摘要
设$\mathcal{T}（x，\varepsilon）$表示以$x$为中心半径的圆盘在二维圆环$\mathbb{T}^2$上布朗运动的第一次击中时间。我们证明了$\sup_{x\in\mathbb{T}^2}\mathcal{T}（x，\varepsilon）/|log\varepsilon|^2到2/\pi$是$\varepsi lon\rightarrow0$。这同样适用于单位面积无边界的光滑、紧连通的二维黎曼流形上的布朗运动。因此，我们证明了一个由Aldous（1989）提出的猜想，即一个简单的随机行走所需的步数，以覆盖格环面$\mathbb的所有点{Z} _n（n）^2$渐近于$4n^2（\logn）^2/\pi$。确定这些渐近线是在覆盖完成之前分析一组未覆盖位点的分形结构的重要步骤；到目前为止，物理文献中只对这种结构进行了非严格的研究。我们还建立了一个由Kesten和Révész提出的猜想，该猜想描述了$\mathbb｛Z｝^2$中简单随机行走所需步数的渐近性，以覆盖半径为$n$的圆盘。
