摘要
图形属性是单调的如果在删除顶点和边的情况下关闭。本文考虑以下算法问题，称为边删除问题；给定单调属性$\mathcal{P}$和图$G$，计算将$G$转换为满足$\mathcal{P{$的图所需的最小边删除数。我们用$E'{\mathcal{P}}（G）$表示这个量。本文的第一个结果表明，边删除问题可以有效地逼近任何单调性质。
- 对于任何固定的$\varepsilon>0$和任何单调性质$\mathcal{P}$，有一个确定性算法，给定一个大小为$n$的图$G=（V，E）$，它在线性时间$O（|V|+|E|）$内逼近$E'{\mathcal{P}}（G）$，误差在$\varεsilonn^2$内。
鉴于上述情况，一个自然的问题是，对于$E’{\mathcal{P}}$的哪些单调性质可以获得更好的可加近似。我们的第二个主要结果通过给出存在这种近似的单调图属性的精确特征，从本质上解决了这个问题。
- （1） 如果有一个二部图不满足$\mathcal{P}$，则有一个$\delta>0$，对于该$\delta，可以在多项式时间内将$E'_{\mathcal{P}}$近似到$n^{2-\delta}$的加性误差内。
- （2） 另一方面，如果所有二分图都满足$\mathcal｛P｝$，那么对于任何$\delta＞0$，在$n^｛2-\delta｝$的加性误差范围内近似$E’_｛\mathcal｛P｝｝$是NP困难的。
虽然（1）的证明相对简单，但（2）的证明需要一些新的思想，并且涉及极值图论工具和谱技术。有趣的是，在这项工作之前，甚至不知道计算$E'{\mathcal{P}}$准确地说（2）中的属性为NP-hard。因此，我们（以一种强有力的形式）回答了Yannakakis的一个问题，他在1981年问到，是否有可能找到一个计算$E'{\mathcal{P}}$是NP-hard的大型自然图形属性族。
