摘要
本文对[3]中的分类结果给出了一个新的证明。我们证明了球面上具有四个不同主曲率的等参超曲面是Clifford型的，前提是主曲率的重数$m_1，m_2$满足$m_2\geq 2m_1–1$。除了五个可能的对$（m_1，m_2）$与$m_1\leq m_2$之外，其余所有对都满足这个不等式。我们的证明表明，对于$（m_1，m_2）\neq（1,1）$，Clifford系统的选择可以使相关的二次型在两个焦点流形的高维上消失。对于其余五个可能的对$（m_1，m_2）$和$m_1\leq m_2$（参见[13]，[1]和[15]），我们的结果的这种更强大的形式是不正确的：对于三个对$（3,4）$，$（6,9）$和$（7,8）$，有Clifford类型的例子，因此相关的二次形式必然在两个焦点流形的低维上消失，对于两对$（2,2）$和$（4,5）$，存在非Clifford类型的同质示例；参见[5、4.3、4.4]。
