摘要
我们研究了实线上一类具有自相似结构的测度，我们称之为动态驱动的自相似度量，并包含适当的自相似度量，如特殊情况下的伯努利卷积。我们的主要结果给出了在一定条件下这种动态驱动自相似测度的$L^q$维的表达式。作为应用，我们解决了Furstenberg关于$times p$-和$times q$-不变集交集维数的长期猜想。在其他几个应用中，我们还证明了伯努利卷积对于所有有限的$q$都具有$L^q$密度，而不是零维异常集。
主要结果的证明受到了M.Hochman关于自相似测度维数的方法及其熵逆定理的启发。我们的方法可以看作是霍奇曼理论从熵到Lq$范数的推广，同样依赖于卷积下离散测度的Lq$模衰减的逆定理。我们方法的这一核心部分可能具有独立的意义，它是对可加组合学中著名方法和结果的应用：由于Tao-Vu而产生的Balog-Szemerédi-Gowers定理的非对称版本，以及Bougain的一些构造。
