摘要
如果$F（x，y）\in\mathbb｛Z｝[x，y]$是阶$k\geq 3$的不可约二元形式，则Darmon和Granville的一个定理表明，在给定整数$l\geq\mathrm｛max｝\｛2，7-k\｝$的情况下，广义超椭圆方程$$F（x，y）=Z^l$$在互质整数$x，y$和$Z$中至多有有限多个解。在本文中，对于阶$k=3、4、6$和$12$的大类形式（包括启发性的“大多数”三次形式），我们对此进行了扩展，以证明类似的结果，其中参数$l$现在被视为变量。在不可约立方形式的情况下，这提供了第一个例子，证明了这一结论。证明方法将经典不变量理论、模伽罗瓦表示、椭圆曲线的性质与同构模伽罗华表示结合起来。
