$E_8$和Leech格的普遍最优性及插值公式

摘要

我们证明了在8维和24维欧氏空间中，$E_8$根格和Leech格在点配置中是普遍最优的。换言之，它们最小化了每一个势能函数的能量，该势能函数是平方距离的完全单调函数（例如，逆幂律或高斯函数），这是一种强鲁棒性形式，以前在多个维度的任何配置中都不知道。这个定理暗示了它们最近被证明为球形填料的最优性，并对其进行了广义推广，以允许长程相互作用。

该证明使用了能量的尖锐线性规划界。为了构造用于达到这些界的最佳辅助函数，我们证明了一个新的插值定理，该定理具有独立的意义。它从$f$的值和径向导数以及它在半径$\sqrt{2n}$处对$mathbb{R}^8$中的整数$n\ge1$和$mathbb{R}^24}$中的整型$n\ge 2$的傅里叶变换$f$重建了一个径向Schwartz函数$f$。为了证明这个定理，我们使用拟模形式的积分变换构造了一个插值基，推广了维亚佐夫斯卡关于球形填充的工作，并将其置于一个更概念化的理论背景中。

本文核不等式的补充计算机辅助证明可在以下位置获得：
https://doi.org/10.4007/annals.2022.196.3.3.代码和https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/141226