摘要
我们确定了包含有限球面三角形群的双曲$3$-空间等距群的两个最小共体积格。这两个群是算术的，实际上是两个最小共体积格。我们在这里的结果代表了确立这一事实的关键一步，从而解决了西格尔在1945年提出的问题。因此，我们获得了双曲$3$-流形对称群的阶在其体积方面的严格界，类似于1892年的Hurwitz$84g-84$定理。
Kleinian群的有限球面子群在商orbifold中产生奇异图的顶点。我们确定了这些顶点之间双曲距离离散谱的小值，并表明这些小值产生算术格。一旦顶点充分分离，就可以通过研究等变集来获得体积边界。
