摘要
本文的基本主题是，如果$A$是一个有限的整数集，那么和集和积集不可能都很小。根据Erdős-Szemerédi[E-s]，下面的猜想1是对这一事实的精确表述。（有关方面，请参见[El]、[T]和[K-T]。）目前只知道这个猜想的较弱的结果或非常特殊的情况。一种方法是假设和集$A+A$较小，然后导出积集$AA$较大（使用Freiman的结构定理）（参见[N-T]，[Na3]）。我们遵循相反的路径，证明了如果$|AA|<c|A|$，那么$|A+A|>c^\prime|A|^2$（参见定理1）。这种现象的定量版本与普吕内克类型的不平等（由于Ruzsa）相结合，使我们能够完全解决[E-S]中关于千美元增长的相关猜测。如果\[g（k）\equiv\text{min}\{|A[1]|+|A\{1\}|\}\]over all set$A\subset\Bbb Z$of cardinality$|A|=k$，其中$A[1]$（分别是$A\{1\}$）表示$A$元素的简单和（分别是乘积）。（见（0.6）、（0.7）。）据[E-S]推测，$g（k）$的增长速度超过$k$对$k\rightarrow\infty$的任何幂。我们将在这里证明$lng（k）\sim\frac{（lnk）^2}{lnk}$（见定理2），这是本文的主要结果。
