摘要
本文是四篇论文序列的第四部分，也是最后一部分，其目的是证明能量临界的$4+1$-维双曲Yang–Mills方程的阈值猜想以及更一般的二分法定理。阈值定理认为，能量低于基态能量两倍的拓扑平凡解是全局的且分散的。二分法定理适用于具有大能量的任意拓扑类中的解，并提供了两种唯一的选择：要么解是全局且散射的，要么它在有限时间或无限时间内从孤立子中冒出。
利用第一篇论文中开发的热量计、第二篇论文中建立的连续/散射准则以及第三篇论文中在任意拓扑类中以最佳正则性进行的大数据分析，这里我们进行了一个爆破分析，表明整体适定性和散射的失败意味着存在一个能量最多相同的孤立子，或者存在一个非平凡的自相似解。证明是通过证明后一种解决方案不存在来完成的。
