摘要
1970年，Alexander Grothendieck[6]提出了以下问题：让$\Gamma_1$和$\Gamma_2$有限地表示，剩余有限群，并且让$u:\Gamma_1\to\Gamma_2$是同态，使得profinite完备的诱导映射$\hat u:\Gamma_1\to\hat Gamma_2$s是同构；这是否说明$u$是同构？
在本文中，我们通过展示群$u:P\hookrightarrow\Gamma$的对来解决这个问题，使得$\Gamma$是两个剩余有限双曲群的直积，$P$是无限指数的有限表示子群，$P$不是与$\Gamma$抽象同构的，但$\hat u:\hat P\to\hat Gamma$是同构的。
同样的结构允许我们通过展示有限表示的剩余有限群$P$来解决Grothendieck的第二个问题，对于每个交换环$a\neq 0$，这些群在其Tannaka对偶群${rm-cl}_a（P）$中具有无限索引。
