摘要
H.Brezis和L.Nirenberg证明了如果$（g_k）\子集C^0（\mathbb{S}^N，\mathbb{S}^N）$和C^0中的$g\ \，克$。另一方面，如果$g\在C^1（\mathbb{S}^N，\mathbb{S}^N）$中，那么Kronecker的公式断言$\mathrm{deg}\，g=\frac{1}{|\mathbb2{S}|}\int_{\mathbc{S}N}\det（\nabla g）\，d\sigma$。因此，$\int_{\mathbb{S}^N}\det（\nabla g_k）\，d\sigma$收敛到$\int_{mathbb}S}^N}\dete（\naba g）\，2\sigma$在${\rm BMO}（\mathbb{S}^N）$中提供$g_k\rightarrow g$。本着同样的精神，我们考虑C^1（\mathbb{S}^N，\mathbb2{R}）$中所有$\psi$的量${bfJ}（g，\psi）：=\int_{mathbb}S}N}\psi\det（\nabla g），d\sigma$，并研究了${bf J}的收敛性。特别地，我们证明了对于某些$\alpha>\frac{N-1}{N}$，对于C^1（\mathbb{S}^N，\mathbb{R}）$中的任何$\psi$，如果$g_k$在$C^{0，\alpha}（\mathbb{S{N}）$$中收敛到$g$，则${bf J}（g_k，\psi）$收敛到${bfJ}。令人惊讶的是，当$N>1$时，这个结果是“最优的”。在$N=1$的情况下，我们证明了如果$g_k\rightarrowg$几乎处处可见，并且$\limsup_{k\right arrow\infty}|g_k–g|_{rm BMO}$足够小，那么对于C^1（\mathbb{S}^1，\mathbb{R}）$中的任何$\psi$，${bf J}。我们还建立了${\bf J}（g，\psi）$的边界，这些边界是由J.Bourgain、H.Brezis、H.-M.Nguyen和H.-M Nguyen。我们特别注意$N=1$的情况。
