摘要
设$T$是$\mathbb{R}^n$中的光滑齐次Calderón-Zygmund奇异积分算子。本文研究了用奇异积分$Tf$控制最大奇异积分$T ^{star}f$的问题。人们可以考虑的最基本的控制形式是通过常数乘以$Tf$的$L^2（\mathbb{R}^n）$范数来估计$T^{star}f$的$L^2范数。我们证明了如果$T$是一个更高阶的Riesz变换，则具有更强的逐点不等式$T^{star}f（x）\leq C\，M（Tf）（x）$，其中$C$是常数，$M$是Hardy-Littlewood极大算子。我们证明了对于均匀光滑齐次Calderón-Zygmund算子，$T^{star}$乘$T$的$L^2$估计等价于$T^}$和$M（T）$之间的点态不等式。我们的主要结果用$T$的核$\frac{\Omega（x）}{|x|^n}$表示的代数条件来刻画$L^2$和逐点不等式，其中$\Omega$是一个度为$0$的偶数齐次函数，属于类$C^ infty（S^{n-1}）$，在单位球面上具有零积分。设$\Omega=\sum P_j$是$\Omega$在度$j$的球谐函数$P_j$中的展开式。让$A$代表由恒等式和光滑齐次Calderón-Zygmund算子生成的代数。然后，我们的特征条件表明$T$的形式为$R\circ U$，其中$U$是$A$中的可逆算子，$R$是与齐次谐波多项式$P$相关的高阶Riesz变换，该齐次谐波多项式$P$将多项式环中的每个$P_j$分为具有实系数的$n$~个变量。
