广义肥皂泡与正标量曲率流形的拓扑

摘要

我们证明了对于$n\in\{4,5\}$，闭非球面$n$-流形不允许具有正标量曲率的黎曼度量。

此外，我们还证明了对于$n\leq 7$，具有任意流形的$n$-环面的连通和不承认正标量曲率的完全度量。当结合Lesourd–Unger–Yau的贡献时，这证明了Schoen–Yau–Liouville定理适用于所有具有非负标量曲率的局部共形平坦流形。

这些结果中的一个关键几何工具是广义肥皂泡曲面，它对于指定的单电流泛函（也称为$\mu$-泡泡）是静止的。