摘要
图兰定理是极值图论的基石。它断言，对于任何整数$r\geqsleat 2$，$n$顶点上的每个图都包含一个大小为$r$的团，即$r$个相互相邻的顶点。相应的极值图是平衡的$（r-1）$部分图。
文献中深入研究了在任何具有$\gamma n^2$边的$n$-顶点图中至少出现多少这样的$r$-团的问题。特别是，Lov’asz和Simonovits在20世纪70年代猜测，渐近地，最好的可能下界是由具有$gamman^2$边的完全多部图给出的，其中除了一个顶点类外，其余所有顶点类的大小都相同，而其余的顶点类可能较小。
拉兹博罗夫最近解决了他们的猜测，得出$r=3$，尼基福罗夫得出$r=4$。在本文中，我们证明了$r$的所有值的猜想。
