摘要
设$\{X_1，\dots，X_p是$\mathbb R^n$中的复值向量场，并假设它们满足括号条件（即它们的李代数跨越所有向量场）。我们的目标是研究算子$E=\sum X_i^*X_i$，其中$X_i^*$是$X_i$的$L_2$伴随。Hörmander的结果是，当$X_i$是实的时，$E$是次椭圆的，并且更进一步，它是次椭圆（对开放集$u$的分布$u$的限制比对$Eu$的限制“更平滑”）。当$X_i$是复值时，如果满足一阶的括号条件（即，如果$\｛X_i，[X_i，X_j]\｝$跨度），则我们证明算子$e$仍然是次椭圆的。如果需要跨越更高阶的括号，则不再是这样。对于每个$k\ge1$，我们给出了两个复值向量场$X_1$和$X_2$的一个例子，从而满足了$k+1$阶的括号条件，并且证明了算子$E=X_1^*X_1+X_2^*X_2$是次椭圆的，但它不是次椭圆的。事实上，它“丢失”了$k$导数，因为对于每个$m$，存在一个分布$u$，它对开放集$u$的限制具有这样的性质：每当$|\alpha|\lem$时，$D^\alpha-Eu$在$u$上有界，而对于某些$\beta$，当$|\beta|=m-k+1$时，对$D^\ beta-u$到$u$之间的限制不是局部有界的。
