摘要
本文分析了边界为$（M，g）$的一般黎曼流形的局部和全局边界刚性问题。我们证明了边界距离函数，即$d_g|_{\partial M\times\partial M}$，在点$p\in\partial M$附近已知，其中$\partial M$是严格凸的，在$p$in$M$的合适邻域中确定$g$，直到问题的自然微分同胚不变性。
我们还考虑了密切相关的透镜刚度问题，这是一个更自然的公式，如果边界距离不是通过唯一的最小测地线实现的。透镜关系测量从边界发出的测地线$M$的出射点和出射方向以及测地线的长度。透镜刚度问题是我们能否从透镜关系中确定等距的度量。我们解决了透镜刚度问题，假设在$M$上存在一个相对于$g$具有适当凸性的函数。这可以被视为赫格洛茨于1905年首次提出的一个问题的完整解决方案。考虑到半全球数据，我们还证明了半全球结果。例如，这表明，如果截面曲率为非正曲率或非负曲率，或者如果没有焦点，则具有严格凸边界的单连通流形是透镜刚性的。
关键工具是分析2张量上的测地X射线变换，对应于法线规范中的公制$g$，例如相对于超曲面的法线坐标，其中还需要允许权重。这是通过改进和扩展螺线管压力计的早期结果来处理的。
