摘要
我们首先提出一种新的有限计数定理，该定理断言自然数向量上的任何函数在任意大小的有限集上几乎没有低值（引言中的定理0.1和0.2）。
在有限集的大小中，对低值（这里称为回归值）的这种估计是线性的。
这个基本计数定理被推广到有限函数系统，其中证明了每个“递减”（在适当的意义上）的系统都包括在任意大小的有限集上具有更少低值的函数。这种改进的估计是一个常数，取决于维数而不是有限集的大小（参见引言中的命题a）。
然而，这些扩展结果只能通过使用远远超出当前公认的数学公理（通常由ZFC=Zermelo Frankel集理论和选择公理形式化）的附加公理来证明。此外，扩展结果具有明显等效的有限形式，这消除了对无限集的任何提及（参见引言中的命题B）。见定理5.91和推论1。
用于证明这些扩展结果的附加公理是自20世纪60年代以来在集合论中广泛使用的所谓大基数公理之一（参见例如[Sc61]，[MS89]）。这里的证明清楚地说明了人们是如何在整数中以本质上和完全自然的方式使用大基数的。在引言的末尾描述了该方法的概念概述。
自20世纪30年代G6del的工作以来，寻求一个简单而有意义的有限数学定理一直是数学基础的一个目标。
先前的相关发展包括在[Co66]中引入了强制方法，该方法用于根据通常的数学公理确定连续体假设的不可行性（[Go4O]中已经确定了一致性）。但由于理论原因，强制方法无法建立有限语句的独立性，至少不能直接建立（参见[Fr92，p.54]和[Je78，p.101-108]中的“绝对性”）。
另一个相关的发展是[PH77]中的第一个简单有意义的有限数学定理（在拉姆齐理论中），其证明需要弱使用无限集。其次是图论中一个简单而有意义的有限数学定理（与J.B.Kruskal定理相关），其证明需要弱使用不可数集[Si85]，以及图论中另一个简单陈述的定理（与图小定理相关）[FRS87]，其证明要求强用不可数集合。
其他相关发展包括涉及Borel可测函数的简单有意义数学定理的第一个例子，其证明需要使用无数无穷大[FY71]，而涉及Borel可测函数的简单有意义数学定理的第一个例子表明，证明需要的公理远远超出了通常的数学公理，[Fr8l]，[St85]。
从这篇摘要的正文中可以清楚地看到，这些结果——只有远远超出数学的一般公理才能证明——与有限和离散组合学（拉姆齐理论）中的现有主题紧密相连，并且形成了一个连贯的示例体。我们预计将发现各种简单和基本的例子，它们与不同数学领域的联系越来越紧密。
