可校正雷芬伯格与平稳调和映射和极小调和映射的正则性

摘要

本文研究黎曼流形之间平稳调和映射$f:B_2（p）substeqM到N$的正则性。如果$S^k（f）等价于M:\text{在$x$处没有切线映射是}k+1\text{-对称}}$是$f$奇异集的$k^{rm-th}$-层，那么众所周知，$\dim S^k\leq-k$的结构在任何一般性中都不被理解。我们的第一个结果是关于一般平稳调和映射，其中我们证明了$S^k（f）$是$k$可校正的。事实上，我们证明了S^k（f）$中的$k$-a.e.点$x存在唯一的$k$平面$V^k\substeqT_xM$，如下所示每一个$x$处的切线映射相对于$V$是$k$对称的。
在调和映射最小化的情况下，我们进一步证明了满足$\dim S（f）\leq n-3$的奇异集$S（f有限的，有限的$n-3$-度量。这种方法的有效版本使我们能够证明$|\nabla f|$在$L^3_{\rm weak}$中有估计值，这个估计值很高，因为$|\nab laf|$可能不存在于$L^3$中。更一般地说，我们证明正则性标度$r_f$也有$L^3{rm弱}$估计。
上述结果实际上只是我们在定量分层$S^k{\epsilon，r}（f）$和$S^k{\epsilon}。大致来说，$S^k_{\epsilon}\subseteq M$是M$中的点$x\的集合，其中没有球$B_r（x）$是$\epsillon$-接近$k+1$-对称的。我们证明了$S^k_\epsilon$是$k$-可校正的，并且满足Minkowski估计$\mathrm{Vol}（B_r，S_\epsilen^k）\leqCr^{n-k}$。
这些证明需要一个新的平稳调和映射的$L^2$-子空间逼近定理，以及新的$W^{1，p}$-Reifenberg和可整流-Reifemberg型定理。这些结果是经典Reifenberg的推广，并给出了确定集合何时可以用统一测度估计进行$k$校正的可检查标准。新的Reifenberg型定理可能有一些独立的意义。然后，我们证明的$L^2$-子空间近似定理用于帮助将定量分层分解为满足这些标准的部分。