解成本在规定的容差范围内有明显的界，该公式使希尔伯特空间张量积上的稀疏恢复成为可能。

稀疏谐波变换：一类新的多变量学习函数的子线性时间算法

这些结果为上述类型UQ应用的次线性时间求解技术提供了一个新的研究方向，最终能够扩展到比当前计算上可行的更高维的问题。
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69参考文献

参数PDE的压缩传感Petrov-Galerkin近似

与Monte-Carlo方法相比，CSPG近似减少了PDE解的数量，同时与维数自适应配置或Galerkin方法不同，它同样是非侵入的，并且是“令人尴尬的并行”。

参数算子方程的高阶QMC-Galerkin离散

证明了利用快速逐分量算法可以构造具有N个点的s维α=⌊1/p⌋+1阶确定性“交错多项式格规则”，以实现O（N−1/p）的收敛速度，隐含常数与s无关。

高维自适应稀疏多项式插值及其在参数偏微分方程中的应用

一种插值技术，其中样本集随着多项式维数的增加而增加，从而导致PDE求解量最小，这是基于一维插值方案张量化和稀疏化的标准原理。

具有随机场输入的仿射参数算子方程的高阶QMC Petrov-Galerkin离散

证明了在具有$s$个点的$s$维中，可以使用快速的逐分量算法构造顺序为$\alpha=\lfloor1/p\rfloor+1$的确定性“交错多项式格规则”，以达到$mathcal{O}（N^{-1/p}）$的收敛速度，隐含常数与$s$无关。

参数和随机椭圆偏微分方程的解析正则性和多项式逼近

参数偏微分方程通常用于模拟物理系统。在求解随机问题时，当使用维纳混沌展开作为蒙特卡罗的替代方法时，也会出现这种情况…

参数和随机椭圆偏微分方程的解析正则性和多项式逼近

参数偏微分方程通常用于对物理系统进行建模。在求解随机问题时，当使用维纳混沌展开作为蒙特卡罗的替代方法时，也会出现这种情况…

参数和随机椭圆偏微分方程的Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig张量结构Galerkin逼近

由sPDE在M≤100维的参数空间上生成的M维参数椭圆PDE的数值例子表明，在此类问题的数值解中使用低秩张量结构矩阵格式可能会获得很大的收益。

贝叶斯反问题的稀疏自适应Smolyak象限

提出了一种实用的计算算法，就正问题的解数而言，该算法的收敛速度明显高于蒙特卡罗（MC）和马尔可夫链蒙特卡罗方法。

一类椭圆sPDE的最佳N项Galerkin逼近的收敛速度

建立了新的正则性定理，将解u描述为从y∈u=（−1,1）∞到光滑空间W⊂V的映射，从而对gpc系数的W范数及其空间离散化误差进行了解析估计。

打破参数偏微分方程稀疏多项式逼近中的维数诅咒

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