摘要
由De Giorgi提出的一个著名猜想表明，方程$\Delta u+（1-u^2）u=0\hbox{in}\mathbb{R}^N$的任何有界解与$\partial_{y_N}u>0$必须使其水平集$\{u=\lambda\}$都是超平面，至少对于维度$N\le 8$。$N\ge 9$的反例一直被认为存在。从Bombieri、De Giorgi和Giusti在$\Bbb{R}^N$、$N\ge9$中发现的一个非超平面的极小图$\Gamma$出发，证明了对于任何小的$\alpha>0$，都存在一个带$\partial的有界解$u_\alpha（y）$_{y_N}u_\alpha>0$，类似于$\tanh\left（\fract{\sqrt{2}}\right）$，其中$t=t（y）$表示选择到放大最小图$\Gamma_\alpha:=\alpha^{-1}\Gamma$的有符号距离。这个解是De Giorgi关于$N\ge 9$的猜想的反例。
