摘要
受Ramanujan工作的启发，Freeman Dyson将整数分区的秩定义为其最大部分减去其部分数。如果$N（m，N）$表示秩为$m$的$N$的分区数，那么结果是\[R（w；q）：=1+！\sum_{N=1}^{\infty}\sum_}m=-\infty}^{\ infty{\！N}（1\！-\！（w\！+\！w^{-1}）q^j\！+q^{2j}）}.]我们证明了如果$\zeta\neq1$是单位根，那么$R（\zeta；q）$本质上是$\operatorname子群上权重$1/2$弱Maas形式的全纯部分{SL}_2（\mathbb Z）$。对于整数$0\leqr\ltt$，我们使用这个结果来确定$N（r，t；N）$生成函数的模块性，$N$的分区数与$r\pmodt$的秩一致。我们扩展了上面的模块性，为完整的模块群$\operatorname构造了向量值权重$1/2$形式的无限族{SL}_2（\mathbb Z）$，这是一个独立的结果。
