摘要
众所周知，随机图的$G（n，p）$模型在$p=\frac1n$左右发生了巨大的变化。正是在这里，随机图几乎可以肯定地包含循环，并且在这里它首先获得一个巨人（即订单$\Omega（n）$）连接的组件。几年前，Linial和Meshulam引入了$Y_d（n，p）$模型，这是一个$n$-顶点$d$-维单形复数的概率空间，其中$Y_1（n、p）$与$G（n，p）$重合。在这个模型中，我们证明了这些图论现象的自然维模拟。具体地说，我们确定了$Y_d（n，p）$中复合物的实际第$d$-个同源性的无差异的确切阈值。我们还计算了$p=c/n$的$Y_d（n，p）$的实际Betti数。最后，我们确定了巨人的出现阴影达到这个门槛。（对于$d=1$，巨大的阴影和巨大的分量是等价的）。与图的情况不同，对于$d\ge 2$，巨影的出现是一个一级相变。
